Лекции Бондарь часть 1 (1247306), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Возичиыв Т , обратная кручоивв, вээыпввтся родмуоом кручокия звыаи в двиной точкою Т - ~/к . Чтобы вычислить кручеыив, умновым (8.11) скоаярыо ыв ч» м эоспокьэуомся рввомотвом (8,10). Тогда попка ыокото(кюх прообрвэоэоиий пудом имать — чг аеГ гсср Феф с~~а ) ей~о Ы~1 ) ~к — '=Р—" — — Р /=Р ( — "— /' Е а~Х сХХЕ (ФХ сХХЕ Ф~Ф/ (ИХЕ а'С~/ Нв основания этик ровоиств в змрозеняя (8.3) дзя врхзвзим позучоом окоичетелввув рормузу «ду к~чу сИ ануе Х сгет Ы'т ,.~,ую ~ о Топим оброэои, б -матраце имеет зид (8.12) о «о О « (8.13) о-а о в пеоовиоиммх отзичямх от и зи оземвта вме вг итак, провезодиме от бвзасммх зептороа естоотзоаамх ооед зииив по дуге Х опредезявтая 6о(кеузомп иг, — Хà — — Хс", — '=«те, — =- «~ +«е~, — =-«г юХХ ~ХХ ЫХ (8.15) которве воемзоат 6ормузоии трепе.
Легко видеть, что тра Формузм (8.15) допуокевт азедуваее компактпое продстопзеиво: Ф~ — =акт ХК*ХДХ/, Л -.Кт; «т; . (8,18) С повевая 4о вуз Ораве зегко уствваозивоится сзедуазие теорема, Текущие ~. Лзп того, чтобы зииип бмзв пррмса, иеобходяио - ч9 Оио имеет дз у 1 аа сммсз крвзвокм в кручоииа ливия. испоззоуя змрозеыие т -матрацы и прокствзиеиае (6,5), походии для промззодмод «г5Х«Х озедуиаое змрввевве: -'зу 1 ' ео 3 — '=Хе,т,~~„т..-«т, ат,. (6 1Ф) и остаточно равенство нулю еб кривкенн.
Локааательство необходимости. Пусть линия прямая. Тот-а ей векторное уравнение ымеет вид х=ул г т,г ~"~ ° Огсмда в силу первого уравнения (8,15) получаем равенство аула «рквизни: сЫ Хат Кт = — '- — = О 1 ч'=о сМ Нуе Лонааатеяьство достаточности. Пусть нркваана лапин томдественно ранна нулю: л'=о . Тогда га первой формулы (8.15) следует, что янккя праман: <~'~),т ~ Т =чуй т т =гаагу. Хге сУ Теорема докавена. Твойема 3, Ллв того, чтобы анния была плоской, необходимо а достаточно равенство нулю ее крученая. Показательство необходнмосты. Пусть ямкин плоскав.
тогда Т,,лт, и Х ":Ь~ ст Х;„ леват в плоокостт иванн. ~Йу* чг-о лу Пледовательыо, в льбой точке ланям ее сопрннасавааясв паоокооть совпадает с плоскооть" линии. По тогда орт аккерманн, перпендвкуляркый сопрпкасанмейся плоскости, будет постояыннм вектором: т," Е'"Х, н тротья мз формул (8.15) приводят к равенству вуив кручеавя: 4'7~ д"T з - — .—. О, Х О я Доказательство достаточвоств. Пусть нрученве аннан тоадеотванно равно нулю: Х С .
Тот.,з ва третьей форнулн арене следует, что орт бвнормалн постоянен вдоль ляпая т;=и.- еьюу. По так каа Тл оргогонелен Т , то справедливо услпеае ортогокелькоств Т..Т; =а — - -=(а.х)= о Ых Ф. с(у Ф5 Интегрируя его, находка а.т чм* уу Нва АХ, +авХе'азха =П " ЬО- а ото есть урсвыенне плоспостн, в которой и долина лопать линия. Теореме доказана.
$ 9. Естественный способ списания викекия точки. Суавствует другоа способ есследованин двипенпя точки, основанный не знонпк ее трэвкторни, в такие характера деииения по ней точки. Этот способ тапио позволяет вычислить все пннеывтическке харвктернотнки лвипвниз точки. В отличие от оордияатного способа ого незынаьп ествстяенним споообом. 1о. у ввненпе викения точки по т некто ин. Пусть зсдсне траокторняя.. точки И своими встсствоынымы уразненипмы ~=~ГФ к =«И. (9Л) В предыдущем параграфе было выяснено, что полояенив точка И не линни вполне.определяетсн рзсстсяннем у , отсчитываемом вдоль линии от нвиотороа начальной точки О до данной точи..
Прк двиконни точк- вдоль траектории расстояниа у будет ненятьсн со временем. Зависииость у*уИ (9.2) называется уразиеыыем днипения точки по траектории. Функции уЮ предполагается одмозначмой и двакдн ывпрерывмо диффаранцыруемой. Естественный способ задания дгчиения точка, такам образом, состоит в задании ве траенторни и ураямвыня дивяеияя по траак-орин. 2с.
Оп в ление сно осты точки в вотвстаеаиоы способе. При двппенни точыи по траектории ее радиуо-вектор воть фуакцая раостоннаа: '= т Гу). В силу урапнгзив днииеныя (9.2] расстояние еавионт от времеыи, поэтому радиуо- нектар точим будет слоныоа фуикцаай ярензви т ° т.1уйЦ . Дифреренцмруа ету зависимость по лремвак н опираясь аа определение скорости, нааден (9.3) суу сук Ж Если теперь везть равломенпе сиоростн по ооям естественного трйхгрвнника Р= Е и т„, где черве ~ обое'вченв 1— 1 проеяция скорости нв естественнув ось $, то срввненпа с предыдувей форнулой прыводит к слелуияим нянчениям для проеяций (9.4) ,„1 1,с,„с „ Отседа видно, что ояорссть направлена по ынсвтельвой н травиторна з стороыу т, при З>с и в протнвополопнон направлении прп Зч с; модуль ис .коросты совпадает с ебоолыгпой зелачпаой Й К= ф ~~г =/у/.
(9.5) йвля при лвнвеиип У>0, то очевидно, что К- У . Суцествовяние промянодяой у функпоо У/1/ обусловливает, таким образом,оуцестзовяпие веиторо снорооты точи . Зо. Оп о елеяле сснони в: пеняя тенги в ель т енто ии по невесты й ей сто соты и лачяльнсы полонения. Пусть при заданной трвеыторпи точка не известно ее уравнение двннения вдоль трвеятории, ио вввмен этому н лябой мс"ент времени ыввестыв сгэрооть днниеыня 1~с///, являяпвяся непрерывно дмрреренцяруемой функцией. Кроые того, еадвно полоченяе точны ма трвеитории в начальный момент, т.е.
ввдано ывчальиов рвсотояние у, . Сформулированные условия повволянт ояределить функции х/1/ . Пейстнитольис, интегрированием равенства У=иге учетом печального условыя 11с/ =у, находам У= ~~'/1/аУ Я,, (9.6) с т.е, урввыеыне двыыепня одяовыачно определяется. ауницмя 111) в силу предполоыений о к/1/ будвт дзвиды неыРеРмвыо днффеРе цируемой. ь~. Оп е слвнис сио ения точна естественном способе.
Уояоренне точки опреденяется ивл проивзолняя от ей веитор сиоросты по времени. Поэтому,продифоеренцирояав по ь амраыеыа (95) для скорости и нопольауя пернуя формулу Френа (8.15), найден а= — (й)= ут,.уМ™ — = Н, +ну'ге . (9,7) а~ С другой стороны, ускорение новее бить предотазвево терев снов проекции ас на естеотвенные осв в заде раэзоаеыая я*Ха, Ф,. Иа етых двук эыренення длв ускорения по теореме 1 никодим, что его проекцвв на естественные оси инсат значения ас у' ас нс а,'-с . (9.Е) Если воспольэозатьоя Фервуза» мн (6 3) ы (9.4) ° тс вта проекции мокко представив таина в анде с «г (9ар) ас- с с сйг;с а сЫ ас 4а Состазляпаые а,'.а',а,' ускорения вдопь естественных осей называют соотвегствепыо касатекьыыы, нормах выи в бииорнез ыын УСКСРЕНКЯМК. Лкы ЯИХ СПРЬсэпкавн $ОРМУЭЫ1 -с сгс4'с — -с ас — -с а,= — 'т,, а, = — 7, а'=а.
сИ р с с Текин обреэен, бипорвакьное ускорение разно пуан в, оведоветевьно, ускореигч точки скваднзветоя ис ивсатедьвоге в нормаль..ого ускореывас а =ас сйс l Выясним мехаинчесчак сымсп этах уокере~ ле. Пэ сыысза предндуцего вывода яоыо, что новак иве э раэзоаеквн (9.7) кео тевьзого ускорения связано с вамеиеиаем величины скорооти, а нориакьыого - о нэмеиенаем мапрвээеаия скорости.
следовательно, касательное уокореине характеризует ввыенеине скорости по величине, а норыакьное уси"ремне - вэнеяеьие оио рости по ыепрезкеывв. Не осыоэвиии уозсвва ортоиорывроэеиыоотв еотаствениого баэвса (8.6) квадрат ускореыив имеет винсенне а — — д е-у е — ~ у е е~,е~, гз ез 4 и и, следовательно, модуль усиорсчия равен а*~а .а .а, .-Ф гк (9.10) Определим направление ускорения.
Так кек бинормвлъное ускорение разно нули, то ускорение точки лениг в соприкасапаейся плоскости ео траектории. Напразлечие ускорения в атой плосиости вполне характеризуется углои уи , который оно образует о главной гориальч (Фиг.15). Зтот угол, отсчитмввомый от ускорения до главноу норыали, определвется равенством (9.11) и, очевидно, нзыеннется в пределе» - — Н,ы К л 71 я' Таины образом, Формулы (9.10) и (9.11) определнчт модуль и направление ускорегчя относительно естественного триэдра, если днииенпе точки задано естественным способом. Ив Формулы (9.8) видно, что касательное ускорение ревью второй производной от расстояния по нрекек..
Следовательно. суиествовение второй ароизводной у Функции Уй) с мехенвческой точкы.зрения чкнгвалемтно суиествоэании ускорения точки. Бо. Оп с елекие око ос"н точки и зыения зииения по т аекто и по зв вином касательном око енин на вльиом состояния. Пус.ь, ыаряду с траектории» точки, нвввстио ей касательное ускорение а~Я , являкиееоя непрерыэвой Функцией вренеыи.йррые того, задано начальное состояние точки, т.е. в нвчанънмй ыомент 6о известям величины у. в им .
Ноываем, что втнми денными определяется скорооть точка и уразыемве ей дэкаения по траектории. вольном равенство 4' = а," Ю , определгчиее касательное ускорение через скорость двииения. Интеграрованввм его по времени с учвтон начального уолоэия л~ гу4~ ~(;с ваходии закон иэненекии скорости г- и лагу(,ггс о -5ь- Функция АСС)будет непрерывыой и днййеренцируеной Функцией. 11о невесткой ке скорости н нечальнону полонению уравнение двивения точки по траектории нвходитоя согласно (9.6) л виде с с с В=~О 11)гуу У.
= ~~ ~а гас(Т)су(+ К у.у (9.13) о с ч Фуннцин Усу! будет двакды непрерывно диФФеревцируеыой функцией. 6 . встнне сл чеи вввенин точна. Рессиотрин несколько честных случаав двнкення точек. Двккенне точки по трвенторин называют рввнонерныы, волн модуль ео скорости постоянен во все врспя двикения. Тял кек провиция снорооти на касательную нокат отличаться от модуля скорости тольно знекси, то при ревнонернои двнкенни она танке постоянна: с5с 4гслгу .
следовательно, несатольное ускорение равно нулю ас -с' = о, нормальное ко уокорение вообце отлично от нуля: а,' = ксгл Г о и колет изнелнтьоя при двикенин точки аа счет из:еленин крнвыены траектории. Текин,образом, при рввнонернон движении точки по траектории ей уо .оренне вообце отлично от нуля и нв~ревлено по главной ыорналис а с -о (Фиг 14) > Тз елнонерное двнвенне Усноренное двыкеыие Замедленное двнае- иие сг. а=о ст а>о сг асо Фвг.14. йв выреыення (9.6) пооле иятегрнро анап находки, что уравнение рввнонерного двикенвя кисет вид у=Осу чу. 1 Лвнаенне точны по трвеяторин назнвент ускоренным нля ввнедленнни сыотрл по тону, воврнствет ичн убывает кодучь еп оиорооти при двнкенин. Очевидно, что двинские ускоренно, если Оле н а,с одного анака п еенедленно, если кивки и с и а,с протнвополопны.
Иовтону условиен ускореныостн дзнвення будет неравенство о>а > о, в условиен еаиедлеии стн двнаения - иераван- -)5- ство У Йх ю . Отсюда следует, что при ускорепаои двикеяии уокороыке точна отклоняетоя от глызкой нормели и сто оиу двв пекин, е при замедлением дзикепии - з сторону, протиэополокиую дэмкеыию (Фиг.1Е). двнкенме точки по траектории ыееывеют рввыоперемеиямм, ее~ ла ее носительное ускореиие во в.-: время д ипемиа поотояяко: м *геях( Вычисляя интегрелм в равенствах (9.12) а (9.13), неко дим, что веяапы изменения скорости и ресстоявая в етом двкке. аии имеют соответотзсыио вад мс аеЕ еУе Ям 11е( чУ 1 чУ л с Л л ле удмааапе точак пиликают пряиолинейныи, вела ей окорооть вахрамеев неизмепвое авпрезлеыие во зсе ярема дэпкоиия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
