Лекции Бондарь часть 2 (1247308), страница 39
Текст из файла (страница 39)
1 . У внение эухения и их интег и ванне Рассмотрим двикение твердого тела юкруг неподвниного центра масс под действием одной активной силы - силн тякести !' при начальных условиях (=о, ш = 5, й = ю' ( -дщз), (50.1) Поскольку центр масс неподвииен, его ускорение будет равно нулю о =с , и из уравнения лвиксния центра масс с а, = Р~с находим, что реакция опоры будет р= -Р . Так иск обе внешние свлм Р и С прилокены в центре масс, их главный момент относительно этого центра равен нулю, т.е.
т =о , следовательно, твердое тело в этом случае будет соверзать инерционное вращение. В рассматриваемом случае динамические уравнения Эйлера (49.2) принимают вип 1 ~" (1, -1,) м, ~~ = о (50.2) 1 ='е(7-Х)е) а~ =с. з с11 Эти уравнения образуют замкнутую систему, которую молно интегрировать независмео от кинематических уравнеяа1. Найдем первые интегралы втих уравнений, полагая, что р1 ъ1. Умноким для этого уравнения (50.2) соответственно на е), ш, е( и словим результаты; в итоге получим " ~ сйй~ * скад " см 1й — '+1 а~ — т 7 е) — ~=О. е ~сто л л ~ут з з<Н Интегрируя, находим интеграл 12~ 1а) +Ха) =ф э и и (50.3) где л — произвольнзл постоянная. Это есть интеграл энергии. он, выракает постоянство кинетической энергии тела.
Для нахокдения другого интеграла умноквм уравнения (50.2) соответственно на е), 1 «)л , 1, е1„ и почпенно сложим, в результзте получим -230- (50.10) 1'М вЂ” 'т Г" о> — ~ е 1,М вЂ”.Л.о Л сй Л Л,ХГ л з,т( После интегрированна находам внтеграч (50 4) где .~ — произвольная постоянная, являхщвйоя интегралом моментов. Сн ввражает постоянство модуля кинеткческого момента тела. Чтобн получить выранеака компонентов углоюй скорости от времена, нужен еще одна внтеграл, Его монно установить следупцвм обрезом. Внразвм компоненты м, и абаз герое с)л, используя ннтегралм (50.3) н (50.4), тогда получнм ",а л л «л л , - .У, О, — ), Ы, = Л„(Л„- 4 ), (50.
5) где вместо .~ в я взеденв вовне поотояннне Л, н Л,сог- лаоно йорвулам 1Х-.г' =1 (Р-К)ЛЛ, Яй=т,(1;т) Л",, (50.5) а ЧЕРЕЗ .~ И .Ул Обсенасанв СЛЕНУМЗВЕ КОМбвкадвв ГпаВННХ ЦЕН- тральннк моментов нне)з(вв: ул(4 1л) -~ ула,-1), ~Я При этОм, поскольку ю зо, е' го м .У>0 $'РО, тс Л, ЗЮ, Л З ЕЛЛ . ПОотОЯННМЕ Л; Н Л ОПРЕДЕЛЯтМОЯ ИЗ е'л*в (50.5) по йачахькмз давнвн (50.1) в заде я л я '~ох 'л д ег Л=Ж т — ~ г я Л =оЛ' + — н л л .ул (50.9) Подстамв теперь во второе вз ураваенвй (50.2) значеквя «~,' и е~х по формулам (50.5), получим м л л х а ул)('1 1.) с~~ Я ~л)~Лл ел) ' б р " (50 9) Д, 1, Сохраняя справа анак пзвс (набор знака для окончательного вида решения не сумественен), равделяа перемевнне веантеграруя,найдем Йл х* Д~) ~(~"-ю,) где,е - постоянная интегрирования.
Из этого равенства мозно представить зависимость ээ пй через эллиптические функции Якоби. Вкд этой зависимости окончательно определяется значениями постоянных Л, и Лл, т.е. начакыпэв условвями. 1) Если Л,>лл, то полагая а~ =л А ~, что всегда воэмоино, поскольку ю~ лл, получим из (5ШО) (50.11 ) 4 р У-Х Ал~~ )(ля эллиптического внтеграэа и=~у -.р —.у обуитной Функцией будет амплитуда л= а и . Вклийтвчэским синусом на- знвавт тригонометрический синус от амплитуды,то=япы =ь,а гиЧе- реэ гси мокно определить две другие зллиптическае ф)эмцрщ оа а =~я-М~и, с~пи =~/~-галлаи, назнваемые аклнптическнм косинусом и дельтой амплитуды соответст- венно.
Зти функцви прн нулевом аначенви аргумента принимавт зна- чения Ллоьа ос о:л, Ыао=1 . Кроме того, иэ определения сле- дует, что эллиптаческие функции являвтся цериоднческими с периотн г~ дом л(, где Н Вру ЩШ Лоты =л а,е1 «е,), где э, — новая постоянная; слаковательно, мл =лллпает~р,> . тэк кэк п)а г=о, ~й=йл, толэл5.4л/ Подставляя выракение юл в йормулн (50.5) и учитнэая равен- ство л л =Л,, получим аависииость от времени всех компоненЛ~.4 тов угловой скорости М~= Л 4 сл/л Фр~м), ал)=Л Фlя(Л~етФФ, л б( =л, Э, ыа (л е( ~/ь ) . (50.12) 2) Если Л,<лл , тс, полагая Йл л,,с» с и вводя обозна- чения л,/л =«л, аналогачннм путем найдем, что ~~= Л Ул от/Ллю1Я), а)л Ллят9 п(Щ, о) =Л 2 сп (Л о( ~Лук), (50.13) о где з„находится из равенства,/лаз = а>л / А Кроме рассмотренных основннх двух случаев, воэюкны еие сле- д умхие: 3) л,=о при этом из (50.5), в силу б >о, получаем, что сд -~>.:о, «) = 2,=, тело в атом случае совершает рэзномернос вращение вокруг оси 4,; 4) л =о; в этом случэе все время а) =с) =о, й =й' — тело и з з равномерно вращается вокруг оси у 5) л,=ли--л; в этом особом случае интеграл (50.10) вычисляется в алещшэнтарннх функциях гл '4л у е/ф/Э у -Л- и- — — й , й =Л/4 /Ла(~р ) Е - ои1, =.л о и компоненты узловой скорости тела будут гиперболическими функци- ями времени ш)л=Л-л)Ф4-(М+~~„), сл) =ЛИ/ле/0б,) з Л~~ 'Кт( ~Лш/'/З ).
(50.14) Эллиптические функции Якоби суть функции периодические, соэ- тому, как это следует из (50.12) кэи (50.13), периодическими функ. цилми бУдУт и компоненты Угловой скоРости с пеРиодом т;=41/ле- пры л, >л, или т' = 4Л/л я при л с лл . следовательно, по истечении периода вектор узловой скорооти примет относительно тэлэ прекнее полевение. Для окончзтельного решения задачи следует еще знрзэить эйлеро- вы углы в функции вреиени, т.е. проинтегрвровэть кинематические форэулн Эйлере. Тек кек в рассматриваемом дзикении /7с =с , то из теоремм о киыетическом моменте Х л$ вытекает, что .С~- осэд т.е.
кинетический момент тела отйосительнс ыеподвивного центра постоянен и по модулю и по нзпревленвщ. Последутщее исследовзние значительно упрощветсн, если этот постоянннй вектор пгсннять за ось аг системы отсчета. Тогда с =.Э Лл и -~ =.Ц' л (ш =1,2,3), где д - компоненты / -матрицы. В подробном ви- де зти форзулы цщкутся тэк: ,)а~, .~~АамлФлы,, 1ла) -/АаУлгйг(лГ, 7„е)л =~с гоЛУд (50,15) Из этих фсрзул мокко сразу опрщелить флй) в яИ), еоли воспользоваться внрвкевиаи для компоыентов угловой скорости.
ОГРВКИЧИЭВЯСЬ СЛУЧаЕМ Л, т ЛЛ (ЦРИ Л, к ЛЛ ПОДОЧЕтн ЗЯЕЛО- гитин) ° с ксмшкьв (50.12) будем веть С аа/л)ш( 0эл ) ~~3 1 Л (~ш(ул,) (50,16) Сюб~~~я = — = ю Ып('Ло1 ~я ) Юля нехоадения ~б воспольауемся внреаеаием (40.13) для производной )) череа комсонеытн утскюой скорости <Ч, ~„Ф~~, э с4сющ й дЬл Иэ первых двух фсрэул (50.15) получаем два соотновеяия " "л "я -л.л л.л л л 1м 1~,=1А-6(")л.б 4щб), Ум,+А=~двб, с помощью которых пра учете вырааевий (50.12) производную ц моано представить в виде е " " м г )~ ) '4с".э 1~.Ул'(1л-4Ул)лл (фага) Отсцка ц найкется квадратурой от эллиптических фуэкцнй (~~.~~э+(Тл ~~ф дл (Лег т/5,) о 1 1;~~а ф-~;)э),талцет,б,) (50.17) о Так как функциям (лр~ е, ) имеет период т,=~ь:.,(ое, то Ип т;)-уй-о . Интегрируя по т, пакучиы ()щ,щ) Е),т).с гце с - еоть постоянная интегрирования.
Функция (у уве на будет периодичесиой; по истечении промекутка времеви т; она получит яриращение, равное б . В этом а аеключается црачвна, почему еу эаймет в пространстве по истечении нериода т;, вообще говоря, другое полевение, если не океается, что с-лщ 2 .
Интег и венке вкений вивениа я и венстве в главных ент ьнвх моментов ине В частном олучае при равенстве двух главных центральных моментов инерции интегрирование уравнений двваениа тела доводится до конца в элементарнмк фукщиях. действительно, пусть ~ - ~ я Т тода уравнения Эйлера (5ц.2) принимают эид ~(4 4)'~~фа=о, х,~~ ~<у-1 )е)е)=.о 1 ='=о. -234- В этом случае третм уравзенве Эйлере дает еве сдвн знтегрел сь= сй, -а ля . На основании этого условия вз посяеднего ревевстга (~0 15) вытекает, что угол нутзцви будет постояияьа оська=-ф-', $„-щ .
Прэ этом, соглаояо йормуле 4- угл4дл,у, л )л газ)5 ,получаем, что аз=у, элу,'ллу,, и первое из равенств (50,15) приводит к постоянству скорости ы 4 1Ч цлб Ф б= 1АлЬ~~ Ьлб, у=Г= и . Иктегркровзкием отсщце получвем ц -л1 т и . Нэкояец, уравкение а~ = мслеул ~ Ьц, привюеьщее теперь ввц ю,=лги~~ +е., утзергдает поотоянство окорости собственного врещеввя ~~ =ы -лслзу -и, . Отсьщз следует, что ц =л,г ~м'.
Втэк, в рзссиатрьвэемом случке лг~у', и, м,', ь1=л ьтм. Двщцеяие, определяемое этими уравневвпьв, яащьется регуля)ной прецесовей. В этом дввиеккв зело ооверэает реьщсмервое.собствевкое врэщенке вокруг оса гу, котщая, в сюв очередь, рзввомерно врзщается кяв, кзк гоюрьг, врецеоокрует вокруг веподввзной оок ск э 51. Эцемевтзрнзя теория гвроокопичеокяк явцекзй Раосмотрвм творцов тело, мьеьщее ось мэтериацьвой савьетрик.
Пусть ово облэдает больвой скороотьв ооботвеявого вращапья вокруг этой осв. Если к тому ве ось юкет менять сюв оркевтэцвв в пространстве, то тею везьаевт гирооюпои. Ткроскоп бсцьвей чаоть» ввполвяется в езде мзосвюого цщцщццрв вли тора, закреплевного тэк, что одиэ иэ точек его оок остается неподввзяой. У дщькеввя гироскопа обвзруяивветоя целый рпь ка первый взглцц пэрэдоксаяььщх явлеяий, обусиовлевзвц его бвстрьзь врацеввем. Этк явлеявя ввзввевт гироскопическими. Ови возяикэвт всяку, где вювтся быстро врвцэьщвеоя тели, ось вревская которыя ювет измеяэть свое вэправлевке, к поэтому визит больяое техвкческое значение, Точное исследоьвкке двккьвиа гироскопа, деве прв дейотвюь ка вето одной тсцько сиам тякеств, представляет собой словвув математьчаскув эздачу. Это ксследовявке мокко значктезьяо упростить и построить првблзкеввуи теории, когда собстюннзя скорость вращеккя гяроокопа достаточно велике.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
