Лекции Бондарь часть 2 (1247308), страница 34
Текст из файла (страница 34)
действительно, двикенне твердого тела по отношению к его центру масс будет сйернческим, поэтому скорость любой его точки определяется аюрмулой с =ю~о . Если теперь воспользоваться соотношением р о-'=,с,,а7.р)=р«ТрГре7)=(,'сО'-,оЮ а~, г ы=и7 и выракеннем (39.11), а такие учесть, что вектор м не зависит от выбора точки тела, то кинетический момент К мозно представить через тензор инерции 1 относительно центра масс тела и угловую скорость тела следующим образом: Гм=дл,л), (40.4) где проекции взяты на оси сопутствуюцей систеэм кос(щинатс'у,уз~.
Сопутствукщая система координат обладает тем преимуществом, что з ней компоненты тензора инерции являются псстояннщзн величинаьщ, поскольку располскение тела относительно этих осей не меняется со временем. Если ке в качества сопутствухщей систеиы гЫзуэ взять главные центральные оси инерции тела, то в данной системе матрица компоневтов тензора инерции ырнмет диагональный внд у1' у= уус' ф~ ° че н Формулы (40.4) для компонентов кинетического момента значительно упрощаются б с=дя,б) . (40.5) 2с. Кинетическая эне тве ого т ела Кинетической энергией твердого тела называют предел, и котороыу стремится квнетяческзя энергия систеиы его частей, когда число частей возрастает до бесконечности, а ик размеры убынают до нуля.
7 = 6т. г ~$ ~гкнт Т=/ эт айат Цуцуи и -С I У (40.0) зн-о ,П у В соответствви е теоремой Кевнга кинетическую энергию твердого тела модно определять по Формуле я УЯ'Щ„п'у УУ, (40.2) где Т - энергия двикения тела относвтельно осей, поступательно персысщампихся вместе с центром маоо, В этом относительном дввкенвк скорость точки тела определяется формулой Р -а',о, поэтому ллп квадрата скорости а учетом (40.4) будет справедливо нырзкение -202- и - Р(эуюр) = ау.(рлй)-суГгрияс) р1 Пользуясь км, а такие тем свойством, что ор не зависит от выбора точки тела, легко получить для ввергни Т представление 7' %~ с7 Е1 а71 = ЙЕ1 а) а~ ,)е с е В частности, при совпадении сопутствумпнх осей с главными центразьнвми осями инерцви тела 1' = 1/4е, эта фо)мула принимает эид Т= )ЛЕ,) и' = Й(1 а)ю "Юла)л "З а~~,) (40'9 Если, наконец, воспользоваться эыракеяняыи компонентов угловой скорооти через компоненты орта с мгновенной оси вращения тела Й =«) ~„,й=ЩЗ~то можно представить Т через осевой момент инерцяи тела )ем в виде Т (40.10) 'л ~м ~» 3 .
У внення икания тве ого тела Возьмем в теле в качестве полюса его центр масс С . Тогда теореьы о центре масс систщзы и о квнетвческом моменте системы относительно центра масс, применительно к твердому телу, приводят к следукщим векторнвм равенствам: 'т те сЯ т-:д =Г> — — +с~~.~~ =Ле (40,П) Спроектируем первое из нях на оси свстемы отсчета ал,л л тогда получим три скалярные уравнения т~х Г (ы 1,2 3). (40.12) Что касаетоя второго иэ равенств (40.11), то его удобнее проектировать на оои совутствухщей свотеын коорпвнат бу,ул (, , соэпэдакщей с гламввщ осями инерции для центра месс тела.
При этом компоненты квнетического моиента будут определяться формулами (40.5); само ие векторное равенство будет эквивалентно слеиувьим трем уравнениям: 1 7 +Е б с~ У с' -М 6'*4Л,У) (40.13) ~с эу ~~зУ,Е У 4 .с Ваметви, что глаавй вектор и главный момент прнлоиенных к телу внезнвх снл в общеы случае являжся функциями времени, координат и скоростей точек припсиения Р7„: Р, М~дг, ле"., л" (о 4ДЛ; ~=4,м). Однако в силу кинемктических Формул (7 Ч,Ч) Ут =Ут <Ч,Ч,~,Ч,Ч,Ч) бщ =4ДУ), в котоРых кооРЦинаты тт точек пРилсивниЯ сйл в сопттстзУзмей, системе считаются зздвнными, зсе они будут Функциями только времени, кооркинат центра масс, зйлерозых углов и производных от зтгх величин по времени ~'=~ (1 л~лл у, у), ~1~=П Я,лх,л~,ур, (У) ЙС=4ДУ), (40,14) где кзждый из симнолоз л~, л', м, м означает сокрвщенную за- пись тройки аргументов х„", л„~', м., (я (,с =1,2,3).
Теперь легко видеть, что прйсоединением к уравненные (40.12) и (40.13) кинематичеоких Фораул Эйлера ы =фас(ФА~7~~у~гчоФ, ел~ фили(лаан(р-(рлксм, о~ =(бом(~лЯ (40.15) получаем полную систему дифФеренцизльных ураннений, описызахщих движение твердого т ела, В отличие от кинематическик уравнений (40.15) уравнения (40.12' и (40.13) наеызают динамическими уравнениями двзкения твердого тела. Система (40.12), (40.13) и (40.15) содеркят девять уравнений и служит для определения девяти Функций л л, й, и а~ (ы =1,2, 3), т.е.
она является замкнутой системой. Эта система и определк- ет математическую модель механической системы "абсолютно тверкое тело". 4 . Постановка з ачи о нзжвнин тве ого тела для твердого тела обычно считаются заданными его масса т и тленные центральные моменты инерции 1, , ул , 1 . Осноьнзя задача о дзкченки твердого тела ставится следуюцю образом.
Требуется найти двикенив тела под дейстиием зкианнзщ внеаних сил Г=ГС1,х,х,ч,ы), П =Пи,л л,У Ш) ( ля) (40,16) происходящее из зеденного качельного состояния 1=о, л л,х =а г/ и, м =о) б' хд4. (40,17) ,с .що~ ~ ~с' с л Решение задачи сводится к интегрированию системы девяти уравненвй (40.12), (40.13) и (40.15) двенадцатого поржке при яачальных усложях (40,17). Условия разршжмости этой задачи выралает следующая теорема. Теойема 38.
Если известна масса и главные центральные моменты инеш(ви тела, а вншэние силы (40.16) заданы как непрерывные функции времени и непрерывно ди4ференцируеиые функции остальных а(аументов, то существует единственное решение уравнений (40.12), (40.13) и (40.15), удовлетвсряюзее нажльным условиям (40.17). Дцказатжь(э(ю. Разрешив уражекия (40.15) относительно производных от эйлеровнх углов, молем прецстажть систему (40.12), (40.13) и (40.15) в следуацей нормальной форне: В салу сделанных предполокений, правые части этих уражений непрерывны по времени и непрерывно дш)ференпируеж по переменнию л , у,м. По теореме 4 задача Капа (40.18) и (40.17) имеет единственное ршпение.
5с. вишенке несвоб ного тве ого тела Рассмотрим двикеыие несвободного твердого тела. Наличие геометрических связей упрощает двикенае тела: теперь оно не мокет быть произвольного вида, а имеет некоторый специальный ха)актер. Зто приводит к уиеньшению числа яеэажевыых параметров, определяюэкх движение тела; часть иэ них эздаютоя как известные ф)щипки времени или вырзкаются через остальные неличным. Однако, поскольку динамичесиие уражения пивугоя для свободного тела, в нкх, наряду с ззданнызи силами, войдут и наперед кеяэвестные реакции связей. Определение двиэения несвободного тЕла сводится, таким образом, к смешанной задаче; по чаоти заданных уравнений двккенвя и внешних сик с помощью дшрреренциахькмх уражений и начальных условий требуется опржелить оотальные уражания двикения и оилв.
При решении смазанной зедачи жеото динамических урэженвй ,кш =гЧ, ~ гу иногда удобнее пользоватьоя другой оиотемой, в которой уравнение изменения кинетаческого момента относительно центра васс заменяется аналогичюа уравнением отноонтельно неподвкиного центра 0: (40.19) Примеры движений ыеоиебодного тзердого тела будут рассмотрена в дельнейнеы. з 41. Действие снл не твердое тело Из динамических уравнений движения свободного твердого тела (40.Б) следует, что дпнкенне тела зависит не от пщда к располскения отдельных сил, а от их суммарных характеристак: главного вектора и главного момента. Отсхца ясно, что две системы оил будут оказывать на тело одинаковое воздействие, если у них раины главные векторы и главные моменты относительно слного 'и того же центра.
Такие систеын сил называют зквипалентнмзи. Пусть нв тело действует одна сила г, пралокенная в точке, определенной радиусом-вектороыр . При перемещенкиснлы вдоль линии ев действия ни сама сила, ни момент силы не будут изменяться ркЕ'=~оксо)~Г=,с~У, так как л,с'Р'=о в сину коллинеарности нектаров. Следовательно, воздействие силы на тперкое тело не зависит от полсаения силы на ее лиани дейстпия. Рассмотрим специальный случай системы снл, когда ояа состоит из двух равных по величине и противоположных по направлению сал Рч а -Р, не леиащнх на одной прщзсй. Эту систему называют парой сил. Легко видеть, что главный вектор пары сыл ранен нулю Р'-рч=с, а главный ыомент имеет значение М= Гр -Я) Р, не зависящее от л выбо1а начала отсчета, Вектор Я перпендикулярен плоскости, в которой лежат скзы. Наоборот, каждому моыенту сапы макао сопоставить некоторую нару.
Выясним теперь, в чем проявляется эрйект действия силы и пары снл на тело. Пусть на перзоначально покоивхвеся тело о'=с, еу =о действует сила г", приказанная в его центре масс. Тогда момент силы относительно этого центра будет равен нулю, и динамические уравнения (40.6) прзмуг взд Ыф — с Щ З7 ~ ' с~~ Отсюда Х,=Т еуы1, 'Ы =о, и, спзщопательно, ау=о; цвятр же масс будет вообще диигаться. Такщз об)взом, под действием силы, прало- -ТОБ- иекюй в центре васс, аерюяачэльно пококызееся тело иачкет двигаться поступательно вместе с центром масс. Допустим теаерь, что ка первоначально аокоиыпееся тело с,"=жую подейстзовела пара сил с моментом Л" . Тогда главвый вектор системы сил будет нулем, и уревнеавя (40.6) будут виде т4 ст — = о, Ж Ш =М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
