Лекции Бондарь часть 2 (1247308), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Зги равенства ~процент ряд выреиенвй. Еоэбтицвент Л(' и относктельнал нормальная скорость будут равны ю~М' / -Ф помою; пыракенге (5(.(7) для ударного ашульса примет нид Определвм двнкеыае шаров после удара, если кое4фипиент восстановленвя равен 0,5. В начальный момент времени свякем с шарами А и А сопутствухшие системы координат С'1,1 1 и и'1'1'е', начала которых ввя- Я з "/ ты в центрах шаров, а оси вап(шв"/ леви параллельно осям систенн / отсчета. Очевидно, что введенные такж образом сопутствувщае оси будут главными пентрапьнжи осяй ь( ми анерпии шаров. ьы у с), Согласао УРавнеавни джиенж (52.20), шари до удара будут двигаться поступательно; такой ке характер джяения они сохранят в после удара. Поверхности шаров в сопутот- вуюжх сиотемах коорцинат опреде- А. лаются уравненными у.р ~.
-~=о (52.Я ) а Лля представления у1мжеввй в системе отсчета воспользуемся зависимостями медку подвичяымн н неподвианымв коордвнатамк т =.:с -л~, 1'=х -~~' ( г=1,2,3). ". Учетом (52.20) отсюца получаем л Ф ~л Г=-х,, у=-хл,у ця ф ~1я,'ф=~~,й=~~-~,у=.т-ф~~У'у~ . (52.22) Уравнения поверхностей шаров в системе оточета теперь будут Х Р ='х кг ю(л-ЯоЛ вЂ” )-1=0, ~ил+(х -I)+(х-йй+Яр-~1=о. (52.23) Ус~~ 1 Ф" ,-.вхл касання шаров — — =- —, — ( с =1,2,3) в данном случае л ак л'ах, : ':смеют нвц .У,=-х,, ля= —.х кl, 'л -(л (33 т,- уст р~л — —.х,-.уу~ ",(у ~снкг системы (с: .
' ~,:..24' ." яепоспьпим пслоянтельным вре: скем встречи шаров Сук т Такам обраэом, шары стоякнутся спустя, примерно, одну секунду после ыачаяе дввненая, точка касания шэрон п)а этом находится на высоте, составкяшцей примерно тра четверга начальной высоты цеыт- ра вара А.
Относительные коорцинаты точек касания опрццыипноя, соглаово йюрмуяам (52,22), в ваде » » » У / / и =0 ц =)й, у =-~~2; Р»о, ц =-уя,ц = ~~я (52.25) Скорости варов в начаце удара мцчисляинся по уравнениям данне- ния (52.20) и вмешт эначевая с с с И' »' »~ »' у и =и' =о и =- » — и =и =о, и- =о . (52.26) »» ~ х»»» ( т» я» з» Поскольку у~> пуд, они врнмерно раппы по велачине в направлены в протнэопояывне стороны. используя вормуяы (52.25) н (52.26), нетрудно установить, что / -/ поэтому удвщ~) импульс, опрацецяецпм йорыулой (52.18), будет равен у =,, «у Скорости варов попке удара в соответствие с вырэвеыияыи (51.19) и (сь.26) теперь будут Еоыпонентн этих векторов имеют значения »)3 у»ЧЯ к ю»У»" у д»»ц9 ~у.о )у =- — а у = —; К=о у = — с, у = ся у у~ сз у ' Ф ° ся у я'б Р Сяццонательио, поппе удара варн поцучат окороотв ыц я*.е7т» . т'.»»чх»»т7, составцявцае с горшэонтом углы » в с / 1Ь Я'~~~ ~ ~Ь '~~~~3 » У»,т 3/Я д» )»» 5РУ~ Пэнкснне шэроп сося» удара будет происходить как дкнкение нотари- альных точек С и С, брошенных иэ полояеннй ...
',, ос..--,: х косрцыаатями »» зо уу ~ » ' ч .х — ~ =с, .г =-*.» — — — ~х =с,х =г,х /» ' < г я Рр ',, ' »» ' »' »,~у' -249 оо скоростями у» и ф под углами» и с к горизонту !Рис.52). 7 . )!вменение иинетическои зне гпи и н а с !!рп паРе я»ух твердях тел А н А пх с,"ьз приап кинстнческая энепгия, восо ' говоря, изменяется.
Установим еналнтпчсс-ое внражснпе для этого нзмепэппн энергии и ьчмсннм ;оловия, пгл ноторнх оно будет экстрэмэлышм. Обозначим через Т, , Т нянетвчсски» энергии тел в начало улара, э ыоеэ Т» , Т,' - соответствумвие вслэчин, в конце удара. 1ог.!н зон=с нзнэтнческоп энергнп до удара н поело него б дет определяться впрэлениями Л 1 — — 1,~Л ! Т+ Т = — т о» - о7 (( оу )» — ~а'о-' — й/ - 17 . ») ) = я»» л»» с и»» я»»' — (тп»»( ы»»»»'»»»1 ы ), д~~ »»» .» .с» .~ .с 1,л 1-1 Т» Т = л т )' » д Й. (( ь?)» л»'~" » д и . (( х)') = = — Я(»п)(»»1 Я»»ч )' »( Д ) Изменение кинетической внергин тел зэ время удара »Ау'-(т+т)-д„'+Т) будет равно е л,л,,л „л "',л лТ» — 2 ( (К-к ) 1 (а-ы„) г(Р„'»-о,) 1 (й„'-а! )) .
Раэппгся ьарэлсния в кругляк скобкчх пз произведения оазностПД и сумм основана! н используя слпплоаие нэ !51.13) бормулн: и равенства 152.14), будем иметь дт= — Е((Р'.п.,)~„.(хг„а1 )л,-(Р„".к )а„' (а„.ш„")л„)» — — — — » -/ — / 1' )»,й 'Я.Х»!» .п»и) Л»'» й»»7 Л й .й о! ° о) = » — -)»»м-м /. » п ;ээольэуя, наконец, гипотезу Иьитонз ! !.!5) и впраменио ударнс— го м,пульса !51.17), окон мтсльнс получим л л г Пг)(» с ) лТ»- — (у-е)(м"- к')»- . 152,27) и»» -350- ьта Формула вы)шиает теорему Карно о дотера кваетвчеокой ввергни при ударе При абсолштно упругои ударе е =1 в дт М), т.е.
в этом чвстыон случае потери энергии не происходит. Если удар абсолштно неупруцнй то с =О, к потеря знергии в етом случае ыакощцпцьна ьт — (ато'): дд'л л' " 53. действие ударных сил ыа тверцое тело, врщцащцееся вокруг неподвианой оов $ Рис.53 е =~ 4'1Рз ~ ~.'~е~Р"3'Р~~ т Р "~ (63.1) где через Р, 3„и,уз обозначены импульон ударных сил Я, д и 5; в уревкенйях опущены малые члены, иыещцие порядок у ~я/о7хй) т, Р т; ~'Юч,с) т, гй,) г, еР' ФР' еР ' тР рассмотрю действие ударной силы на твердое тело, вращавшееся вокруг неподвивной осн, закрепленной в опорнои подшапнике А и ооевои подшипнике В (ркс.53).
Примем ось вращения тела за ось р л ), сопутствупцей систены коорди)вт ц бу,т т„, а ось у, атой системы направвм по перпендикуляру, опу- Б щевнону иэ центра юос С на ооь )~ .-.. Ю вращения. Пусть на тело, наряду ~-. П ', с обычницк оилаив, выешцав главный вектор Рт и главнай ю- В Г ч нектар,, действует еще уда)щвя сила ~г, прилоиенвая в точке Р. Кроме активных свк, на тепо будут еще действовать реакпив А и В ояор, обусловленные стыни свцаин и врещенаем тив. Проинтегрируем по времени за вреыя удара от юиенте 5~ дэ ювента ~, Г,. т векторные уравнения двккения тела ,уф ' <7аш т — ~тйа~ Г4~А+В, )' ° — ~вкХ=Я~р~ЬркДт3~8 сИ~ о стт те пренебрегая его перемещением за зто время.
Тогда радиусы-вектора всех точек теле воино считать постояннюк векторзыи, и ин буден иметь Угловая скорость тела направлена по оси вращения, поэтому Ы=е)», и леУ=сж,( . В силу кинематической Фортэулы Р = ю~р и е выражений Й =й к„,р, =у ~,, скорость центра масс будет равна ф = а Э,Хх, следовательно, лс =у, лй,( . Заметим еще, что вектора р и р направлеяы по оси вращения.р„~й Я =1 У, . Спроехтируем теперь уравнения (53.1) на сопутствующие осы координат. Учитывая предыпущие соображения, будем яметь равенства д - д+д"~ра (53.2) Номпоненты ударного импульса Л н координаты у точки его прнлокения считаются иззестннми. Тогда последнее из дщвнений (53.2) определяет обусловленное действием ударного имлульса прира- щение угловой скорости тела.
Остзлыше хе „равнения служат для нахохдсния импульсоз ударных реакций. Пайдем условия, при которых импульсы уда(щых реэкцэти не возника- ют или, аначе гонора, удар не передается на ось. Лля этого в урав- ноннях (53.2) надо положить с = ~ = О (.с =1,2,3). Тогда они > примут вид Р" о =,т 4з'", = Г, 4, - ~,'4, С * "а * г к* ту аю= с 1 лм,= р,3,-у,Д, (53.3) цз первого и третьего уразнений получаем, что э"; = о = О, поэ- тому ударный импульс перпендикулярен плоскости, проходящей через ось врзления и центр масс. !(роме тога, иэ пптого уравнения следует, что ) =с . исключив из трех остзэщихся уравнений вели ппг„ л а), получим соотаошенил, определяюаие коорцикаты точки приложении упорного импульса.
з р 1 1м (53,4) тощз т:.лз - этю.п цоо:цзпэтзык Г (1',а,у, ) чз.:эзстся цснт- рглэ удэрэ. Осрззя эз !о(лул (52.4) говорит о тоы, что центр удара находктся.э тел с той жс стороны от оси зрзщсния, что и центр -252- масс, расстояние ке его до ося вращения совпадает с приведенной длиной физического маатныка, который получился бы ыэ данного тела, если сделать ось вращения горызоытельной. Вторая ыз формул (53.4) выражает тот факт, что плоскость, проведенная через центр удара перпендыкулярно осв вращенвя, пересечет последыьзэ в главной точке, т.е. в точке, для коброй ось вращения будет главной осью ынерцвв.
)(ействительно, возьмем на оси р точку О с кооркынэтаыы (О, О, ~" ) к проведем через нее оси у,',у ',у,', параллельные сопутствую- щим осям уе йл, уэ (рксЛЗ). Ноорцы ~эты точек тела в различных системах связэый преобразоваявем / Р р йг =6~ ~ ух=уз, йл„=ул уз„., Центробекные моменты инерция тела 1',~ я Т определяются вырвкеныямн У *б / С ~ у~'у д„, ~"('з у~я)у~„, г ту щу В ОКЗУ УСЛОзяй Ул--с, З О, Г =-„-,УГ, ОНЫ ОбРаЩактоа В НУЛЬ: 1;, ~' -О, что и доказывает высказанное утвергденне. Итак, чтобы действие ударной силн не передавалось. ва опоры,эта сапа долкна быть првлокена в центре удара, кроме того, ова делана быть перпенцвкулярна к плоскости, проходящей через ось зрщпеявя к цеытр масс, к в то яе время левать в другой плоскости, которая про- ходит через центр О перпендвкулярно оси вращенвя. Перечисленные условая, кан легко видеть, являла к достаточны- мк, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
