Лекции Бондарь часть 2 (1247308), страница 33
Текст из файла (страница 33)
(39 7) но из схемы ясно, что Х' =.с -,с Е , где Р - орт оск г' , поэтому сПЛ =су)с, тзк как Ы.Е О вввду ортогональностя векторов. Следоветзпьно, ~й Л йт = ~Е. О йт = й ~~йт = Ер т = о, т т е так кзк р м), к фщиулз (39.7) доквзызает теореыу. Из твереза следует, что для некоторой системы парвллельных осей момент внерцня тела имеет наименьшее энвченке относительно той из ннх, которая проходит через его центр масс. Момент инерции тела относительно осв произвольного юправлвняя, оказывается, мозно выразить через нвправляхщяе яоскнусы этой осв в некоторуш совокупность шести велвчын. )(ействительно, момент вне)з(вя тела относительно оси Г определяется вырзлеякем (39.4).
Поъьызм начало О системы коордннвт Оэ,э,у в некоторой точхе оси Е в представвм 1воотоянке А элемента мессы ~т до оск челрев его рздвуо вектор АУ и орт оок Е . Иэ рве.37 следует,что л л л Р Р~, где Я =Р у = Ез б, - цроекцкя рэдвусз-векторы -196 по направлена оси /8 о!юоноптп орта оси численно рнюш посют;сам углов ысчпу осьв г н ко- М ' а (т орпюютнныи оонми г„=ссэ(1,л., ), поэтому их назппспт направюсюзз!и и косинусами оси тот йакт, что г яву лается единичным векторон, н!)минется !ювенством Еф1 б =1.
С Вго .,лез с л со!иямв л ююно выразить следую%э аим образом! Рис.37 Я'-~фг у"-ууудф = Гечэрь осего! момент инерции (39,4) будет ойределяться выражением )' =Е)т е~ (39. и) ю. (э .(е.4 ф~ где введены обозна .нкя фР;,'э Уму )сом=/~~~~р~~у~ )о)э Р~уэф~р Д~~э (Д4 (39.9) Расширим теперь круг используемых величин. 1(аунду со скаляром ~, определяююм в системе отсчета о.т,л х оюпээ числом/, и пектороы а, эодююеьэю в той ле системе тройке" чисел — компонентов а„(м =1,2,3) ° буден расс!Матрюзать поьув векичпт( так называемый тснэор второго ранга Я, который опрскеляется в этой системс квздратно! матрнцей девяти велич!ю — компонентов Ям) ( ~,д =1,2,3).
Рангом тснзора псэнвппт число надексов у его компонентов. (Инзы из достпточнпх критериев тенэорной природи величины Я является требование, чтобы двойная супма псоизведеню! его компонентов на коцпопентц произвольного вектора а бюю ровна некотороыу скююру/гу' = ЕЯ„яа.,а~ц . Полученное выше равенство ( 39.3) кпп рээ такого тюпа: осевой о ыомент кперциа 1 являетоя сксляроп, а вачнчюп ( - чоппонентами пооиэвсльного виктора 4 - орта про!эпольпо'! осп б .Следовательно, совокупность девяти вели ин 1„и, выреиаемык поры~- лами (39.9),определяет тензор второго ранга ),„называемый тензо- роы инерции твердого тела относатсльно ~астра О, Иэ вырюкений (39.9) видно, что 1 = 7„'э, следовательно, тен- зор инерции твердого тюю будет так называеюа сию!етркчнны тензо- ром второго !юнга, и неэависююк компонентов у него будет толь- -197- ко шесть. Домпонентс с одинаковыми индексами 1„' ( > =1,2,3>, как легко вздеть, имеют выражения (39.8), т.е, яю>лютея осевыыи >>о:>ентамг, инерции относительно координатных осей, с компоненты с Раэнгьм индексами имеют выражения 1 =/ =-~УЬ )е(У, /'=/'=Р У )з(У, /'=/'фу)ч( .
(39.19~ Их называют центробежными моментами инерции. В символической Форме тензор инерции записывается так: Г;- ~ (Р 3-РР)ут =~(Р В-рр)/ У>/, (39.П) г где сюэволаэа б, /У/У обозначены так назынаемые единичный тензор и диада, определяемне матрицами компонентов г~ д и ЮФ„' у у соответственно. Юор>эула (38.8), таким образом, устанавлим>ет> что момент инерции твердого тела относительно проходэщей через центр О лтбой оси есть однородная квадратичная Форэм направэяппих косинусов этой осн, коэФуициентами которой служат компоненты тензора инерции относительно центра О.
Для вычисления ыомента инерции У,т достаточно, сэаповательно, знать тензор инерции тела в точке О и направление оси. Известно, что вектору а макао сопоставить в качестве геометрического образа некоторую плоскость, уравнение которой выражается следуюцей линейной Формой компонентов вектора: Еа. т =1 . Анапогичнзтй геометрический образ можно сопоставить и симметричному тензору второго ранга; им будет уже поверхность второго порядка. Уравнение этой поверхности получается слапуахюэ образом.
Отложим на осн б отрезок огу длиной ~/рф' . Очеию(но, что Радиус-вектор точки гу будет равен с = о>ч = Е /)>ф" , а ее координаты иыеют значения е„ = г /)>)' . Геометрическое изото этих точек можно получить, если направмяюцие косинуоы оси, выраженные Фюрмулами ~ = )>Я э, , подставить в соотношение (39.8). То~ да после сокрапения равенства на Гя получаем следуюэую квадратичную ФОРму: Е !' у г =) , которой соответствует некото- 'Ф >л рая центразьная поверхность второго порядка. Поскольку Х„ко для каждой точии атой поверхности модуль радиуса-вектора конечен, эта поверхность, слаковательво, будет эллипсоидом (см.рис.37).
Этот эллипсоид является геометричеокиы образом тензора инерции, его называют эллнпсоидом инерции. Задание компонентов тензора -198 инерции однозначно определяет аллипсоид инерции. Знание ке последнего позволяет найти момент инерции относительно любой оси, проходязей через его центр: он выраиаетоя через расстояние р от центРа до точки пеРесеченин оси с повеРхностью Фо1ээУлой Гг' = 1/Юл Оси симметрии ээлипсонпс инерции называются главнызщ осяыи инерции тела относительно центра О.
Уравнение зллипсоида в главных осях ииеет вид Т,е те й„ ~ ,э, - х. Моменты инерцви тела "Ф т э Г,', Г', 1'отэосительво главных осей инерцви иазаваются главными моментамй инерции. Пентробезщые моменты инерцик в системе отсчета, совмещенной с главными осяэм, очевидно, равны нулю. Таким образом, квадратная иатрица компонентов тенэора т 1„'„у поноротом координатных осей до совмещения с главными осанн йнерции приводится к диагональному виду т1'8~,, 1 Пзвестно, что, скакем, ось Д будет осью сщщэетрии эллипсоидэ инерции тогда и только тогда, когда его уравнение не содертит ЧЛЕНОВ С ПРОИЗВЕДСНИЯМИ У,рл И З,Э . Этс бУДЕт, ОЧЕВИДНО, В СЛУ- ве, хоцца 1 „=О, 1 =О.
Таким образом, чтобы координатная ось, проходящая через центр О, была главной осью инерции тела для этого центра, необходимо и достаточно обращение в нуль центробщтных моментов эп ерции, содеркэщих индекс атой оси. Пользулсь этим критсрием, устаыовим некоторые свойства главных осей инерции. Волн твердое тело имеет плоскость материальной сиьээетрии, то для кадкой ее точки одна из главных осей инерции тела перпеццикулярна отой плоскости.
действительно, примем плоскость симметрии за плоскость э, зл система координат оэ,э у , начало которой совпадает с рассматриваемой точкой. Смэметрия тела проявляется в том, что его плотность будет четной Функцией третьей координатк ~СУ„ Рэ,зз1=Уф,е фйлоскость Э,йл Делит обьем тела на Равные части У=Як'. В этих условиях легко видеть, что т =-~й у ~Ж=-Ъ19, й, У,ЖУУН,)у~6А,-У,)~у-а Аэаэогично устанавливается равенство Т' ею . Тем самым свойство установлено. Поли твердое тело имеет ось иатериальной симметрии, то она будет главной осью инерции для всех своих точек, В самом деле, взяв ось симметрии за ось й~ системы координат оу,у у и поместив начала О в некоторой точке этой оси, получим слаирсщее выражение свойства симметрии: ~ ®вйл з ~ =~ ф~, -ул,-у ).
-199- ПОЭТОюйр ~„=-/Цй,ун~=-~а,й,111 И„,а„и~~~у1-У~~„-~;Р,) ~'=, где И - обьсм одной из двух равных частей, на которые тело делится плоскостью оу,у . Точно так пе устапаыавается и другое равенство 1„' -О . сладоветелыю, свочстзо доказано. Зо. нне онные ха те нстикв тпс ого тола. Тенаор инеущии твердого тала копет быть в п1слен длч любой точки. Тензор, эллвпсо|щ, главные осн и моменты инерции для центра масс навоюют соотнетственно центральным тензором, центрэльнеэ оллипсовдом, главннын центральными осями и гпавниэи центральншщ моментами инерции.
Знание центрального тензора инерции имеет большое значение, так как по нему ыокно ввчислить момент инерции твз 1сг Относительно лебОй Оон 1 , проходящая через лкбую точку 4 Р не прибегая к ннтегрированню. Действительно, по теореме 1ЮПгенсаШтейнера1гяг=1мРРчтл, и дело сведется к определению момента внерции 1м относительно параллельной оси Е', проходяпей через центр масс, и квадрата расстояння мазду осями сул; последние ке определяются внракениями С ~ Р 1 1 ~ 1 ~ ) 1 1 ~ р 1 ~ К Инерционные свойства материальной точки характеризуются одной скалярной величиной-массой. Инерционные ке свойства твердого,тела более разнообразны. Двикение твердого тела слагается из поступательного дввкения вместе с полюсом Р и иэ вращения вокруг оси Е, проходящей через полюс.
Инерция в поступательном двикении характеризуется массой ~п., й во вращательном двикении вокруг оси - моментом инерции тела относительно этой осв 1 , Для знания ке по- Р м ' следнего, как выяснено, требуется. знание цейтрального тензора инерции, массы и кооущвнвт центра ыаос. Танин образом, инерционные свойства твердого тела определяются десятью величинами: т, 1~, т Ь~,в=1,2,3). Твердые тела различной форым, размеров и распределения масс, у которых укаааннне десять величин одинековы, называют динамически подобными. э 40. Динамические уравнения давления твердого тела Клк установлено в кинематике, двккение твердого тела ч прост- "Пб- ранстве определяется шестью параметрами: тремя координатшэи .г., полюса С и трмея углами Эйлера ~„, йшксирушэвми ориентапию теда относительно систщеы отсчета (рис.38).
Составим теперь систмэу диФчеренциальных ураннений, поэволяюлих определить эти величины как функции времени Ф А с д~=-~ыЯ, ~~= ф~(т) Ф" Ьйл).(40.1) Твераое тело является частным видом механической системы, поэтому диКеренпиакьные уравнения его давления могут быть получены из уравнений двжкения системы. Своеобразие твердого тела проявляется в том, что эти уравнения могут быть получены нз общих теорем динамики.
1о. Количество ввжения н ккнетическм1 момент тве ого тела и с =й'«и «",'р «асл ~ г «к « «к о у Представим себе твердое тело, разделенным на большое число п частей, и пусть «эт, , о , й„ и р„ соответственно масса, абсолютная скорость и относительные скорость и радиус-вектор по ойноюению к центру масс к -ой части, Тогда количеством двичсння тела в его кинетическим моментом относительно центра масс называют пределы, к которым стремятся соответствухщие величины для системы его частей, когда число частей возрастает до бесконечности, а их размеры убывают до нуля е Е= «' ««'„' ««л с «м " дк-о « М=/О «««Я = ОУ««У Х=~Р«а<Хт ~Яка~«У)«(40,2) т ч Как и для воякой механической систсэш, колячество двниеняя твердого тела связано со скоростью его центра масс соотношенпем А'= отф л =пп«, ( '-4ДФ (40.3) Оказывается, что,члп твердого тела мекку кинетическим моментоы н углсвоП скоростью «ы полно установпть аналогичную -201- связь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
