Лекции Бондарь часть 2 (1247308), страница 27
Текст из файла (страница 27)
5~. Тес об и еяе кинетического момента отнооитеи о ент ме о Рассыотрме теперь црвменевве теореыы о кинетическом моменте к двикеккю механической системы отнооательно осей Сл,'л 'л„,цоступвтельио неремщиезщахоя вместе с центром маоо б но отношению к неяодвикяой системе Ол,л л .
Обозначим абрек те а ф полоаение и скорость М -й точка систеыы в подаянных воях. Тоща нареметрн дввкения точка в рееннх системах овявевы очевидныыи соотнояе наема 1- 7+х' У= УтК (ы 1,...,я). а т т о Овнрняоь нв етв йсрмулы и не определение канетвчеокого момента систеа, прихода~ к равенству Х,"Щит т ) Гх$ЯтттслЯтЭ+~Ят„т)ха+~ (т ло~„я), У Отсьще, нрщщнщя во внимание йсрмулы )' т„-иг, Я ~„т„я~-о, Гт Π— Йт„х„-о, Я(т ~т„~г)-Х, т " у устанавливаем, что квяетичеокие моменты оистемы относительно наводненного центре 0 а центра меоо састены С свяэенн оооткоаенаем .~ ~,~ т т~ л тк .
(30,12) Аналогичным способом получаем, что связь менку главныыа моментеын внешних сиа относительно центров 0 и С Лг= Е(Г„пгг„Щ Ефг„) имеет эид Я = 7 к7»тЯ» Р» ~"~'», (30.13) Подстановка векторов с, и М» по Пюрмулам (30.12) к (30.13) в теорему (30.1) при~в~д~ит к ныракению НМ "~ »Ггяа -Г»)=Я» с»1 кз которого. в силу теоремы о двииении центра пасс системы м$-Р'», следуют равенства ~Д 7» сН~ зли — е=/~ рс дяу). суС е сЫ (30.13) 6о. Прниокакпобатз Применим теорему 30 к выяснению секрета прнвка акробата в гоэдухе, когда он делает сальто.
П на щле прияла акроба~ сообщает своему телу некоторую угловую скорость вокруг горяэонтальпой оси бх э, проходящей через центр масс тела. Тзк нап единственная действуыэая на него внешняя сала - сила тякесты - проходит через центр масс (сопротивлением воздуха пренебрегаем), то ес момент о. носительно оси »я~ .равен нулю, поэтому будет справедлив инто~ / рал площадей .~» =1'а)' пса»Т 1Руппируя корпус, акробат резко умсныаег момент нперцви (;, в результате чего угловая скорость тела резко возрастает. "то позволяет акробату эа малое время„ пока он находится в воздухе, успеть совершить полина оборот к приземлиться но ноги. а 31.
Изменение кинетической энергии систеыы П этом параграбю установим зависимость мекку изменением кинети- Полученные соотношения выракеюг собой следующую теорему об изменении кинетического момента относвтально центра масс: Тессона 30. Производная по времени от кинетического момента системы относительно ее центра масс равна главному моменту знеэнкх свл относительно этого центра.
Таким образом, получили следухнсн( пнтерссннй результат: для Р 1 дэвлення сястемы относителыю осей цх,'дл.хэ , поступательно перемеэсюэихся вместе с центром масс, теорема о кинетическом моменте вырзиается точас так ке, кек если бы центр масс бнэ неподвижной точкой. Зта теорема позволяет получать первые агтеграэы в случаях аналогичных теы, что быэи рассмотрены выпе. ческой энергия систеиы и характеристиками прклоиеяннх к ней сил. 1 . Тео о ° .вээмшми ;(эменение кинетичеокой энергии механячеокой оиотемн при ее дэикении внраиаетоя оледумцей теореиой: Теорйю 31.
Проиэволнея по времени от квнетичеокой энергвв оиотеин равна сумме ющноотей действ)чиня на оиатмэу внешних и внутренних оик 1 эту — =М/ т.М. (31.1) ю,БЯ чер в й .днкчения механической системы а точек лу~ г'„эГ„' Ф-д...,л) . умноккч окааярво обе части уравнения двияения т -й точки'на ее скорость, ф и результат прооуммируоы по юеи точкам системы; в итоге получим эыракенке (31.2) Легко видеть, что левая часть этого равенства равна производной по времени от квнетичоокой энергии систмэн с~4 сК э — — мТ ~,м„ӄ— "= — )д~ы„Ц Р =~~, что каоаетоя правой его части, то там атоит сумма мощностей энешних и внутреннвх сил аиотеын драя —,. + ~.
ус —. ))(э+у) Тем самым (31.2) совпадает с равенством (31.1), и теорее, следовательно, докаэана. Теореме является ояедствиеы дм()шренциальных уравнений двикениэ системы Как видим, кинетическая энергия системы мелет иэменятьоя как эа счет внешних, так и внутренних свл системы.
3тим она отличается от теорем о количестве двнхения и кинетическом моменте, э которых внутренние силы были исключены иэ рассмотрения. Другое отличие оо окмг в том, что последняя теорема вы)шляется скалярным соотношенвйм, в то время кэк ыредыдукие имели векторный характер. Интегрируя раяеяотю (31.1) по времени от 1=0 до э , будем иметь т-т. = м"л', (31.3) -163 где Р„ с Р„ А=/Л/ сУУ=.Е/ ~'„~жУт„, А=1ЯсУ(=Е/ Г' У „ е ' Р. О л' суть (аботы внеайх и внутренних сил па перемещейиях точек. Равенство (31.3) выражает теорему об изменении кинетической энергаи системы в интегральной форме: изменение кинетической энергии системы при ее перемещении из какой-то начальной конфигурации в данную равно сумме работ на этом перемещении эсех заемных и внутренних сил системы. Интегральная форма теоремы справедлива при действии любых сэл.
Однако для вычкслення работы нужно в общем олучае знать уравнения двикения тачек. Поэтому теорема о кинетической энергии, вообще гонора, не дает первого интеграла уравнений движения. Она позволяет найти его в тои случае, когда работу можно вычислить, не прибегая к урэнненням двнкения. Эти случаи будут рассмотрены нние. Если ыеханнческая система язляется неизменяемой, то хля нее мощность, а следовательно, и работа внутренних сил равны нулю; теорема о кинетической знергяи прн этоь принимает слакумлие, болев простые формы: у1 — =М' Т-Т =А ж > (31.4) т.е. скорость аэменения кинетической анергии неизменяемой систеэа раина мощности ее внщэннх снл, а приращение кинетической энергии нв некотором переммаении равно работе ее ннщэннх сил нв этом перемещении.
Пусть механическая састема состоит из одной точки Р. Тогда для ыее все действущхив силы будут инеаними, и теорема о кинетической энергии примет вид Р ст' тил— гпту ли~ /— аЧ и — — =Р о- ижи — — — '= ~руст'т Я л ) ' (31 5) Р еж~ям г Введем дополнительные предположения о действухщих на систему силах. )(опустим, что внутренние силы системы зависят только от расстояний между ее точками. Тогда, как было показано ранее, ннугреннив силы потенциальны, а их мощность есть скорость изменения потенциала „., у с(у~ у' = — = ~ Л/ж- — у — х ф~: Р' ('т )щ'т бт„ Х „м )с уи ~ -1 64 где У У Л',..., ~)еоть потекцэельнмэ энергия внутреющх саа мкв ! проото вкутрейвян потевцввчьнва энергия састеи4 Теореме о квнетнчеоксй эвериэн з форне (31.1) допускает в этом случае предстеваенае с~Я У~~ ~е (31.7) т.е.
скорооть неыеммщя оуэев кинетической к внутренней потенцвваьной энергза овстеыы резне мозноста внеиявх-ова окстеыы. Разувается, мояность вневнах оак енотовы не опредевнет невезения кадкой ва стах энергий в отдеаьвоотк. Рассмотрим денев саучай, когда потеяцввлтвыыа явэямгоя и зненнве окзы. Тогда будем аметь -г бУг е НУ~ и Р' =- — ~ .)ч =- — > У =У Й,...,Т)(31.9) буэ сут т" л~ где Уг — так неэнвамва потеящщльнея энергия внмащх она язв энеивяя потенщвщьяая энергия светав. Прк этом теорему о кннеткческой ввергая (31.7) моаво предотеввть следумнэы обраэоеп сЧ '1 (Т У' У') -О Отсаае сяенует, что з раосыатркваемом случае веет место тетегри энергия Ее7+У'тУ гмп.ыу.
(31 9) Сумэу квнетвческой, внутренней в ввеаней потевцввльных энергий обоэнечввт через Е а нвэывемт позной мехащческой энергаей оиотемы. Ревенстзо (31.9) нарекает след)ущяй эекон оох)аненая механической энергия: пря двакенав састеын под действием потенцнкаьнмх свл ее полны механическая энергвя оохреняет постоянное значение. Потенцвельность внутренвах в внеанвх свн реелаэуетоя, з достаточно нароком классе пректнческк ннтереонмх эедвч.
Таковы, например, случаи, когда силы эезаоят от 1исстоянзй мазду теламк. В чвстноота, это юшолннется дхя свп тяготенка, скх упругой дефо)вмцвн в з некоторых других сзучыях. Псла зе, вонзю потвнцвалнщх озз, нв сзотеыу действуют такач а непотевцвккзные сизы, нвп)заэер, саны тренев, то мехензчэоква ввергая не сохравяетоя, а переходнт з другве фо)мм энергвнэ непрзмер, з танковую энергвв. Прщеоон, в которых такой переход вмеет место, ввэнзвхм дяоозпйтаипвщ. В эееых уоловвях в свау неаэбенного оопротнвненан дзваещв.дзооапацвя механзчеокой энергии провсходит всегда, поэтому говорить о законе оохраненвя энергви в атом случае новью лишь в известном прибликении. 3 Условие потек ости свл (31,11) Выше выяснено, что при двикении систшеы под действием потенциаль- ных сии ее механическая энергия сохраняется.
Критерий потенциаль- ности силы э" устанавлинаетоя следупцей теоремой: Твсореэш 32. Для потенциальности силн Р, явлююейоя непрерыв- но дифреренцируеыой функцией координат, яеобходвмо и достаточно выполнение условий да н; бЯ,Р=ДД У) (31,Ц» д.кэ Ат.( Действительно, пусть сила Р' потенциальна, тогда дЕ/ 6~= д д,з), с с>Х где Еl= И'.х) есть силовая функция. Двф)еренцкрованием этого равенотва по кооркюите .х получаем условие (31.10) ,м.
д'р ~'~ а*,, = б„Ы = б~„а~, = б необходимость, таким образом, установлена. Для установления достаточности условвй (31.10) нукно воиазать, что при их выполншэссти мозно найти такую функции 1У, щи которой будут выполнены равеяства (31.11). Для этого проннтегряруем пе(юое из условий (31.11) по -х, от .х, до ~,, считая х и ~~ 9ю- сировавювю параметрами, тогда полупю -тэ с'(т) =) ~ (х~,Хя,.хз)сКх н~1хл, ~). (31.12) хо Построенная функция при капом у удовлетворяет первому из соот- ношений (31.11). Функции (Г воино выбрать так, чтобы удовлетво- рыюоь и два других.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
