Лекции Бондарь часть 1 (1247306), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Обратив фуыкцип (10.1), найдем время иви фуыицви рвсотояния Т=ИУ) и тен свиыа молем поаучать яврвметркческве УРвинениа тРэектоРнн с пвРэметРоы У: Хы.лы ® Ы Ш), ПРи тамон веденин трвеиторна все ее харватеристика,в том ~псле крнвиэкэ и кручение, получеютск с поноцьи дкфференцироввнва по формулам ф 8. Кривизну траектории воино легко вычислить, мнвук операции обрввевия фуикцаа (10.1), эоопольэоввваись форнулов (9.9): )/~ефл «=:е ,л (10.8! тек квк пс ээдвнимм коордкыетным уравнениям давления просто опрелолкнтся все зходяаие сида величины: А4 'у *'яг 4 е е г з -62- х„лг (О бе*АДУ). Перейта к естественному споообу леденив дв пеняя виачат вычислить по этим урвввеыиян траектории точки а канон ей даваемая по траектории.
Сама коордияаткме уравнения дяниекия представляет ообом пвренвтрическое уравнения траектории, н которых роль параметре играет время. Панне урээяеяяя траектории получеытся иэ пврвнетрических уравнений исключением времена. Траектория точка, такин образом, определяется. Чтобы определить уравнение двниення точки по траектории, воспольеуемся вмрвкеыием элемента дуги ликии в деке„товмх координатах 2~. -ывт м в и ей свойсттч. для осуаествлевия перехода от естеотаевмого споообв аадаымя двмнеыыл точкв к координатному .пособу потребувтоя веко- морне допслнктельлые соотноаенвя. К устввовлеыаа посзедамк теперь м переходим. Базисные векторы естественных осев трвекторан определяется л системе отсчета рвслолеыкямв Я ),б, у )~ р) як,б .дду) (10.3) Задание матрицы у=у )'„е(' , соствнземяой нв коыпонеыт ятях векторов, определяет ориентация естеотвенното трехграннике в вевдой точке траектория.
)' -матрица обладает ряд м антереомых свойотв. РасоыстРЯМ ИХ. В ОЫЛУ СООтясаЕЫЫЯ т, ° '7д Л тл НЕХОДЫМ, Что КОМПО- яенты этих ортов в системе оточйтв саванны соотлоаенвянв у„~ *Я б ~~ )~ (» ДЮ.4. 'о~4 В подробяой венков вта ввяыскмостя амеят ввд к ввввскыоотяме То есть, асан ооотааать оаредезвтезь у' -матрацы: 3а 3'лл )'а ф,/= еи Бя Укл Ье )лз Ую (10.5) - бу- 1 )ла )кл ! )4 л )ел ~ ~ )лю )ял (я=( ~ т )и '~ / ° ~не/ (10.е) ) Уел уи ~ ~ )лз еи ! / )'лю Уел ТОЧЫО теК КЕ>осстясавакы Т *Те Л'Т, а Тл " т„ » я ПРМВОДвт то каиднй его эленевт будет равен своему алгебраичеснону довольенаи.
Таким образом, элементы у -матрицм но является невввисимнмк величинами. ив условай (10.з), например, следует, что число неэввасимнх авенеытов ие больно вести. В дейстзятельности кх будат только трв. В самон деле, условия ортовормиРованноотк естественного базиса т, тя д„'Л УкИ) ДЛ.З) накладывают ва элементы у„ следучаис ограничения: 8 *(Х~' Кф.у ,~(„Я.~„) Н, или ~.~ ~,-8 Йзеця4(10.6) В (10.6) весть незевисзцих равенств: (10. 7) укуауауле'4з3;э=о 3'~)~'у~з);з'уз,3д=о.уму,')зе4з'4~зум*о следовательно, нв девяти элементов гк невввисямымн будут и- только трн. Разлокив определитель (10.5) по элементам какой-лиге строки нли столбца, например ао первой строке, получаем квк следствме установленных своИств, что его величина равна единице: Соотнонення (10.7) новволавт выразить все элементы через три из них, одноврененно не входяцае в одяо иэ условий, не содериааее, кроме ках, других влемантов.
Возьмем в качестве независимых, напРимеР, элементы 1' ,Узг в Узе . Тогда вэ третього уравнения находим слодувцее нредставление длк ул ,/ з Из двух знаков плюс и минус перед корнем взят первый. Прк знаке экеус получим другой набор формул для а ,'ментов эквивалентный керзону. Исклвчнм, далее, ив первого ы нестого ранено|в оконент ум, тогда для опраделенин элемента у по зз лучззм квадратное уравнение (' );,)1'„"-Иц)'4 Уз~ )'з'4~ 4ь '),',) )» ' - 6ч- Беря второй порвав урезнеыпя, по;учвем Йзбзб:~Ы ун6:Х2' У =- гл у ~ и Пестов уравнение исззоляет теперь уставозать даа елемеата уя оледуааее знрезепие: -Йунб 1и- л у узз Рверевин дваее четзйртое и пятое урезанная отиосвтевьве а у', В результате получь н зависимости аз ла' «1УЯ Уп~м буем-уя63 УнУле Умбе умам Ы'л Проотое внчислеаае позволяет знрвзвть иоз4фациеатм проню~ честей зтвх резеистз черев пезевасииме зленгитн, после чего получаем 1„-, ~ы„уь к х„уи.
к„, ~„= я~у„у„-ьйчЯКгь'-~„')), ау.ч Л = (У-~зу'~ 6:Ц„'-3'*'. Подствиозав зтап знрвзепвй во второе ревевотио приведат к иевдретаону урезанная дзя ~' л л е знее " Угз Улу ' Беря второй иореиь етого урвзнеыип, Будем иметь ~„--%тЖ Формулм (10.8) доставляет тапере ваемеятвм у а у оледуи 6-'ТР, ~н . ь ~'у~л~Хы .~ ~.ох -65- г Гзз Поставленная задача, такам обревоа, ревене: все элемента т -ывтрицм зыряновы черев тра независимых ело анте ))Ь,)' ~,)~ . Более опции раненном вопроса язллетсп способ, когда черве тра яооовиоииых парометра кмрокеитоя эое компоненты у -матрацы.
Уолозая (10.7) ири этом удоэлотворяитоя тохдестэеыио (ч протиэиоа оаучее параметры долкнм были бы удовлетворять яекогсрнм урвзыеыаин и, сг ~доэитольыо, ке Сыпи бн ыеэеэисаиыма). За етв тра парометра Вилор преклонил бровь углы Ч Ч .Ч, аосивае теперь его аия. ю'. ~ в~щ. Улк определения эйле- Кь ровмх углов проведав ве сэ некоторой точка М траекториы А, наряду о еотостэоипмми осами то~~.тд, 1„ Фь твкве осаК,,К,» окованы от очаге. )г( Линия пореоечеыая ММ влосаоота Ко К ло Фаг.17 ф Чь ееатрахозвиа гориооитедь- т, имам итрнхеми) с оспинках и свивайся плоовоотьи ~~.гэ Фиг.17.
иаэмкаотов ливаей уэяов. Угол Ч мазду осьв К, и линней узлов ММ , лезоций з алооэооти КьКо,ывэыэеетоя углом прецеосаа. Оы получеетси зраценаем естеотвевыого трйхгрвкыпкы вокруг оои Кэ и иенеэяетоя з прелолех: боЧ, ллр. В оопракесоыиейся плосиоста Г,3д угол Ч нонку лампой уе- $ л л лоз а осьв 'Г, называется углов ообстзеиного эреценая. Зтот угол получается при зроаоэая трйхгропияке воаруг биыормольаей оси тэ а коиеыаотся в аытерзоло сл Ч 4 дд Прозодйн далев плоскость черн ооа Ке а Тэ (ыа Фиг.17 ва° трвхоэаыо зертиаельымыа атрахвав); отв плоскость перпендикулярна лаыыи узлов МИ , таа кек пооледияв доллне быть ве.
леадаиуьяркп к оск хл и оса те. угоя, велений о отой плооиоота, моллу осины к и То обоенпчамт чеРве Ч а ьоомвеют Углом иутацви. Угол нутецыи волучаетса ара зрецениа трйхгреиинка вокруг ликаа узлов ММ и по определевии аомеыятол э пределах охУгу о - бб- зо полопктельвме квпревлевьл отообта евперови углов при- никло о попревлепак вроиеыкя против отреапа авоез вокруг ое- ответотоупавх ооей (Фиг.17), ПОРОВООтК тгаоДР 4, Лл, Лл З тРаОЛР тоЯо,то МеалО О ИО копыл трах олодупикх поворотоз: ыа угов ф~ зоаруг еов 4, летел По УГОЛ то ВОКРУГ ООК ФФ П, Иааезед, Ва УГЕЛ Чл ЗЕК- гуг оок т (8кг.18).
бк ддьА волк определить у -матрацу з ваде Фи~~ Ф гвафл м оог(г, Ц. Прп втором повороте орта т 8оркулвк ареоброеувтоа з орта ' ио клк 7'-2 у т„ -67- ф*уфл) авг,(8. ПРК ПЕРВОМ ПОЗОРОто ОРтМ ~, ПЕРЕХОДат З ОРГМ тм', Оваоаииао с порвимлпреоброеоввввеи т, * ур,'7,тала Лл, Г,' -щ671+гогКго э тл 7л. зтк трв Формула авиве овдвовть з заде одаого разеаотва гда Налопав, прв тратьав поворота орты т., параддут а орты $„ врвчбв будут опрввадлввы Фораллы гогытг уг ~ут~ т' =-дыр~т» го~а гда ,быЫ о О У сапавиы праобрааоввввеы Топав образов,орты Т„ а ~ -' ° ~к б ывтраца которого раааа проазаадеавв трах прадыдувпх автрвц: а, оаадовательвс, попел быть лырвповв чарва адлоролы углыс иаа гогуц -йла аяфавиул лэуоад сев! фсагглйвр, дым~ лавг - Г05ф йсц-дчфгчц Роу~ .Лиг/ияеОВггога гоу 4 .Ь$ф ггг~лл и г, дсгл -гагр~ да~го Гоюгл ~!О.ч) Пток, задсаныиа углами Вплора элоывнты )' -ыатрацы оДаоаиачно оирслолпатсп.
Возникают вопрос, полно ли, лооборот,по дап пол у -астрала опредолить эалеровы углыу а форыул (30.5) ой- И: 0 0 0 ГиУЫ ГЛЯ бл О - ли~~а готта ясно, что прв падании )' -матрицы опредвняется ориентация ясность нных осей з вандой точно траенторая а таи свини ейперозм угпн. Значения этнх угпоэ асано ачиопать спедупцав образом. В овну Зорыуз (10,9) инеем ооотвоаеава (г,у (г„у -у ч, Ч., у * э'., ~,*Ам(~„й~гф, )~ =-бигЯ, угнав, Отседа нвходиы, что з интервалах Оя у с яй', ос ц яя, Оя(6 с ую угзы эйлера однозначно спредезянтся эырвненаямв )зг уее .Ь~бг~= —, Согц, - —; бегу ) ) ' 6:кХ ба .нгмк = — ~ гся(Г =— )яе уе» Те«ви обрааом, иенцу эзеыентвни )' -матрицы н эйзероэыип углаиа моняо уотэновять зэпииыо одноэыэчное соответствие.
Рвссыотриы теперь о матрицу, обрвтвуа )' -матраце:)о*) Согласно опредепевнн элементы этих матрац сзяэенм соотпоаеиыямл Е)' Р = г ('~е ' й). и о,е ы,е Отседа и иэ соотвоаення (10.6) зытеявет, что доливо быть р *г (ыой*ддй. м„э спедоэетезьио, р=уе изв )' *)~, т.е. у )' матрацы обратная и транспоннроввннвя матрацы ооэпядаат друг о другом. Зто оеванеот, что )' -матрице Пвзяетоя ортогояппьной нетрицей. элементом )' -матрацы мозно прадвть опредепйввмй геометрачеоянй снмсз. йэ Форнуп (10.3) выпевает, что эта эзененты совпадают с косаыусвин углов иепду естестэенямии а неподэаяяима оояна =7 ю7 =бог(~„, и ) (ю,е. дця) -69- Ориеытацмя еотаотпевиого трйхграныика треск~ории эаписит от эеятсу на пай точки, т.в.
от расстояния Я Поэтому Функциями раостояная будут как углы Эйлера, тан а эаемвнты ) -натрацм: у,-у И) у =г (у) Ф ',фь" м,е м,,б.лду) . Пенатам э еанлаченав, что наряду с раэлоаеннем (10.3): 7, -Е.~ эг, мокко раосыатриг"ть раэлоаевпе ортов ье в естественном банное. Очевидно, оно осуцвствляется с помоцьв обратной р -матрицы, т.е. имеет внд у7 =Е р, ю =Х т )',» (б'=тм,у). (10 10) Фо.
Пе хо от естественного способа к нос ннатыом опоссб1. Лопустим тьперь, что двипвние точки эадако естестэенкыы способом, т.е. наряду с. траекторией, определенной естествевэымм ураэненияэи Л=лЧ6, д =л'(у), эадано ецй уреэквнэе двнаваия по траектории у-уй). Лля перехода к ноординв"кому способу падания двиаання требуется по исходыым данным найти дввартолы координаты точки как Функции врвмвян, т.е. эавмсимости д' =и (г) Ф=дд,у).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
