Лекции Бондарь часть 2 (1247308), страница 16
Текст из файла (страница 16)
э 17. Лзжкение точка по ланки Рассмотрим теперь матвыатическую постановку и разрешимость задачи о движении точки ндоль линии. 1о. Основной закон низинки и и никении Рассмотрим точку, дникущуюся здоль кривой Л, зосоще говоря, иеремшэамцейся в пространстве. Всякую кривую ыолно рассматризать как линкщ пересечения дзух поверхностей. Пусть текима поверхноот%3и для линии Л будут ~1х,хэ,х 1)=О, ф ~х,хл,х 1)=о И7,1) Относительно посаедних эавискмостФ предполагаем, что они не язлаюгоя следствшем одна другой, т.е.
фуницаонзльно независимы. Условием независимости, кек известно, будет отлачие от нуля хотя бы цдиого иа функциональных определителей А = Ф о (ыФ~, ы,Р =Лад) (17.2) 'Я, Ь) ба А .„.„) Как установхено ранее, поверхность действует на точку с некоторой силой-реанцией. Следозатзльно, воздействие линии танке сводится к реакции Я, которая ранна геометрической сумме реакция поверх- 95- ностей. Таквм образом, прв двзвевии по лавен основной закон динамики следует брать внмзне таким ке, как в при дввиенив по поверхности гпа=лч~я П7.3) Установки общий мю для Х в рассматриваемом онучке.
каис(ая из поверхнвстей П7.1) навладнвает на ускорение точки следумхее ограничение: ч~ а+Щ=о, пух.а+,Эу о. П7.4) следовательно, реакция линни долана бить набрана такой, чтобн условия П7.3) и (17.4) бнлв оовместнн, Предотаввм реакцвв з виде трех состакляпцих, аз которнх две направлена по но)мазям к поверхностям, а третья - по касательной к левик Я= ) РЯ тЛ Рл~Ф, Я1 Р~, 41 У)(л .
П7.6) Тогда подстановка уокорентя, найденного вз П7.3), в соотношения П7.4) приводит к сведущим двум уравнениям для Л и Ла Л,(П~/'+Л, (~~ УУ =-Р'-У~-тЩ П7.6) 4 Ч ~4 ~Лл(~л) ~ '~~я' -'тл . Определитель А этой ахгебракчеоксй системн, в сазу известного --л — -е .юл векторного товдества Ф с,) ~(4~с) = б с, мсвно представить з виде л-(71( )(Уз) -(Ц Ч/) -(7~*71л)).
Коли квадрат модуля некто)ного произведения градиентов внразать через компонентн градиентов и воопользоватьон обнчннм обозначени- ем фувкцаональных определителей, то окскчательво получим „~у,ц) ~аа„;ц цзъ,|>~л В силу уоловий П7.2), этот определитель отличен от нуля, а, следовательно, уравнения П7.6) определдзм мвокители связей в за- висимости от времена, коорпюют а снороотей: Л„=Л„( Г,л,л ) ( е =1,2).
Тем сюам вполне определяется но)юазьная к ликии сос- тавлямпая реакцви, Я=Л, г~ тЛ Я П7.8) Что касается тангенцвапьнсй реакции й, то уравнения связей остав- лявт ее произвольной. Эту реекцкс наанвавт сизой тренка. Величава ее определяется из закона Кулона, учитызсищего сопротивление двивению вдоль линии. сь а=-1м'Ф~ (17.9) где 1 - козффзциент трения, 4 - скорость дзикеаия относительно ланки, а М - модуль нормалнзой реакцаи, равный .а~=ДА'= дх1У~Я.З'~У!"У(,2~~ Р,'.
(17.1о) Итак, реаицвя ланки оцредеаяется зыраиеаиеы ,2=л,тУ,~лл ~,-лг~ ~щ. (17.11) Если Г=о, линию называют гладкой. Реакция гладкой ливии направл.. иа ао направлению одной вз ее нормалей и внрааается йсрмулой Ц7.8). В общем случае прв Нто ливия называется шероховатой. Реакция иероховатой линни имеет норыахьвую и тангевциахьвую составюпщие а оыределяется фо(юулой (17.11), С помощью найденного зыракеаия для реакциы устанавливаем, что ооновной закон динамики при дзикении точки идель линии имеет ввд ча-Р+А Р~ тл РУ' -ХМ' — *. х г л (17 12) 2о. альн некая вакения по непо званой линии в ека токах кос иватах Пусть точка двинется по аеподвианой линии отяосительно декартовой системы координат л,, лл, .т, .
Пусть линия определена кек нереоечение двух поверхностей бах,, лл, х,) =о, ~а <х„л,,л,)-о. (Л.13) В зтсм случае скорость двккения точки относательао линии соинадает с абсолютной скоростью. о;=й, и основное динамическое уравнение (17.12) имеет звд, ед-Р л, тУ ~,(л 71' - лЯ вЂ”, с (17.14) Спроектирован сто равенство на координатные оса, получим следуюаве три скалярные уравнения дзнкевия точки по линви: гпту -У" тд -'- т,( — —,(Л' — «-~'Е.~ ('с--124, (17.15) их сг' .г„ лая щ называемые еще уравнениями затравка пе)июго рода. Система трех динамических уравнений (17.15), рассмотренная совместно с уравнениями связей П7.13), позюляет определить величины .(, я, и л„. ( с 1,2,3) и тем самым найти дввкевие точка и реакции связей.
в сыну которых нредцауцке уреиненвя упроцвщоя и нринаюшт вад: ю д4 1 Мн.к — — — "~ =Ч'+ЛГ а=Си) тМу+ — — '-У )-Г-Ь~, (17.17) уя д~„л э е ° ~з уй дуэ р ° р ~ ю л-~~с ч'' нне уравнения и предстевмшт собой двфререяцкаяьйне уравнение двцкенкя точки по неноюыпной канав в ортогонахыюх нооравнятех Пые~ те с уренненюию овяэей (17,16) она поэнолявт определить датские точки по ливии в реюоцш лаюЮ, т.е.
цоаюстьм реветь эахнчу. действительно, цуоть эадюю масса точка, коэф(эиюеит трент, комноненты саян кек непрерююо дирйерею(нруемые фую'юю фт 9 н соглесокенные со окявюв качальюю уоловиа Р С(,Ч7), У„м 9~, 7 (О) Ч г Ф хду). (Ру 18) тогда первые две уравнения 07.17) соююотно со овяэямв (17,16) онредсвшг физические кмюоневты ворюачьной реекцме люшк а ююе следухмнх кенрерннво дарререьувруемых функций: РУ,'1Ч,,Ь)--~.
-7~ ~~Ч. "( э-1 и) . (17.1Э) Пры этом пооледкее на урейвапй (17.17) мокно вредстевать в юце нормелькой овстемн двух ураэнеаий цревме части которых венрерюпо даЩмревцаруюю цо й, ц,,с,, По теореме 4, усэокня которой ююажюю, ормютиует единственное ревенко с. = 7, ~О, $ 7' а() удокаетаормюее урааненюю (17.20) и нечвньюю усмюням ус) с,', йМ () ', С помсмьа найденного даиаеввя но фо)аулва (17.1Э) онредеаявтся компоненты нормаэьыой реющая> а по юю - оаэи треюю. Прв днмэенвк точны по глашей ливии ноолецвее ва урвваеюю И7.17) не содераат реакций; оно независимо от друтвх ураавеиай а слуаат для ккхоцнеюю дааяення. Первые ае дка ураэиенва смотаю (17.17) опредеашт ксмцовмпм но)маньяой реакции, чо.
Естеотненные кнемаческяе е инская цо нец ш Пусть точке двинется по неподиваной носбце верохоаятой иянин Л, заданной саоюю еотестиеввнмв уравненвюю; р-.~м, м- хЮ (17,Ы ) В атом случае динамическое уравнеыие двикенвя (17.14) тс=г и а, м=(,ту 2 т/ (у=-Ел'— удобно проектировать на естественные оси ланки: касательную, нормаль и бннорыаль. Выполнив проектирование, получим систему трех уравнений: гп5 -Е -ЕМ тЕУ =.с ~ЛГ о=Е'~~Л~~ (17 22) назызаемих естественныыя дннэмическиыи уравнениями дзикепяя точки вчоль кривой. Рассмотрим решение задача о двакении точки вдоль лиани и определении реакции лакан, основанное на нспользозавви естественных динамических уразнепзй. Пусть, наряду с массой, коэф)шциентоы трения и естествеяпымиуравнениями кривой (17.21), заданы естественные компоненты свлн н начальные условна: Р =,4 ~Едх, э(у) з(о) =ю. „~(о) = ~„х (а)=..х"„~уо) ~б Д7.23) Компойентй опля, кривнэау н кручение считаем непрерывно дифферепцируеыныи функпиямн свонх аргументов.
В казематные быко установлево, что если крпвазва и крученае заданы и обладают перечисленными. свойствами, то естественные кянематаческие уравнеяая совместно с начальннмк условиями, деваемныа местью последними условпэмв (17.23), опредаэяют параметряческие уравнения лавин в декартовых координатах и эйлеровы углы. х =х„Ез), г~ = ~ (3) б,-дУ.М. (17.24) В силу этих соотнопеяэб(, второе и третье дааамическае уражекия (17.22) дают значения компонентов но)авизной реакции в вааисююоти от перемеввнх Е, л и 3: Я Йл,л)=тМЬ~-Ел™, И ГЕл,й)=-Ь' 07.25) Пе)мое ке из уравнений (17.22) поэзолат определить дввиевие. Лейотвительно, это уравнение с учетом (17.24) и (17.25) мозно представить в ваде во)вюльной сястав двух уравнений: АТЕЕ ' <ЕЕ ж э л э — ~ = ~ ('Е"'-Е ЛЕ'" Ч"), правые часта вотоуюх, в окау уоловвй аа активные силы, будут непрерывно двф$еренцируемми фующкэмп е, л и у .
по теореме 4 эти уравнения а аачальнке условия уус) у,, Вес) -з. определяют единственное резекне у уЕЕ), 3- йй), которое в даат эакок дюиевва точки вдоль линна. Фо)мулы (17.25) дают теперь возмоккость вычислить в завасвмоств от времеви порэюльпую ремщдю ж- -100- Взйф а пс Вей В сазу треазй т 18. НругозМ ыатеметзчеокай юмтввк В кечестзе првмера ресомотрви дзваовйе тоЧВВ По веПОДЗВВВОЙ гледюй окруааости, реополоаеввой з вертааааьаой паооюста, под действием сапы тяаеота. Текуз точву везвзавт кругоюм метеютичеокзм мейтвййой. В первом прзбммезйй йетейетйчесййй юятавксм мтй- ИО счететь груз малых реемерсз, ппязеиевыый О помозьз аевеоойогб стеравя з варваре бее трапа.
1, е В ЭВЕ Полагаем, что дззкевке точка пройоходвт по гладкой окруавоотй РЕДЗУСЕ а , (аоясйсаеаесй З ЗЕРтваааЬИОй ПЛООКООта Х,ЛВ , ЮД дейстзаем веса Р ло Естестзевипе урвзтеизя лзвйа (17.21) в скучав окруавоотй будут о. (18.1) Поскольку Окруйвооть ИВООкея лй кйя, Вв ейаеровзх углов переайвиа будет только окав (я=у -о, и. = 7 Ю, респолоаевае естеоазев- вых ооей окрузвоств укаеево ва 4 (мо.18. Лагко мп(еть, чю ИОЮОВезчз евтвзвсй сазе Веса тстав ь еотеотзеввих Осях везйсят толью от угла м Ре „, 3 Р~=т~бо5У, Р е О. (18,2) РВ0.18 бпареяоь вв урежеввя П8.1) окрулвоота и ва еааезкяе свай (18.2), определаю ревзпйв окрузвоота а дзааевве точки аа оаедузщего вечйаького оостояваял О 5=5о, 5 =Ф~ (18,2) Лля реаевая Задача воспользуемся естеотзепайей дюемюесаюи у)азвеваямв (17.22).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
