Лекции Бондарь часть 2 (1247308), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Реактивная сила пропорциональна скорости убывания мессы вли, кек еще говор(т, секундному рослову массы и относительной скорости отделясткхся частиц; поскольку ги хо, направление атой силы противоположно скорости й' . Обычно скорооти й' и о имеют прстнвополскные направления, поэтому реактивная сила действует в направленян двнкения, она ускоряет движение точка.
Называть векторы Ф, и (ол силами позволяют два обстоятельства: во-пе)шых, зтн векторы, как это следует из формул (34.5) дззсют размерность сил, а, во-вторых, она проявляют себя как обычные силы и могут быть изыерены динамометром. Таким образом, аффекты присоединения и отделенвя частиц зквявалентыы действию на точку саециальных сид т) и 4~ . Уравнение Мещерского является обобщением уравнения Ньютона на случай движения тела переменной массы; оно совпадает с уравнением Ньютона, если процессы прнсоедвнения и отделения частиц отсутству- 4о.
Постановка ачн о виженвк точки емеммгзе Векторное уравнение мещерского в проекциях на оси пряыоутсльной декартовой систеиы координат Ол,~ллз дает следухщие трн скалярных уравнения: гп„е' Г т я ми' -л и'а ° с м т с л с Ге АДИ (34 6) э которые опредазяхш математическую модель "точка переменной ьшссы-. Лвф)аренциальные Уравнения (34.6) позволяют решать прямую и обратную задача двнамнки. Для решения основной шш(ачв к ураняениям (34.6) следует присоединить начальные условя у=о, ~Я(О)=п~, Лбе)=Л ХГО) Ф' Г~.ййз), (34 7) Условия существования и единственности решения основной задачи вн)шжает следухщая теореа. Теор(ма 36.
Пусть известны действуапзя на точку сала ~Ух,.т), относнтальные схорости и' (т,л,л ) ( ' =1,2) как непрерывные функции времени и непрерызыо диф)шренцируемые фуннцви коордияат я скоростей и законы присоединения и отделаввя ыасо гп,п), ~,,И) как непрерывно дшфференцвруемые функция времени. Тогда сущее вует единственное ршнеяие уратшеввй (34.6), Удовпетворязшее усхозппве (34,7). аи~м~м ~ Р чаотиц в начальному условвю определяется в любой моыент времени масса точки, согласяо ннрааевию -176- юП)- .
+l(~"'+ '-'-й~,(у, .~ аЧ сИ (34.9) о '.рсвнвквн (34.6) допуоквщ теперь предстеваевве в ваде нормальной слстемн урюмеяяй о явваетявмк п(амвю чвотюю Д = дл, Д- — (Г Цми ' ы™) бехд4.(34.9) ., овлу сделанных предполояенай, прево чвота уравпенвй будут непрер. меню Фуыкцмюв щемена а кепрернвно дай~)вренцвруюваю функцнящ коорцвппт я скоростей. Оледовательво, по теораю 4 будет сухествоввть едвнотвмпюе реяеыые оастею (34.9) л'.
х Г1) х .х,М (« 1,2,3), удовлетворпяюе началмвм уовозащ (34.7). Теор6ИВ доявваяв ф 35. Пцчепне ныли в насмхенвой атмоофере П качестве первого прннере Дввямюя точкя персмеЫпОй мвсоы рпсаютрщ педоияе капля воды в неощенвой парма атмосфере с учетом воарвотеявя мессы капля вследогвве ковдевюцаа паров пв ее поверхноста.
Пусть капам педвст с некотОрой мюотн под дейотваеы Окан тяяеств, Позмюм намыв оточетв декартовой овстещ коорцаяат Од,мель в Яачахьнсм пхвххенщ аэцак, непуввщ пе)еУм ооь веР- тнксльно вняв, а две другае осв орвентвруем некого)вю обрезом в горязонтачьной пхоскооты ((мо.30). уотавовщ ваков щцепвя каппа о и. в атой светаю коорявввт в ведущих пры(помюенвях: квплк оотаетоя все х время наросбреьксй ° вовдух пеподввяен оопротивленне двяаенав отсутствует, в, нвкокец, возрастание массы капля таково, что ее ркхвус реотет по лвнейнону закону: г= т.т (, (ЗПЛ где х - постоянный коэффпцкент, в - квчахывй радиус кеплн.
Поскольку нес нытерссувт переыеыоняя хвплн, значительно преьосходяыпе ее рсэмсрн, хвплв тонем росоматрнветь кек точку переменной массы. При двнаеняк каппы пронсхщкт только прясоедянеиве 179 частиц, поатому, согласно закону Мещерского, она будет двигаться под действием силы тякести Р и тормощпаей силы 4» лг — =Р~ Ф Р=л,э (0= — (и-й). а т' у т ст (35,2) Вследствие неподвииности атмосферы абсолштная скорость присо. апвняпехоячаотк; равна нули й.о , поэтому то(иозящая сила будет равна 4=-~ Р, т.е. она нап(валена протез двииения точки (ркс.
т щт 30). Уоловие зщрообравностн капли позволяет представить эакОн вэт ыенення ее массы в виде ~я=д ущз, где г - плотность водм. На основании этих результатов уравнения двииення (35.2) моннэ представить в следукщих векторной и коорпннатной формах: сТт® су(т'л,) с6"с'.4) аМт' ) — =ф — у — = ф, — д — =О, — ЯГл =с. (35.3) Найдем решение этих уравнений при следухщих начальных условиях: 6=о т= х, .х =лт=щ =о, л~=п', лл-Л о, (35.4) Переходя к интегрировании уравнений (35.3), правде всего заметим, что второе и третье уравненик с~вместно с начальными условнями (35.4) дашт г;х чп =о , тх -гл о ; откуда л -г,=с, ,х,-.г, =щ Таким образом, пепла будет падать по вертикали вдоль оси л ,так что.т, =щ .
Лля интегрирования первого уравнения (35.3) удобно ис- ключить из него время с помощьш соотношения (35.1), половив ще М= — . Тогда сразу получаем первнй интег)ак с((зз6~) = ~~4 'Ит, тэсс--ф~у т ~бг, ст сюя.и Постолннаа Гу опРеДелаетса начыьнымк Усковиими в взще с,.„Х, у ча Таким образом, окорооть капли определяется через ее радиус сле- душкей зависимостьшз 0'= ~г-к+ — (т т ) 7 «тл) сзг~ Полагая далее Р= — - с — я интегрируя щке реэ, получаем стт щз второй интеграл где бе - произвольная постояннея.
В силу начальных условий (35.4( -180- эта постоянная определяется знраяенаем з О= — ( — -«)+ — т +б . .у я(е '/ и (35.т) Вычитание равенств (35.6) а (35,7) позволяет исключать постсяннув (:е н получать зеннсямость пройденного пути от редауое капля в виде (35.8) Формула (35.1), (35.5) н (35.8) реваат задачу, девая зависимость от времени скороота точка к ее коораннетн. Пня вссхедсваввя полученного дакзеная зта Формула удобно представать в другой йорма, а вменно: (35,9) Отсцна, в частноотв, видно, что еслн конденсацвя отсутствует, то ,я о, мз,, в вз празеденвнх внреяенай получаем известный результат для падения кепка поотояняой меоон мя г =~у«уу х~=фу+ ~я — э (35.10) т.е. капля падает с ускоренаем оалн тянестк. Пра накачав ае нонденоецвк пвденае напав суаеотвенно отличается от дмвеявя (35.10).
Тек, если считать нечнльанй рздиуо капля ннчтонно медям по сраваенвю с поснедузвМмк его значенвямн, то мозно принять 1,с . В етом онучке зеков педенак капая будет вметь вдд ф у(я .ф= у- ~ (35,11) т.е. капая будет падать уокоренно, но с ускоренаем з четнре раза маньяам ускоренна саян тякеотн. 9 36. Ввнкенке ракета вве поля сан )(внкевве тома с убнващей наосой провллястраруем на првмере двнаеная ракета вке поня онн, Пусть ракета о рвботазвМм двагетенем поотупатеяьно дзккетоя в проотреяотве адана от матераачьнмх тел, тек что ах ноздействаем доцуотвв пренебречь.
масса ракета убнвеет со временем по захев- -151 «от— Ф= — й, ()6,: ) нзпранчснс пготзвспочжп!о вектору й, !отзвонил,,вптс!и!о рэкетп отпосзгельно кче)лп!альнон опстепп отсчет ~ ох,нелл, начало потовой взято в ночззьнон поколении рачетч, ось хс яагстплсно против вектора йз, з кругла оси орпаптировзнп попого !гз образа~ . )!'сть начальное условия !':евт гвд Й О,лт яд=хо,х ча ЯЯо(СП,2) "'огдп и де((ствупомя с!лп ф, и начальная бкорость «направле!и по оси л, о теореме 23 двккенпс б„с(ст прнь олине!',нпм и б)т(ет пронсзоккть вдоль отой осз.
Сооектиоуя уравнение (36.!) на ось викспия, будем иыеть «Ы«ь ,~~ «е. Гтопча, после рззчслгння пссеьеннгх по..„чаев перв..". интеграл суп.=-и аЬ~, ьг=-«з Й и ~с~, б = епчзт, нпчольнппн уочовгппи (3Г.2) постэпнпгл Ст опроделитоя следутпМП ОГ~ОЗС:П <)= «;е Ге,п, ° зсото " ." С:О . Ионзпоппя Онсростк ранзтп и:осг ч(ч оъа+и Й вЂ” ' т т (36 3) нз.улз стзнз1пирпет з зю., вопр отпнчп скорости ропота с . очьчзпае: ео посс".,', к.
в по (з!кстп с (лк'отпев(пз двигателем на.-., зз:..: нтпн! пГ соз:понг:..ораз т„з ~ге пассу и скорость в коппс октгвного ..вост г:. Готпо пЗ,О)муля (СС.З) найдем, что пРс(счм!з (наибочмзсн) с!ореста, которуп получит ракета, когда бу-((2— поп; закону т=гяЮ !рмзеа, что отчоснтсльнзя сиорость нстезния газов явияется заданные постоянное векторо."". й, =жэиг . В :так уоловиях ракету мозно рассматривать кзк точку переменной !мое -. Согласно ззко!г„Мещерского, этз точка букет пвчгзться чел де.)- т;.лсм одпон резктивнои силн йй лв — = ф сгг ; с; как тсо, силе (Вл лет израсходовано все горючее, опрелелпетпч рсвепствсн о И д'. 4„. „-~ 1(~-~л) Ьлl-Ь)+ыЦ. С помоиью равенотвэ нэ т, р-мул) ото вп(лшение раэовать к веду .гг 8$+ — '~ Гг-у-й~), аъ -183- мачно преоб- (36.8) м= ~р~и й ~' . ',"., ~) ~ее Это эцлшэнне 61шо получено г 663 году ."шожо ..
п" и зэээээстся ормУлой;еэолкогс"ого. 'отуш1((нолэсчэго'.о по ээггчет, ~тс иэ '.ниьнаа П,<орхть ракеты полпостьч опрсдсачетсп огэосэточыпэ сэчпсйэ го, ь: эго и отнг слтельной скоростью иотс|ония проч)мт . сг~ это(ю|пш; пэ тэгэп т от зшгчс нзменензя масон. Пэ о)ы)ш шычо, тс -.елп аьэть ~й конно за счет узэчнчсния кэк а, , таэ и †' . Вто 'всээчсппс -- ээктивнее производить эс счет )эелэчшп:и спорое 1 пстсченип :-; эов ич, тэк как эавксшшсть ~й от этого и: Ропоту юшейпап, и менее знгодно эа счет чвсличения вессс горючего, тэн как сй зависит от логсрнгэш — ' сМэю )(ля установления уравненвл двнксяин ракеты полсэш1 ~,~ и пгсинтегрируем уравнение (36.3) с учетсю началыпш "слошэ'.
"'6.' л в итоге получим х =к~ Гбэ — ' (36,6) тв уак видим,,равнение двклойвя зависит от закона сгорание гоплита. Полагая Г-гл — моменту окончания Работа двнгстаэя, для длшш ектнмэого участив я получки впрсиение ' ег хг=аЕ ~иэ ~ й — 'сН ( „) а рассмотрим некоторне закона инпснеяип нчссв Рзкеэм. а) Пусть ракета двинется с псстоянюй реактивной тягой Ф =дэег~. Тогда полагая в)и, =-и, гнэ,, глс гэо - нскоторшт постолннен, нейдем, что пасов ракетн дошша им|езятьсл по линейному ээкону: с(нэ сту — =- онэ т.=- ои,У+а с' ~н.. гэ- а,й '6 И6.7) В этом случаа длияа шггзвного участка, оогласно (36.6), будет рэв- нй в~, Пусть ракета двякется с постоянным реактивнны ускорением У »бе»Г .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
