Разоренов Г.Н., Бахрамов Э.А., Титов Ю.Ф. Системы управления летательными аппаратами (2003) (1246774), страница 91
Текст из файла (страница 91)
г,) = Е Таким образом. оощее решение сопряженной системы может быть записано в виде: рП) = Ф'(с„,г)с. (4,94) У = — ~ и'Яийт, 1 2 (4.95) тле й - симметричная положительно определенная весовая матрица, в частном случае диагональная. 488 Подставляя данное выражение в 14.92). убеждаемся. что найденное оппииальное управление выражается формулой, совпадаюшсй с (4.8 1). Тем самым оптимальность рассмозрениых выше законов управления (4.81), (4.85) и (4.86) доказана. В тех случаях, когда компоненты вектора управлений имеют различный физический смысл и различные физические размерности, меру срелненнтегрэльных затрат на управление слелует выразить более обшей формулой: Повторив вышеприведенные выкладки, мохсно убедиться.
что ' учетом гссоаой матрицы управление (4Я5) следует записать в виде и(г) = Я 'В'ЯФ'(Г„,г) К, (п,Ях„-Ф(гяг )хэ), (4,98) р; (г„ге) ~Ф(гыт) В(т) В 'В т(т) Ф'(г,.т) И" г~налогичным образом трансформируется выпаккение для замкнутого закона управления (4.86). Рассмотрим теперь более оошую пошаноаку задачи управления лля системы (4.76). Предположим, что терминальные условия заданы не только для вектора состояний, ио и лля вектора управлений: х(ю,) = х„х, в й ", и(г„.) = и„и,, в Я (4.97) При управлении полетом ступени разведения последнее условие актуально в том случае, когда к концу процесса управления требуется яуеспечить заданные значения параметров управления, например, ийи гральное положение сопел > правляюшей двигательной установки.
Для реализации расширенных терминальных условий управления (-«97) необходимо увеличить соотвегствуюьцим ооразом число степсней свободы управляющих воздействий действительно, в соответствии с формулой (4.8() число степеней свободы вектора управляющих воздействий определяется размерностью вектора с и равно числу линейно независимых столбцов магрииы Вт(г)Фт(гк г). В условиях полной управляемости зто число равно и.;(обавим к матрице В'(НФ'йх, с) сше ш столбцов, которые совместно со столбиамн этой матрицы долины образоватьлииейио независимсно совокупность, Этисголбиы объедииим в квадратную матрицу Г(г) порядка ш и вектор управляющих воздегктвий з«пишем следующим образом: иЯ = В '(г)Ф'(гх, г) с, - Г(г) сз, (4.98) где размерности векторов с~ н г, равны и и ги соответственно.
Подставим аырагкенне (4.98) в формулу Коцш (4,78): с х„= Ф(т,, се)хе ь ~ [Ф(г„,, т)В(т)В т(т)Ф'(с„т)Ыт) с, с> (4.99) с ~(Ф(с„, т)В(т)Г(т)йт!.с,. Учтем, кроме того, заданность конечного значения вектора управлений и с помощью (4,98! запишем соответствующее)равнение связи (с учетом того, что Ф(!я, гх) = Е): и„= В(г,) с, + Г(с„'! г.. (4.! 00) Таким образом, соотношения (4 99) и (4.
! 00) образуют систему из л+ + и! линейных алгебраических уравнений для определения векторов с, и гз. Общую матрицу полученной системы алгебраических уравнений обозначим р(с„, г,) и запишел! ее в следующем блочном виде с с с ! Ф(г„, т)В(т)В'(т)Ф'(1„, т)Ыт,'~ Ф((„т)В(т)Г(т)с(т (4.(0!) + Г(!,) В '(с„) (4. (02) Послс подстановки найденных значений векторов г ! и гз в формулу (4 98) получаем искомое управление. обеспечивающее реализацию терминаль- ных условий (4.97): 490 Данная матрица иевырождена прп соблюдении упомянутого выше условия линейной независимости совокупности и + с>! столбцов, образующих матрицы В'(!)Ф'(ск, !) и Г(!). Позтому существу~т обратная матрица )с '(с„, с,) и решение системы линейных алгебраических уравнений (4.99! - (4.! 00) мо;кет быть записано следующьгм образоек («„, «,)х, $ !' и„ к иЯ = (В'(«)Ф'(«„, «) ь Г(«)).
1э («к, «с) ° (4.1«)3) Замкнутый закон управления нетрудно получить. рассматривая, как и выше, текущее состояние х(«) в качестве начал ы«ого на момент г и заменяя в форт«уле 14.103) ха на.т(«) и «о на «: х„-Ф(«„, «)х(«) и, к(«,х(«)) = (В'(«)Ф'(«„, «): Г(«)) )г («„, «) (4.104) В данном случае управления (4.!03) и 14.!04) уже не являются оитимальныл«н в смысле рассмотренного выше критерия. В заключение обратим внимание читателя иа следу«ошее обстоятельство. Получеиые нами замкнутысзаконы терминального управления [4.86) и (4. В04) имеют особенность в терминальной точке, аналогичную э ой, которая свойственна алгоритмам замкнутого управления по методу требуемых ускорений (см.
п. 3.7.2). Рассмотрим этот вопрос на примере закона управления 14,86), проанализировав характер изменения э««ементов матрицы Г («то «1 и текущей иевязкн терминальных условий унравле««ия, определяемой разностью Ь(«) = х„- Ф(«„«) х(г). (4.105) В номинальных условиях управления при отсутс гвин возмущений невязка 600 стремится к ну««ю цри « - «к. Вместе с тек«элементы матрицы 1'(гк, «) таньке стремятся к нулю при « — гк, а элементы обратной метр««цы стремятся к бесконечности. Так««м образом, лля компонент вектора )правлений характер«га неопределенность в терминальной точке типа произведения бесконечности на нуль; иВ) - О, (« - «„), /' = 1,2,...,як (4.106) Эта неопределенность разрешается в силу закона разомкнутого управления (4.83), который тоьтдсственсн порогкленному им закону эамкнутогоуправления(4.861, поэтомув терминальной точкеуправления «,««,1 при нимшот впошс конкретные конечные значения. В реальных условиях управления при действии возмущений ситуация меняется.
В частности, наличие неконтролируемых погрешностей решения навигаиионной задачи ло определению тскус исто состояниях(с) приводит к тому, что в окрестности терминальной точки вектор б остается отлссчньсьс от нуля при с - спе Вследствие этого управления сс(с) с могут в соответствии с (4.106) принимать неограниченно большие значения вблизи терм ссналь ной точки и с гановятся нереализуемыми при имеющихся ограничениях на допустимые прслелы и с изменения.
Поэтому прсв практическом применении законов управления (456) и (4. 104) следует принимать меры ао устраненшо указанной особенности. Наиболее простой спосоорешенияданнойпроолемызаключается втом.чтобы при приближении к терминальной точке осуществлять переход от замкнутого закона управления к соответствуюшему ему разомкнутому закону в некоторый заранее установленный момент времени с = сч — дс. Эта мера исключает неограниченное возрастание управляющих воздействий.
хотя и приводит к появлению лсегодической погрешности управления, величина которой определяется интервалом времени дс л уровнем действующих возмущений. Момен г с* выбирается путем прслварительного математического моделирования проиесса управления с учетом действия возмушений и ограничений на величину управляюших воздействий. Перейдем к примерам практического применения изложенной методики построения замкнутых законов управления приченительио к типовым маневрам ступени разведения. Рассмотрим смешанную схему создания управляющих чоменгов, при которой происходит явление "заноса" венгра масс ступени разведения при управлении ее угловым движением, Поскольку изложенная выше методика построения законов управления предуслсатривает использование линейных молелей. воспользуемся линеаризованными уравнениялш врашательно-поступательного лвижения ступени разведения. Псьгтчесссселссссепрссзовпнссыхурпвненсиг врсшспшагьно-ноеспсгспнсельноео двсснгенсся сссс) ссесссс рпзведесссся Предположим, что управляюший момент СР созлается с помощью пары синхронно отклоняемых сопел ДУ, расположенных симметрично относс пел ьно ее продольной оси (рис.
4.19). Поскольку далее рассматриваются маневры типа "змейка" гс "боевой разворот", запишем уравнения движения иесгтра масс СР в плоскости маневра, образованной единичными векторами Х и р, с которыми связаны оси х, г грямоугольной системы координат: гяс аия. К вивии > равнения авявеняя лмияи яязяеагаия гле Р— суммарная тяга ДУ.
Уравнения врашательиого движения по углу таигажа имеют вид: РЬ, х)гшо Ю=ы> Й= Г (4.103) Р РЬ, х) ш ' г, и Линеаризованиые уравнения врац1ательно-иоступательиого движения имеют вид: 493 гле ь. — угол тангажа, ы- угловая скорость..т, и л; -координаты центра масс СР и оси паворота сопслЛУ: Е.
— лоиерсчный момент инерции СР. я В дальнейшем измеиеиием массы и момента инерции пренебрегаем. Введем слсдуюшис обозиачсиия; Ьх = Ь!Г„Ь!!е, = -ая!п(В„~ Ь„)(ЬВ ЬЬ), ау ЬИ', йИ' = асояЬВ, Ь,)(ЬВ + оЬ), (4.110) ЬЬ Ььъ, Ьй ЬсояЬ„ЬЬ. (4. ! 1 1) В качестве опорного примем поступательное лвижение, совершаемое ступенью разведения вдоль направления баллистической вертикали при построении боевого порядка "пеночка", т.е. при Вк = -90', Ьв = О. В этом случае лниеаризованные уравнения (4.110) и !4,111) ирннныают виги Ь) =аИ', ЬИ" =О, 14.112) Воспользуемсяполученньвшуравиениямидля постригииярассматриваемых ниже алгоритмов управления.
Ллгорильк травления,каневромишла "хиепка" 494 Как отмечалось в п. 4.3.1. маневр данного типа реализуется в тех случаях, когда требуется обеспечить последовательное отделение двух или более ББ, образующих боевой порядок "цепочьа", при дополнительном условии ориентации продольной осн ступени разведения н отделяемых ББ в нанравлеини, параллельном вектору скорости ББ прн входе в атмосферу. Соблюдение данного условия необходимо для осуществления продольной закрутк~ ББ после отделения от СР и обеспечения тем самым стабилизированного входа ББ в атмосферу с нулевымиуглами атаки и скольженняспельюуменьшснля атмосферного рассеивания. При совершении маневра типа "змейка' в данной схеме создания управляющего момента происхолит "занос" иснтра масс ступени разведения вдоль оси х в плоскости баллнап!ческого горизонта и появляется приращение скорости СР в этом направлении, которое к нонну маиеврадолжно быть обиучсно.
Уравнения лзижеиия СРзапишем в виде: 14.113) Поскольку изменением координаты х в процессе маневра можно иренебречь, соответствующее уравнение в системе (4,! 13) опушено. Начальные и терминальные условия управления при совершении маневра типа "змейка" зададим следующим образом: бЮ'„© = О, ЬФ(з,) = ДФ*. Ьы(с,) = О, он~ (ук) а О, Ьб(! ) по, ды(з„) = О. (4.114) В дальнейшем полагаем юс = О. с„= Т. Момент Токончания маневра определяется временем набора заданного приращения скоропи ступени разведения вдоль баллистической вертикали прн построении боевого порядка 'цепочка": Т= — ~ —, И'= —. ф т (4.! 151 ОаО 001, В= 0 000 Ь (4.! 16) Найдем переходную матрицу Ф(7, 'г), Дзя линейной системы с постоянны- ми козффицнентами матрица фундаментальных решений и переходная матрица выражаются с помощью матричной зкспоненты: 495 Перейдемкзаписизямкнутогозакоиауправления,воспользовавшись его общим выражением (4.36).
В рассматриваемом случае система уравнений (4.113) линейна с постоянными козффициенгаыи н матрицы .! и В имеют впл: 4(4(!) е"' = Е + А! + — А я!я + 1 21 (4.112) Ф(Т !) ~,(2),~-4(!) л4г-» 0 0 а 0 0 О, А"=О, ЬаЗ, АЯ 000 и полагая для сокращения обозначений Т- ! = т, получаем а + -аЬт 1 г 2 ) ат -атт 1 2 Ф(Т, !)В = Ф(Т„!) = т 0 0 1 (4,!! 8) Ьт Вычислим далее матрицы ИТ, т) и М '(Т, т), перейдя к переменной интегрирования т: К(Т, т) = ~Ф(Т, !)ВВ Ф (Т, !)А! = ~Ф(т)ВВ Фт(т)йт, ! о атЬтз а ьЬЯтт а'т+ — + 3 20 аЬте аЬ Ят4 К(Т„т) = , (4Л 19) аьт э аЬт+— б 496 Учитывая последующие степени матрицы А, ! аЬтт аЬтт4 2 8 ! Ьтт4 ! 3 ! Ь Ятт ! 2 аЬ ~т' ! аЬт+— ! б ! Ьгтт ! 2 ! ! Ь~т ! ! 720 азЬзтз 360 аЬ'4 У '(Т,т) 60 720 аЬ2 з аЬз» ' Ьзт4 Ьз з ! Ь4 з Ьзтз Ьзт ! ! Окончательно в соответствии с общнм выражением (4.86) замкнутый закон терминального управления маневром типа "змейка" принимает следующий внд (после обратной подстановки т = Т- »): 4»б =— 60 »з И'„- 36 Ьо+ аь(7 !)з (4 !20) Ф !60 9 1 24 а»о- — аь'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
