Лекции Бондарь часть 1 (1247306), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Сбормулирсвонпув эадачу нередно наэываит интегриролаиием естестэонпых уравнений линни. Векторное уравнение траекторми имеет лид т-тЛ) Воли попользовать для рцпиусе-аектора точка траектории раэлоаомие в системе отсчбта й - Е пы К» и, кроме того, равенства (10.Э) ( Э то для орте касательной моако получить слвдуицна дэа представления.
а'~ сух с(те отседа получаем в силу теоремы 1 тра ураэнеиия: а~у Йб' ~с.(й,у), поторые в подробной записи, учитмэаицай еыреаеннв элементов )' -аатрнцы, имеет вид: 70 Ых, д — хгсгы. гсгр -дмг,гсг(г г (зг, 6~ге — =лмм. гегм тединг гмг Фз(г (10.П) Оорвтямся теперь к уравнениям Ереые (8.1$). На оововаваа Формул (10.8) озз могут сыть записаны з Форме зк Фк,Ф Ф. Х), „, Ый. Ху КЯЛ). (10.12) Так квк яз девяти злемевтог у -матрицы иезвввоиыы тозьво три, то в системе (10ь18) имеется твкве только трв ыезавасаммх уразяеыив.
Возьмем в качестве стих последках по одееву урввзеяив вз квкдой группы, ывпример, следукыве: ()» О', Ай е,(у зз — — =)Гу -г)м . — х-л)' Подставив сздз вырвпекие злеиеятов у -матрацы черве вале- розы углы по формулаы (10.9), будев иметь: готы амг — + да у ж~~ — = «~~У, 'сг~з, сукк Ы(гз к ю,уу к з,ту с0~ Ыг) гсвг гоги — -дм(г дмы — =досуг -«дм(г деу к З,~у е з,~у з к 3 Лиф у~з$~ — - гол(~ гог4 — =-'сФ ЬЧ) дел ~геЧгзк)г гогб) АФ 4% Из втой оистемм уразвеявд могут бмт» определвиы провзводзме от запоротых углов по раостозыаа. действительно, умвеаав первое уреввеипе свотемм ка ссорь > второе -ва йд в вычел результаты, получаи И(гз ,дм(~ = «Лау - тгегг дар, к,(у л я 3 -71- откуда — = б- игф» .юсоь ° ларрь иу зторое- УниоиЯЯ,делая,пеРзое УРевнаиие оиотеим ыв днУл ив юлУл ° оилвднявв рееультвти, ивйдйи Ыф юлу — = моллу юлу, лбу 4Ул — о лт ооиУл Фу ФУл йенопец годотввовив вроиэзодвой — в третье урвзыевне суу оиотамм вайт ВИУ Уьир — -х голу юлУ легре =-к(У У днУл+югУ юг юирл)ь с~У, от вуде льу~ ьл 1ф М ЫУ М»У Собирав знаете иолучонлее роеуль ети, буден иметь оледунвув спетому уравнений: ФУ, ЛиУл — м лт — Ф ЫУ,ЬгУл — = л югУ суел 3 (10.12) ФУ, — — = к- ° фуу у ау В дильиоииеи реооиотреиии будем опвретьои ие одчу теорему оо теории дибйореициальиих урелнений.
Пусть ведено снстенв ооинкоаоиимх ллйреронциальинх уравнений первого порядка, рявроеоооых отаоситольяа проиэаоднмх от зходяцнх в оистену иоко- - 72- ных йуикцай щ,, и„по аргуыеиту х: — = Х (х, са,...,и ) (кьщ,ч), (101у) э которой часло уравнений предполагается совпадающим " числом искомых Функций. Система уравнений такого вида называется аорыальнсй.
Пусть для снствнн (10.13) заданы так называвшие панельные условияз Прн Х=Х., и КХ.) =и' (г=щ„,ч). (10.14) к ' к Тогда иност иесто следующая тесрвыа существования и единстыеиности реаения. Теойгс~ 4. Если эадвнв морызньная система дийфвренциальных уравнений (10.13), пряные части ноторых суть непрерывные пункции по всею аргуиеитаы в некоторои окрестности начальных аначений (10.14) и имеют непрерывные частные проызаоднне по первиаынни ию..., н~ в этой окрестности, то на некоторон интервале, еедеркащеи точку х., унестзувт олив и только одне систена функций и,!и),..., и„Кт),удовлетворяющая уразненаяы системы и на° альыны уалозипн. созокупность фуннций и» М И-'С 4к),удовлетворяющих урсвиенивы (10.15), называют решением этой систеын.
Эадачу отыскания решения системы (10.13), удовлетворяющего начельнны услоэипы (10.14), называют задачей коши. таины обрезон, теореме 4 утвврхдает существование н едино .венность решения задачи йони для системы (10.15) при специальных предполокениях относительно пряных чаотей уравнвнай. Рассиотрыы теперь урзяненнн (10.П) и (10,12). Эти уравнения образуют ворналькуы систену для Функций хл,Ч~ ус= Ел,я) аргупзита у . Прнссчдиыин к ней следушаие начальные условия: пры У =э", , л' (У,) = х„ , и (У,)= ~~ РК.
Ка У);(10. 1Э) эти условия ыноют простой гвонотрический сынок: координаты й'=Кй.з) определяют начальную точку траектории Мч , а айлвроиы угли К, в силу йорыул (10.8) н (10.9) определяют ерпвитацию ествотзенного трехгранника в начальной точке. На осшоненип теоремы 4 приходны к следующей теорвыв: Тессона 5 Нслн эеданн кривизне н нручвние кек непрврыэные э йюрреренцируоние рункцнш рзоотопния, т оушечтэует одне и - 73- тол.но одна линия с этими харантераотиипия, прохсдяаая через пронэвольно аэдвннув точку Рт, и облэдвщая э етой точас заданным трбхгранником арене. действительно, при с4ормулировэинмх предполопеныях условия теоремы Ф выяолненм.
Следовательно, суаостэует едивственыое Реавнме .т, =лл 'У), ф~ = ч'. й) еи=дйу),УдоэлеътчРиипое ыачальыым условиям (10.15). Уравнения не Х~ Л' И) ЕИ АДУ)п предотаэлнит ссбоп переметрнчесныв уравнения траектория. Подставив, иакоыец, в ннх задэннус эаьиснность У У1Г), праходим я нспомым иоордяиетнмы урээваыиям двяиегня точны: г с.уг.у) л'„"% ) уа)) Иолучвиммв формулы раяапт постаэленнув аадачу. Таяны ебраэоы, если для перехода от коорливвтного способа а естественному способу потребоэелсоь вычисл . яе осредвлбяыого интеграла и обременив Функции, то обратный переход сэяэаа с аатагрироээныви системы обыяновеннмх ди(Р)вреицнельнмх урезыеннйэвдачей значительно более трудной. $ 11.
0 тогонэльнея гволинейна система яоо ииет. помимо прямолинейной дезертоэой систенм ноориинат для определении двипвння точки относительно теле отсчйта позет бмть исполъаовена произвольная кряволннейыая координатная система. В ялессической ивхвиике обычно используются ортогоыазъяма яриволынвйыме сыстеим коордиывт.
Рассмотрим особенности танах систем, 1о. Иоо ияатныв поэв хности н лапая. Рассмотрим трп аезаэасинме зеличнны у,р я, облвдапаие тем сэойотэон, что чарва них эыраааптса денартоэн поординетн точим: х, х бр,,б„б,), (11.1) ' еъ) дл,у) иаа и- т (д,.б,,бе). Относительно последних ауннщяй предполагаем, что еиг.19. - те " они, будучв тркклы непрерывно дитреренцнруеиыми, одыпанвчво опречеленн эо ксеп простр нотне пры падании враеотнеынмх пеРевенннх ~)г фл, Рл в опуелелонаых ппеДелех, НРоме того, ЯРеД- полагаем танко, что отличен от нуля оледупаий определитель третьего порядке м, ах, нул пря Элл ы, ау~ э эрэ а.-, вял И п9я Последнее условие означает, что еаввовиооти (11.1) могут быть обраиенм, т.е. величины ук мокко вмраэнть как Функции тл пв.~з: падание тройки чисел Я =бе сб*длМ означает в овлу (п,1) эаданне декертоюгх координат в тем панин фыкеировявне некоторой точки пространства.
Ооратно, каппой точка проотрвиотла ооответстлует трв декартовых коордняатм, в н пилу (И.З) м трн числа ),,Т . Т . Таким образом, меаду тройкой чисел 9,, $~,~л н точкой проотр .ноева суиеотнует вэаимво однозначное оооткетотнве, поэтому эти числа ыаэм лютея обобкбиимнв координатами точки. Налдое иэ уравнений у (м х „м~)= ~к ( =НПу) (11 ") геометрически представляет побои накоторую лрыволкнейвув поверхность, наэываенув коордяыатыой поверхностна. Принято у поверхноотьа навивать координатную поверхность, не котороа координата 9к Фикоировена, а дне другие обобабннме координаты могут быть произвольными. Уравнение и -поэерлиоот н выеет вид те = т (Це, ~У~,И), где иыдексм огРаииченн по моДУл~ 5.
ПеРосеченне трех коочдйнетнмл поверхностей определяет в пространства точку М (фиг.19). Нандан пара координатных понерхностеи пересекается вдоль кекотороя линни, иеэываеноа конрдниетноя лнниоя. -75- ьдоль координатной яинии изменяется только одна координата,а две другие фиксированы. Принято П -линней незнвать т координатную линию, вдоль которой координата ) изменяетсн.
уравнение у -линии будет т, = т (~),) В точке М пространства пересекается три координатные линии (Фиг.)9). Итак, в каждой точке прострояст а пересе-зятек три координатные поверхности и три ноординзтные линии. В йиксярованной системе координат вид координатных поверхностей и лилий зависит, вообие говоря, ст выбранной точки пространства. В произвольной снстемо коор; шзт ноордынатные поверхности и линии будут зообпе кривыми поверхностями и правыми линиями,понтону такую с"стену назнзают криволинейной сп темой ноординат, а координаты у, йл ~, - аозволинейными коорлинатаыи. я и яф базис.
Криволияейная система наэываетсн ортогональной криволинейной системой координат, если в каждой точна пространства координатные лиыии взаимно ортогонзльны. Лля этой системы координатные поверхности з каждой точке также будут ортогональвнмк друг другу повсрхностямн. установим критер А ортогональности координатной систе~чз. Рассмотрим для это"о ноординатнув линие Д . Лыфререпцкроэанием ей векторного уравнения те = и 0~ ) находим для вектора эдемевтврного перемещеыия ндопь линни следувиее внраиеыие д(~ ~а= з,2,3) .
рт Ь Вектор — тколлинеарнмй с векторои сьты , вапрввлеы по яавйг «вте. ьной я лнник в рассматриваемой точне ут в сторону воэрастанмя координатм ~г . Так как в накдой точке пространства поресекаптсн трн косруиыатптье линды, то в ней будет определена тройка векторов — э — 1 — Эти векторы ве номе е ет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
