Разоренов Г.Н., Бахрамов Э.А., Титов Ю.Ф. Системы управления летательными аппаратами (2003) (1246774), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Из теории оптсв<ального управления известно, что лля линейной системы э-го порядка (П!.44) оптимальным по быстродействию является максимальное по модулю релейное управление с одним переключением. 523 В соответствии с этим граничные точки области, лежащие на кривой С, достигаются на управлении ('Д, О х т с гы и(с) = ' г,в(О,Т), -х> г15тя Т, а точки кривой Р достигаются на управлении 1-.х, О я т я гз, и(с) - <, е (О, Т). ~+й, 1зхтя Т, Здесы! и г, — моменты времени переключения управления. Угловые точки А и В достигаются на предельном управлении соответствующего знака.
Кривые С и Р представляют собой отрезки парабол. уравнения которых при произвольных Йи Тиме|отвил: ~г ВТ2 й С:х = Тх+ — --1Т-— 4~ Я' ~г )сТз ь хз Р;х ~Тх- — + — ~Т-— у;! На рис. П1.1, 6 показана область управляемости рассматриваемой системы. Соответствие между граничными точками обеих областей устанавливается формулой (П(.19). где матрипа е '" вычисляется по формуле (П1.
16): -т1 (П1.46) Направления лвиження системы по фазовым траекториям при соответствующих управлениях показаны на рис. П1.1 стрелками. Анализ областей управлясл[ости и достижимости позволяет вскрыть слелуюшие важные свойства управляемости системы в рассматриваемом случае. 1. Области управляемости и лостижимости охватывают начало коорлинат фазового пространства при любых значениях параметров й и Т. Данное свойство системы (П1.44) с ограничениями (П1.45) характеризуется ьак лояния токатьиая )прпвяяаносл~ь. Рис.
П 1.2, Облзсти ностннниостн н уирзвляености ирн отрзиияснняя нз уирзвлоинс (П1 Лт) 2. При увеличении значений параметров й и Т размеры областей управляемости и достижилтоспт увеличиваются. Для любого сколь угодно мачого значения параметра Й размеры области управляемости могут быть неограниченно увеличены за счет увеличения времени управления Т. При отсутствии ограничения либо на величину параметра управления. либо на время управления область достижимости совпадает с фазовым пространством системы. В атом случае рассматриваемая система является тргобтхтьтто ) ттрпвлземой. Рассмотрим теперь ооласти достижииости системы (П!,44) при ограничениях на управление О 5 и(т) 5 )с, Гз 5 7 .
(П1.47) Область достижимости изображена на рис. П1.2, а. Угловая точка А достигается здесь, как и в предыдущем примере, на предельном управлении и = +)з Управление, обеспечивающее достижение других граничных точек, как и в предыдущем случае, ступенчато и оптимально по быстродействию. Для правой границы области (кривая С) управление имеет вид: l с, Охссг„ (с) = О, г~ 5 'т 5 Т. Для левой границы области (кривая 2)) управление имеет вид: и(е) = Рг, гз я т 5 Т. Это управление обеспечивает достижение точек кривой 27 за время Т, Кривые 0 и С представляют собой отрезки парабол, уравнения которых имеют вид.' 1 з., ! 2 0:»~ = — »з', С:» = Т» — — »з. 2В ~ з 2ф На рис. П1.2,о показана область улравляелюсти. Соотвегс свис между граничными точками обе~ох областей устанавливается по формуле (П1.19) с матри пей (П 1.46).
Характерной особенностью областей управляемости и доггижи мости сисзсмы (П!.44) с ограничениями (П1.47) являегся то, что при любых значениях величин (с и Т зги области ие охватывают начало координат, Следовательно, для любого состояния.т(0) в Я- сушествует континуум сколь уголно близких к нему состояний, иелостижимых из л(0). Данная ситуаиия аналогична той, которая имеет место лля сисземы, ие полностью управляемой по критерию Каллшна, поэтому система (П).44) с ограничениями (П1.47) характеризуется как не лолиосшью локтьно увро сляпаю». Очевидно, что причиной неполной управляемости является первое ограничение (П1.47), исключаюшее возможность смены знака управления. Вследствие этого управление разгоняет систему в шороиу увеличения значений фазовых координат х, и»з и не способно затормозить движение и повернуть его вспять в сторону уменьшения фазовых координат.
Валлу того, что в диниам случае области управляемости и достижимости имеют елинственную оошую точку (начало координат), взаимно управляемые и взаимно достижимые состояния отсутствуют. В заключение рассмотрим области достижимости и управляемости лля системы (П!.44) при ограничении на >правление: О < )г~ я и(г) я )г„гь я Т, (П1.43) ь де в отличие о г ограничения (П1.47) управление строго больше нуля, Область достижимости при А, = ()5;lгз"-1, Т= 2 показана на рис.
П!.З,а, Данная область ограничена слева фазовой траекторией. соответствуюшей максимальному управлению и = Аз (кривая 77). Правая гранина области состоит из двух частей: фазовой траектории, соответствуюшей минимальному управа еиию и = )с, (кривая В) и кривой С.
точки которой 526 Рис, ПИ. Области яостижииосги и уприижеиости при ограоичеиииа иа упраатеиие(П1»»8) достижимы за время Тна ступенчатом управлении: «т» Оятясе, и(т) = «., г,ятяТ. Точки кривой Е, лежащей внутри области достнжимости (показана пунктирной линией), талке достижимы за время Тна управлении: «ы Оа сага» и(т) = «т» !о 5 т 5 7. Все остальные точки области достижимы за время, лсеньшее Т. Область управляемости при тех же значениях параметров «н «з и Т показана на рнс. П!.3.
б. Связь л1ежду точками кривых Е зт С на рис. П).3.п и точками кривых Е' н С' на рис. П),3,б, соответствующим состояниям системы, достижимым и управляемым при г = Т, устанавливается по формуле (П! Л 9) с матриией (ТП.46). Связь между точками кривых В и В в области достижимости и точками кривых В' и 0' в области управляемости устанавливается той же формулой с матриией е ', где г «Т- время достижения соответствующего состояния.
Нетрудно видеть, что при уменьшении значения ограничения «~ области достижимости и управляемости деформируется таким ооразом, что точки Ги Р" прнолнжаются к началу координат, а кривые с) и Е(как и крнвыс С' и 0') сливаются друг с другом, В пределе прн А ~ - О области 527 достихгиыости и управляемости принимают вид, гпойрахеениый иа рис. П!.2. Дальнейшие сведения по теории управляемости линейных и нелинейных систеь! читатель найдет в сиениальиой литературе. Литература ь Пргьтонгепиго 1 !.
Еазнап Р, Об об!иеа теории систем тирам!еинз. Тртаы ! Мензтпароаного конгресса ИФАК. Мн АИ СССР, !96!. Т. 2. С. 52!. 3. Нз!мзп К. Сапоп!с»! мгнсшгс о! Ипеаг бузапггсв! ттмаы. Ргос. Ыаь Асаб. 5!с. !7БА. !962. Ъ'. 48. РВ 4. Р. 596. 3. Нзннап Р., Фазе П Арбнб М. Очерки по чатематнчс коа теорыг сны ем. Мг Мир, !97!. 400 с 4. Гапгмакср Ф.Р. Теория магрии. Натка. !967. 375 с. 5.Фарназьскняхд!дуправпзсмостьнустоячпвость снстсмсо Раннчсннычи ресурсо!!и. Мс Наука.
!974. Збб с. ЛРПЛОЖЕНИЕЗ ОБЗОР ИСХОДНЫХ ПОЛОЖЕНИЙ МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ, ЛЕЖА1ЦИХ В ОСНОВЕ ПРИНШ$ПА ИНЕРЦИА ЧЬНОЙ НАВИГАПИИ ПЗ.!. Инертность материальных тел. Законы И. Ньютона Всеобщим фундаментальным свойством материи является свойство ее инертности. Это свойство, называемое также»»»»ер»»»»е»Ч инер»»»»о»»»»осл»ью »от лат. !пег»!а-бездействие, лень, вялость), проявляется в том, что все изменения установившегося состояния матерна»ьных объектов как покоя, так и движения, возможны только в результате некоторого воздействия сосгороныдрупш материальных тел,прнчел» зти изменения происходят не мгновенно, а имеют некоторую продолжительность во времени, некоторую длительность. Свойство инертности присуще как матсриальныи телам, так и физическим полям.
Принцип инерциальной навигации основан на инертных свойствах материи. проявляющихся в закономерностях поступательного и вращательного движения материальных тел. Основой для изучения этих закономерностей служат фундаментальные законы Ньютона, описывающие движение материе льный тел в рамках классической (перелятивистско»») механики. Законы Ньютона выполняются с высокой точностью при малых по сравнению со скоростью света скоростях движения. Поскольку в современной ракетно-космической технике скозпост»» полета любых летательных аппаратов составляют не более 4 !О Ь от скорости света. влиянием на закономерности их лвия»ения релятивистских эффектов (напр»»ь»ер, изменением массы в зависимости ог скорости движения) можно полностью пренебречь и таким образол» применять законы Ньютона без учета поправок на релятивистские эффекты. Для удобства последующих ссылок приведем формулировки законов Ньютона.
Как известно, первый зпкон Ньютона, называемый законом движения по инерции, заключается в том, что тело сохраняет состояние покоя или равнол»ерного прямолинейного движения, если на него не действуют внешние силы нли равнодействующая внешних сил равна нулю. Вг»»оро»э закон Ньютона относится к случаю, когда иа движущееся тело действуют внешние сизы. Этим законом устанавливается количественное соотношение между равнодействующей внешних сил, массой гела и его ускорением в абсолютном пространстве. Да»»ное соотношение называется основныл~ уравнением динамики: ~пи) Треигий закон Ньютона, называемьш законом равенства действия и противодействия, утверждает, что если одно тело лействует иа другое с некоторой силой, то первое тело испытывает силу противодействия, которая равна по величине и противоположна по направлению действующей силе. Напомним, что первый и второй законы Ньютона справелливы при условии, что движение происходит в абсолютном (или ииерциальном) пространстве.
Система прямоугольных коорлннат, задающая базис в инерциальномпространстве, называется инерцнальиой илиабсолютной, Определяющим свойством инерциальной системы координат является то, что в ней справедлив закон движения по инерции. При описании лвижения тел в пределах Солнечной системы в качестве исходной инерциальной системы координат рассматривается прямоугольная система координат, начало которой совмещено с центром Солнца и оси сохраняют неизменной свою ориентацшо относительно удаленных звезд, перемещением которых по небесной сфере можно пренебречь. Любая другая прямоугольная система координат, начало которой покоится или движется равномерно и прялюлинейио относительно исходной инерциальной системы координат и оси которой сохраняют неизменными свои направления в пространстве, также является инерииальной, так как в ней справедлив закон движения по инерции, При описании движения ракет и других ЛА, совершаюших полет в окрестности Зел~лн, допустимо полагать, что центр Земли движется равномерно и прямолинейно в абсолютнол~ пространстве (т е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
