Разоренов Г.Н., Бахрамов Э.А., Титов Ю.Ф. Системы управления летательными аппаратами (2003) (1246774), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Составляюишя а, ен ар называется тангенциальным ускорением. Это ускорение перпендикулярно плоскости, содержащей векторы са н р. Ускорениям а„и а, соответствуют силы инерции Р' -весах(ьехр), р;~ = -лейхр и удельные силы инсриии 541 (П2,20) г = -сох(йхр), Г, = "йхр. Силы инерции Р," направлены от мгновенной оси вращения тела к его периферии. Эпз силы принято называть центробежными. Совместное действие центробежных сил инерции вызывает деформации растяжения тела. На рис.
П2А показаны эпюры центробежных сил инерции в плоскости, перпендикулярной вектору угловой скорости. В данном случае поле удельных снл инерции неоднородно и является центральным подем. Эпюры тангенциальных сил инерции рм показаны на рис. П2.5 в плоскости, перпендикулярной вектору углового ускорения. Эти силы приволятк деформациям скручивания тела. Поле данных сил инерции также неоднородно. Поде гпч инерции нри ногнпунотельно,н движении в однородно.и грпвилигционнок ноле Рассмотрим силы инерции, возникающие в теле при его свободном движении в поле силы гравитационного притяжения, Пренебрежем неоднородностью гравитационного поля в пределах области пространства, ограниченной размерами движущегося тела.
Другими словами, примем допущение о локальной однородности гравиташюнного поля. Принятое допущение означает, что ускорения всех элементарных масс, слагающих рассматриваемое тело, одинаковы по величине и по направлению и равны ускорению я„соответствующему той точке пространства, где в данный момент находится центр масс тела (см.
рис. П2.6). Из допущения о равенстве ускорений всех слагающих тело элементарныхх масс следует, что гело можно мысленно расчленить на любое количество несвязанных между собой частей, движение которых не изменится от того, изолированы они друг от друга или составляют единое целое. Поскольку отдельные части тела не оказывают силового воздействия друг на друга, то силы инерции и поле сил инерции в таком теле отсутствует. Внутренних напряжений в теле также нет.
Очевидно, что любой инерциальный измерительный прибор, размещенный на борту ЛА, совершающего свободный полет в локально однородном гравитационном поле, не зафиксирует какого-либо движения. Например, упругий полвсс пружинного акселеромегра будет находиться в недеформированном состоянии, а его чувствительный элемент — в нейтральном положении. Измеренное значение ускорения 542 рис. П.2.6.
Теао а оаноравном гравнтапнон- рнс. П2 7, Тело в неопиороэаом травнтаииониом поле ном пате окажется равным нулю, хотя на самом деле ЛА движется с ускорением я,, Нетрудно убедиться, что полученные здесь выводы являются прямым следствием постулата о равенстве инертной и гравитационной масс тела, Поле сил инерции при иостуяаньетьнсьи движении в неоднородноз» гравитационном лоле Рассмотрим более общий случай движения, когда допушение о локальной однородности гравитационного поля не делается. В этом случае ускорения силы притяжения, действующей на слагающие тело массы, различны и определяются формулой: я, = йтаб У~,.„ СП2Л) где У- потенциал силы притяжения, к, — вектор, эадаюший положение элементарной массы (рис.
П2.7). Если тело мысленно расчленить на массы эпо то движение этих масс происходило бы с различными ускорениями у,. Однако поскольку эти массы составляют единое целее, онн движутся с одннаковыл~ ускорением ' Заметим, что ускоренно я, по.прежнему приписывается пеитру масс тела, хотя фактически равмопейеьаЭюпьая всех сни притяжения, действующих па слатаюаеие тало элементарные массы, прняояссиа а тачке, ис сони ьэаюшей с пентром масс тсэа Оэнакп это отличие весьма мапо н нм можно пренебречь, 543 (П2.22) Воспользуемся разложением ускорения я, в рядТейлора в окрестности центра масс тела, сохранив в разложении только линейные члены, Е, = Е, - 4~ р, = д,. Г,р,. г~ Из формул (П2.22) и (П2.23) получаем (П2.23) У'" = Г,р,.
(П2.24) В данных выражениях через Гз обозначена градиентная матрица поля силы притяжения. Элементы этой матрицы представляют собой вторые частные производные от потенциала силы притяжения по координатам, определяющим положение центра масс тела в пространстве, дгу дгу дгу дхг дхду дхдг дгу дгу дгу (П2.25) Г = дудх ду г дудг огУ дгУ дгУ дгдх деду дг г Ввиду пересгановочности операций повторного дифференцирования функции у = у(х, », г) по переменным х, » и = градиентная матрица 544 яи При этом на элементарные лхассы, расположенные дальше от центра Земли и ускорение силы притяжения у которых меньше.
со стороны других частей тела лействуют дополнительные ускоряющие силы, а на элементарные лгассы, расположенные ближе к центру Земли и ускорение силы притяжения у которых больше, со стороны остальных частей тела действуют дополнительные тормозящие силы. Силами, им противодействующими, являются силы инерции.
Следовательно, в теле, совершающем свободное движение в неоднородном поле силы притяжения, существует поле сил инерции. Запишем формулы лля расчета удельных сил инерции. Очсвилно, что удельная сила инершш, действующая на тело со стороны единичной массы ьчи есть разность ускорений я, и я,: (П2.26) где х, ), я — координаты центра масс тела в гсоцентрической системе координат. Проведя дифференцирование функции (П2.26) по формулам (П2.25), получим следующее выражение для градиентной матрицы; я (га-Зхз) 3 каху .3 3 архя гз я (гз" Зу«) ЗЗясуя .3 Злрух г~ (П2.27) яс (г з Зх з) З Зя «у .5 Выберем ориентацию осей геоцентрической системы координат так, чтобы ось г проходила через центр масс тела (рис.
П2.8). В этом случае справедливы равенства у = и х =: = 0 и выражение (П2.27) упрощается: 545 симметрична, Ее строки (илн, что то же самое, столбцы) есть градиенты ускорения силы притяжения по координатным осям, чем и обьясияется название этой матрицы. Таким образом, силы инерции, определяемые выражением (П2.24), обязаны своим происхождением градиентам ускорения силы притяжения. Поэтому назовем их градненгано«гравитационными силами инерции. Важной особенностью поля градиентно-гравитационных сил инерции является независимость от величины гравитационного ускорения ~,. Из этого следует, что инерциальные измерительные приборы не позволяют получить информацию о величине гравитационного ускорения не только при допущении о локальной однородности гравитационного поля, но и в реальных условиях движения в неоднородном гравитационном поле, Проиллюстрируеи конфигурацию поля градиентно-гравитационных сил инерции на примере сферического тела, находящегося в центральном поле силы притяжения Земли.
В этом случае гравитационный потенциал имеет вид: Рнс. ПЭЯ. Сферическое тело а поле при- тапеггна Земли Рнс, ПЗ.Р. Пате гралгситие.гравитацион- ных сил ннерпии иа поаерхиостн сфери- чесиого тела ло — о о гэ 2 ли о — о гэ (П2.28) о о "о гэ ло Р гэ * 2 ко — Р гэ (П2.29) ло — Р ,.э Эпюра лаиных сил инерции представляет собой эллипсоид. На рис. П2.9 показано сечение этого зллипсоида в плоскости осей ); и Хн 546 Рассмотрим проггзвольнуэо точку на поверхи оси г данного сферического телаизададимееполорхениевектором р (р„, р,, р,),Всоответствии с формулой (П2.24) получим следующее выраясенгге, описывающее поле градиентно-гравитационных сил инерции на поверхности сферического теча: Оценим порядок грэдиентно-гравитационных сил инерции.
Как вшшо из выражения (П2.29), максимальная удельная сила инерции на поверхности сферического тела определяется следующей формулой: 2яд„ Р' = — р, (П2.30) г' где вектор д коллиисарсн вектору г, Положим 1г! д, н учтем, что — ' = яд. Из формулы (П230) получаем откуда видно. что максимшчьиая удельная градиентно-гравитационная сила инершш во столько рвз меньше ускорения яд, во сколько максимальный размер тела меньше половины радиуса Земли.
Если, например, положить р = 30 м,то 1Р'™1 «10 злд. Как видим, градиенты ускорения силы притяжения Земли и порожденные ими силы инерции весьма малы, Поэтому в уравнениях работы инерциальных измерительных приборов влиянием на их показания градиентов ускорения силы притяжения обычно пренебрегают. С лругой стороны, при достаточно точных измерителях кюжет быть поставлен вопрос об измерении градиентов ускорения силы притяжения. Для этого могут быть использованы как обычные датчики инерциальных систем, так и специальные измерители, называемые градиентометрами.
Информация об измеренных значениях градиентов ускорения силы притяжения в перспективе найдет примснсниев градиентно-гравитационном методе навигации, сущность которого рассматривается в гл. 2.!. В заключение сделаем следующее замечание. Из рис. П2.9 в~шло, что градиентно-гравитационные силы инерции приводят к деформациям растяжения тела в направлении радиуса Е и к деформациям сжатия в поперечных направлениях. У тел небольших размеров, таких как летательные аппараты, эти деформации и сопутствующие им внутренние напрязсення ничтожно малы.
Они совершенно не опасны для прочности летательного аппарата. Однако у тгз планетарных масштабов градиеитио-гравитационные силы могут стать достаточными лля их разрушения. В качестве примера сошлемся иа известную в космологии гипотезу, согласно которой имеющийся в Солнечной системе между орб1пами Марса и Юпитера пояс астероидов представляет собой остатки некогда существовавшей планеты Фаэтон, разрушенной вследствие космической катастрофы. По одной из версий причиной разрушения 547 планеты Фаэтон могло послужить постороннее космическое тело с сильным гравитационным полем.
пролетевшее вблизи этой планеты. В результате планета Фаэтон была разрушена градиентно-грзвитационньв|и силами инерции, возникшими в ее теле. Отметим также, что градиентно-гравитационные гиды инерции, возникающие в теле и на поверхности Земли под действием гравитационныхх полей Пуны и, в меньшей степени, Солила, служат причиной изменений (поднятий и понижсшгй) уровня водных масс ььорейт и океанов, характер которых можно уяснить из рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
