Лекции Бондарь часть 2 (1247308), страница 19
Текст из файла (страница 19)
В раосмотревной задаче ралнодействущая свл притякеная будят потенциальной силой с потзвциалом, равным /т — -л „кт е У=- — ('т-2) =- — Е(х -л„) . .Р с л м с Эта функция, как легко видеть, равна нулю в точке С и отрицательна во всех остальннх точках. Следоватахьно, ояа амзвт максимум в полсаевви равновесия. Эо, Равновесие несвобо ой точки Если точка не свобожа, а двикзтся по поверхности нли по линни, то,согласно прввцжу освобоадаемоота сжав,ее мозно рассютривать как овободнуш точку, добавзяя к актвввым силам сиз реазцан сжазй. Уравяевие ражовесия свободной точка гчта будет справедливо в для несвободной точка, если под Рч понимать теперь сужу равводейотвущвх активных скч Г и рзакцкй Я: Я' Я=с .
В дахьнейхем индекс м у силы буден опускать и писать урв:зяавве равновзсвя яесвободвой точка в оладушкам болзе простом ваде: Р+)Э = о, (20,3) В ортогональной системе координат с„сл,() зто уравнение зквавалзнтно трем сказярню уравнениям равновесна Р„'+,Е'=О ~~= йя.-9 (20,4) Эти уравнения позволяют решать различные задачи статики точки прн заначив связей. 4 .
Равяовесие точки на иове хноста Пусть точка покоится на поверхноств ~Л)=о под действием штнвнсй силы, эависяией от расстояния Р=7(т) . Рассмотркы Т)4 различные случаи. а) Полагаем полоиение равновесия точка невестка к=у, а оовместным со связью ~ГТ)=о . Тогда ектамщя саве тикке взвеотыа Г ~ 1,), и у)аиненвя )Вкиовеска спредехявт реаицив поверхности Действительно, представаа реаацвв через ворюпьвув оостеклямаув и салу тренвя 2 =у+а а проектируя уракнекае равновесия ГГтй+ й = о яе три ортоговвльыых нвпреиленкя йьйл,п ° аз которых й норааъво к поверхности, а л, и аг леиат и каовтельыой плоскоота поаерхноота, будем амата +О =О Г +рг. о ГтЦ о, (20,$) Следовательно, нормальная и тевгенцюлькея реакции рваны по величине а протавополоавм по вепревлеаап соответотвумавм соотвалямпнм ективной сваг.
Рассютрам двхее скучен, когда половенке ряюсвеоая заранее не еедано и подловит определенна. б) Пусть поверхность гладкая, тек что реакцня но)мальва к вей Р-У=Лт~ . Тогда урекнщще рщщоьеокя соамеотно с уравниваем поаерхноота: ) +Ау~=о, ~=о (20,6) поеколяет найти аолсаевия раюокесия точки а реющим покервкоотв. Дейотвительно. пуоть поверхнооть ~ =о явхяетоя коорцвветиой поверхяостьв некоторой ортогональной састею юом(кват О,,дл,о ~мд -0,' =О; (20.Т] (мевчеоиае ие коюовенты овлы в этой оаотеме лваявгоа непрерывно даИеревцвруещащ фующиаю кооравват Г' ~„'бу) ( с .1,2,3) а УдовлетвоРавт Условна Ю~~, Гл')(~ ) Ф о.
Тогда пРостю подсчетом находю, что 'ф д ы у,я,т),,(у~ фе =Ке~, а ураькенве равновесия (20.6) в Ьткх коорпаватах будках Г Ц,д д )=о, Г Ц,с~д о ) о, ГФь,оао)тй о(20.8) Первые дьа урелневкя о учетом у)минская сказа (20.7) преиставлявт собой ураьнення относительно коорцкват щ,, дл . Условия ва силу обеспечиаехн резреяиыость етой састею, тем. сани воино нейтн КООРДапата О,', Сх' ТОЧКИ, ПОКОЯЦЕйОЯ ЧЕ ПОВЕРХВООтк 0, = С~'.
Следовательно, ксе коордювты полонская равновесия опреаеаммоя. Последнее ке ураженае (20.8) определяет ыроеицав реакцви па юрмала к нове)аноета гч„''=-Г '(Т'>. с) Пусть поверхность аерохоьетея. Тогда тевгмщвельвея реающа- -ПП- — сила трения, согласно ззхону Кулона, может принимать любые зна- чения из интерэацв ос ах1,г( .
следовательно, т сг,, полозив, точка покоится в некотором полокенви на поверхности. Тогда, сот ласно (20.5), для атого полонения будем иметь ,. Рице Нормальная к поверхности компонента силн имеет значеные ~~ -уу-. Условие равновесия ае/,Лл~х мозно теперь представить че- рез зитивную силу в усзвнение поверхности в следуюцей фо(вце: (Р ту')л ( Р(т) У Д, (20.9) Оно и представляет собой то условие, которому долины удовлетво- рять коорцинаты точки, ноковщейся нз поверхности.
Кзк нздим, яо- локений равновесвя окззынзется, вообще говоры, бесчисленное мно- жество; они заполняют собой некоторую часть поверхности. Если в знрзвении (20.9) сохреним только знак равенстве, то по- лученныы урзвнением совмеотно с уравнением у= о онределяетоя некоторая криэая на поверхности, служащая границей области рзнно- весвя.
Если поверхность /=с служит поъерщностью с.=~' орто- гональной системы коорцвнзт, то т('= 4/б , р=г.р т и нес ' с 4 равенстно (20.9) после очевкщюцх уарощеввй прннй)цвет следуюций вид! 19" (д, о с,') «Г" (д д сс')~Ре~ (д,д с ) (20.10) 4 . Рйэновесие точкк на ве оховзтой с Найдем положение равновесия тяжелой точки на иероховвтой оЩере (см.рис.16).
Пусть Р -вес точка, 1 - радвус сферы,,(, - козфцзю(иене трения при покое. рассмотрим равновесие в с$ераческих коорцинатах д=ы , у =В , с = т . Тоща уравнение сферы и компоненте веса, согласно з 16, будут Йт-Г о, Р =-Репу, ~л О, Р„' =Ргоз~р. Уравнение облзстя разновесвя (20,10) в зтои случае будет 1 Роз угяа ф влв ф у~,( #ля границы области равновесия фу- зг, отсщца яолучвем дэз значения угла сД=атсф й у = атс ~('-Х~) = я-гб Следовательно, границами служат пз)вллели Ы= (г, в ы-м .
Из условия разновески 1(уу/.~,(~ теперь ясно, что облвстяцв -116- равновесия тякелой точки будут поверхности звровнх сегментов, примыкэхмих к верхней а энивей точкам сне)м. При уменмхенаа трения до нуля я, о будем вметь, м о, х-и, т.е. области ревяовесвя стягивается в точки, ссвяедапхае с верхней а янаней тсчкэмз с4еры.
5~. Равновесие тоэки вв квази Пусть точка вокоитоя нв квази, эеденной уравнениями у (1)=о, ух Л)ев . под действием ектквной силы, вависязей от ресстоянж .с'=Р(В) . Рассмотрим реэлкчные скучен. э) Пусть полевение равновесия, совместное со связана аэвество т= т.
° ~ Л.)=о, ф (г,)=о . Тогда эктвжвя сзчв такие известна ГЛ ), н урввненвя рявновесж поэволянт вычислить реевцав лжж. Юля этого доотвточво представить реакции в виде Л=М~Я а спосектэрсветь уревненае равновесия не естественные оса взвив. В итоге получаем урввненая Р;е.а,'=о Га,м„г= о, ие,и, =о (20.П) Отсхив вщ(ж, что сила трезва й нормальная реакция ревев по модула и противопояовны по непрвввенвв ооответотвевно кеовтельнсй и но)мальвой оостажяжей вктижой свкы. Рассмотрим теперь овучеи, когда полоаензе равновесия веренев не эяджо и доливо быть определено.
б) Пусть точка покоится нэ гладкой линии. Реакция гладкой кивни яо)мввьяе к ней а монет быть предстэввжв вырезеваеа Д=Я=,р~ .,у~ . В этом случае урежевзе уазвоюсвя оовместно с уражевием ванин Рч+Л, Ч~,+~„Ч~=о, й- О, Ух=о (20,12) девт воэмоаность вычислить коорцвнэты покощейся точна а реекцвв книна В самом деле, пусть расснвтрвваемея ввозя яввяетоя координатной линией о. вжоторой ортогонаэьной оаотеж кооравват э,оео: Ве% % "с, ~я — Тх Ч~ о( (20,13) фавачеоже ае компоненты озаы, будучи непрернвко дзЩереацаруежми 4йввцвпаи коордвжт Г -Р„'б)) ( с 1,2,3) > удожетворвж ще дополнительному уоловзв дР;"/6 то .
Тогда простой рвочмг покаживет, что 4~~ -оя, (я у, к; ~=йду)> со, я -117- 0 Л~— ° ( у~=~ ' =Ж"'с л гул = — я„ РУл ял , и уравнения равновесия (20.12) в этих коорпжетех примут жа ~ (9о9щ9,).У9; -, Р (9,,9,,9,) лл~'=о, 4'Ф,,~9)- (20.14) Последнее из них, в салу ураэаений (20.13), явкяется уражени- еы для 9 . Условия на сизы обеспечавапт его раэревамость, так что аэ него юкыо определить коорпияату 9 точки, покоящейоя на ли- ани 9=9,', 9 = 9„'. Тем сеыж все коо)маната полонения равновесия будут установлены. Первые ке два уравнения (20.14) определяют реп л~ ' =-г„"ар') У =хк) . с) Пусть лапая с трением. Будем очитать линии заданной парамет- рическим уражением г-г(з), где д - раостояаие.
Иэ закона Пу- лона для равновесик на ланки получаем а/лГ~У, . Уравнения рав- новесия (20.П), ваятые для некоторой точки линни, позволяиы зе— клпчнть что Условие РавновесиЯ а/л,е~~; асино пРедставвть тепеРь в одной из слеяуз)знх ФоРм: л, Я л у;~ ~' Iе, е'я, — > —, -х- ( l г му' ' Поскольку Ре=à —, иэ послжнего неравенства находам условие, которону долвно )щожетворять расстояние ю точки пум уажовеоии ьл (20,15) т Подобно равновесии на иерохсватой поверхноста, полоаеввй равно- жсия на аероховатой линии оказывается, вообще говоря, беоконечно иного; они заполняют собой некоторув часть ливив.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
