Разоренов Г.Н., Бахрамов Э.А., Титов Ю.Ф. Системы управления летательными аппаратами (2003) (1246774), страница 96
Текст из файла (страница 96)
° Система вида (П1Л) с постоянными матрицами А и В полностью управляема и полностью достижима в фазовом пространстве Вн в том и только в том случае, если ранг матрицы управляемости (П1.33) совпалаег с размерностью фазового пространства: (П1.34) ранг»е = и. ° В с»»учае выполнения данного равенства любое состояние системы управляемо и достижимо как по отношению к началу координат, так и по отношению к любой другой точке фазового пространства, Необходимым и достаточным условием неполной управляемости и неполной достижи»юсти системы (П1.1) с постоянными матрицами А н В является неполнота ранга матрицы управляемости: (П1.35) ранга й <и.
518 Ввиду линейной независимости ковокупносп» степенных функций 1,-т, — тз и т.д, число линейно независимых строк з»атрицы Ч '(т)В совпадает с рангом следующей блочной лаи»ри»»ь» р»»равляе»»окт»» кп»ационарной киклпм»ьл Случай неполной управляемости и неполной достижихюсти представляет особый интерес, так как в этом случае на задачи управления состоянием системы (П1,1) накладываются жесткие ограничения. Структурное свойство неполной управляемости и неполной достижимости становится особенно наглядным, если осуществить преобразование модели (П1. 1) с помощью линейной невырожденной замены переменных к так называемому кпнонлческаиу виду, при котором параметры состояния, вырюкенные в новых переменных, разделяются падве группы параметров — управляемые и полностью неуправляемые.
Рассмотрим данный вопрос подробнее. П!.3. Канонический вил линейной динамической системы Ограничимся анализом стационарной системы вида (П!. !). Предположим, что данная система ненаблюдаелщ и справедливо условие (П!.35). Приведение данной системы к каноническому виду заключается в том, что осуществляется замена фазовых переменных, которая выражается следующим матричным равенством: У = Вх, (П1.36) где Ю-квадратная невырожденная матрица.
Способ построения данной матрицы состоит атом, что в качестве первых л столбцов этой матрицы достаточно выбрать й любых линейно независимых столбцов матрицы управляемости, а остальные столбцы выбираются произвольно при соблюдении единственного условия невырожденности матрицы Я. После замены переменных модель (П1.!) преобразуется к виду х = ЛАЮ 'Х~БВи. и после введения матриц А ЛАЮ ', В УВ -к стандартному виду: (П!.37) Х = Ах+ВЫ. Принципиальная особенность модели (П1,37) в канонических переменных состоит в том, что благодаря условию (П!.35) и способу выбора матрицы Яновые матрицы А и Я имеют характерную блочную структуру: 519 где нулевые блоки расположены в последних л-кстроках матрццл и В. Вследствие этого при разделении вектора х на два полвектора я, н я„состоящие из lс и и -А компонент, модель (П1.37) записывается в виде двух систем уравнений: х~ = Аия~ А~зяз+В~и, дг = Аззяз (П1.38) (П1.39) 520 Здесь вторая система не зависит от первой системы, не содержит параметров управления и замкнута.
Вследствие этого закон изменения компонент вектора я„определяемый в силу уравнений (П!.39) только динамикой свободного движения системы (П!.37) и начальными условиями, не поддается управляемому воздействшо. Это и означает, что параметры состояния, образующие вектор я,, полностью неуправляемы. В частном случае нулевых начальных условий вектор я, остается тождественно равным нулю и управляющие воздействия ие способны "сдвинуть" объект управления из его начального состояния по параметраи я,. Подсистема (П!.38) в силу условия (П1.35) полностью управляема в А--мериом подпространстве параметров, образующих компоненты вектора я,.
Свободная составляющая Апя,, присутствующая в правой части уравнения (П1.38), не влияет в силу линейности модели на свойства управляемости этой подсистемы. Доказательство представимости модели (П1. 1) в случае ее неполной управляелюсти в виде двух подсистем (П1.38) и (П(.39) лано в (21. Таким ооразом, канонический вид модели динамической системы показывает, что управляемылш являются лишь такие состояния системы, которые описываются векторами вида а нсуправляемыс состояния описываются векторами вида д!веМг» хз ~де Й, и»м, — линейные подпросгранства фазового пространства системы размерностей Л и и -7г соответственно.
В силу зтого любой веь-гор состояния может быть представлен в виде суммы; я яи) х»па (П1.40) а само фазовое пространство объекта управления представлено в виде прямой суммы подпространств й, и ЛГ,: (П1,41) Поскольку свойства управляемости и неуправляемости состояний яинейнык систем инвариантны относительно линсйныя невырожденных преобразований параметров состояния, то представления внда (П1.40) и (П!.41) справедливы и для исходной модели (П1.1). Таким образом, если динамическая система (П!.1) не полностью управляема и ранг матрииы управляемости равен к, то пространство состояний системы разложимо в прямую сумму надпространств И! и Мз размерностей Х и л -А.
соответственно, Х" = М,вМ,, (П1.42! а любой вектор состояния может оыть выражен в виде суммы векторов: х " "х~'»хз, х» ЕМы хам Мз» (П1.43) где состояние х! управляемо, а состояние к, полностью неуправляемо, При зтом подпространство бу~ совпадает с линейной оболочкой 521 стоэбцов матрицы управляемости, а Мз представляет сооой дополнение М, до А". Неэрудпо убедиться, что полпростра»ство М> является олновременно областью достижимости из начала координат, а при ненулевом начальном состоянии х(ге) область достижимости представляет собой множество таких состояний х(>х).
для которых справелливо равенство х(>„.) = х(ге) + х>. где х, е М,. Лру> пхи> словаки>. взаимно достижимыми состояниями пространства А" являются только такие состояния х(>о) н х(>„), разность которых принадлежит поли р остра нству М>. Только для таких пар состояний и могут решаться задачи управления. П1.4, Задача построения областей управляемости и достнжимости Рассмотрим вопрос о построении областей управляемости и достижнмости при ограничениях на управления. Г!оскольку данные области существу>от только в подпространстве управляемых состояний объекта управления, далее полагаем, что система (П!,1) обладает свойством полной структурной управляемости, а управляющие воздействия подчинены одному или нескольким ограничениям вида (П 1.3) — (П! .7), Для линейных светел> конфигурация областей управляемости н достижимости весьма подробно исследована в !51, гле показано.
что в общем случае данные области представляют собой замкнутые множества, раз«еры которых увеличиваются с увеличением времени >я. Характерной особенностью задач построения областей управляемости и достижимости является то обстоятельство, что эти задачи принадлежат к классу задач огинииатьиого ун>эак>ения, так как граничные точки указанных областей достигаются на управлении, оптимальном в смысле некоторого критерия, вид которого определяется характером ограничений на параметры управления. Поскольку области управляемости и достижил>ости связаны выражением (П!.14), то достаточно построить одну из этих областей, а затем с помошью отображения (П!.
!41 найти другую область. Прн этом задача построения области лостнжимости окаэь>вается, как правило, проще задачи построения ооласти управляемости, так как в первом случае необходимо решить более простую залечу оптимизации управления с фнкснрованнь>л> левым концол> траектории управляемого лвижения, исходящей из начала коорлннат, и свободным правым концом, который должен лежать иа границе искомой ооласти лостижимости.
Далее задачи построения областей управляемости и достижимостн булем рассл>атривать на примере простейшей системы второго порядка с одним параметром управления: 522 Рне. П Д 4. Областн лостажпмаста н снраалаемассн а ри еграннченаях на унра аленке !П саЯ .Е, = х !хс1 (П!.44) Данная система полностью управляема в пространстве сс', что следует из критерия Калмана (П !.34): Несмотря на простоту модели (П1.44), анализ ее областей управляес|ости и достижимости позволяет (как это показано в гл.
1.2) сформулировать содержательные выводы об условиях уиравляелсости БР и ГЧ. Рассмотрим область лоспакимости системы (П1.44) при ограничениях на управление вида (П1,3) и (П1.7): -/с а и(с) а )с, г в [О, Т). (П1.45) Область доспсжилсостсс при данных ограничениях изображена иа рис, П1,1, а, Лналссз задачи построения области достпжимости при ограничениях (П1.45) показывает, что граничные точки этой области достижимы при управчеиии. оптимальном по бьсстродсйсствню.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
