Разоренов Г.Н., Бахрамов Э.А., Титов Ю.Ф. Системы управления летательными аппаратами (2003) (1246774), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Параметры управления иР образующие столбец и, предполагаются взаимно независимыми,что выражается условием максимальности ранга матрицы В: ранг В = пс. (П!.2) Кром етого, параметры управления подчинены ограничениям, отражаю- щим ограниченность ресурсов управления у реальных систем. Типичны- ми являются следующие ограничения: -7с я иу(т) я 7сР / = 1, „т; (П! .3) 0 я и (т) я /с, ° 7 = 1,...,ги; (П!.4) 1щ !и(т)!я Р, !и! = ~ 2,и~~) Рп (П!.5) ~!и(т)!~й я М; е (П!.б) (П1.7) 512 Неравенства (П1.3) и (П1.4) отражают ограниченность пределов отклонения органов управления ЛА и ограниченность массового секундного расхода топлива ДУ, неравенства (П1.Я вЂ” ограниченность модуля управляющих сил (силы тяги ДУ или полной аэродинамической силы), неравенства (П!.б) и (П!.7) — ограниченность запаса топлива и конечность интервала времени управления. Задача управления системой (П1.1) заключается в переводе ее из некоторого начального состояниях(ге) в заданное конечное(терминальное) состояние за ограниченное время.
Связь между начальным и конечным состояниями может быть выражена известной формулой Коши: х(с„) = Ф(~„,!Дх®+ ~Ф(~„т)В(т)и(т)бт, (П1.8) где Ф(б т) — переходная матрица состояний, выражающаяся через матрицу фундаментальных решений 1г(т) однородной системы дифференциальных уравнений: Х = А(!)х, (П!.9) Ф(~,т) = ф(!) ф ~(т). Сп1.1о) Сп!.!!) 513 Слагаемое Ф(с„, ге)х(сс) в формуле Коши определяет свободное движение системы при отсутствии управляющих воздействий. Слагаемое, зависящее от управлений, представляет собой вынужденное движение.
Очевидно, что перевод системы (П1,1) в заданное терминальное состояние может быль достигнут как выбором необходимых начальных условий, т.е. путем обеспечения требуемого свободного движения, так и выбором соответствующих управляющих воздействий. Свойство управляемости связывается с возможностью желаемого изменения состояния системы именно за счет вынужденной составляющей движения. Введем следующие определения. Областью управляемости Я(ге, ! ) системы (П1.!) называется множество состояний х((е) л В", для каждого из которых существует допустимое управление, обеспечивающее перевод системы (П1.1) в состояние х(т„) = 0 (т.е. в начало координат фазового пространства) за время Т= („- ге.
Состояния хЩ л Д(се, с„) называются улравляемыии состояниями. Областью доспшжимости Я(се, гя) системы (П!.!) называется множество состояний х(ся) а Я", для каждого из которых существует допустимое управление, обеспечивающее перевод системы (П!.1) из начала координат фазового пространства в состояние х((„) за время Т= ся ~0' Состояния х(!„) а В(се, г„) называются достижимыми состояниями. Из формулы Коши вытейают следующие выражения для управляемых и достижимых состояний: откуда видно, что управляемое и достижимое состояния, соответствую- щие одному и тому же допустимому управлению, связаны формулой х(2е) = -чс(2е,г,)х(Г„). (П1.13) Аналогичная формула связывает области управляемости и достижимос- ти." (П1.14) В частном случае, когда матрицы А и В постоянны (система (П!.1) стационарна), матрица фундаментальных решений однородной системы уравнений выражается с помощью матричной экспоненты: ф(т) ЕЛс (П!ЛЯ которая определяется как сумма степенного ряда, ЕЛс Е+Ат+ А2т2+ АЗТЗ + 21 31 (П!Л6) В этом случае формула Коши и формулы (П1.13) и (П1.14) записываются следующим образом (в предположении ге = О, г„= 7): т х(2) елтх(О) + ~елст сКВи(т)Дт о (П!.17) х(О) -лт (П! Л8) Д(2) — е-лт.Я(2) (П1.19) 514 Как будет видно из приводимых ниже примеров, в общем случае при наличии ограничений на управления области управляемости и достижимости не совпадают.
Это означает, что некоторое управляемое состояние может оказаться недостижимым, а некоторое достижимое состояние- неуправляемым. Однако при отсутствии ограничений на управления области управляемости и достижимости совпадают. П1,2. Задача анализа структурной управляемости М/Ц>!) = ~Ф(!„т)В(т)В'(т)Ф'Ц,т)йт, (П1.20) (П1.21) Соответственно, если матрица (П1.20) вырождена, система (П1Л) называется неполностью управляемой. В этом случае в М" существует линейное подпространство неуправляемых состояний размерности И = = и -lс, где /с- ранг матрицы управляемости (П1.20). Число а называется дефектом управляемости системы (П1. 1).
Закон управления и(т), при котором система (П1.1) в случае ее полной управляемости переводится из произвольного начального состояниях(!о) в начало координат фазового пространства, записывается с учетом формулы (П1.11) следующим образом: и(т) = -В'(т)Ф'(кв,т) Б' '(кв,г„)х®, (П1.22) откуда непосредственно вытекает достаточность условия полной управляемости (П1,21), при котором существует обратная матрица 515 Задача анализа структурной управляемости рассматривается при отсутствии ограничений на параметры управления и интервал времени процесса управления.
Задача заключается в выяснении того, существуют ли в фазовом пространстве системы неуправляемые и недостижимые состояния. При этом система (П! Л) называется полностью управляемой, если любое ее состояние х я Я" является управляемым и достижимым при некоторых конечных (о и г„. Соответственно, система называется неполностью управляемой, если неуправляемые и недостижимые состояния существуют. Данная задача решается, как известно, с помощью критериев управляемости Калмана. Приведем формулировки этих критериев.
Критерий полной управляемости. Система (П1,1) является полностью УпРавлЯемой в фазовом пРостРанстве М" (т.е. Д(!в, ~„) = 1!и) в том и только в том случае, если невырождена и определяемая выражением: !! '(!е, !к). Доказательство необходимости этого условия см. в [3). Критерий полной доптижимоппм Система (П!. !) является полностью достижимой в фазовом пространстве Я" (т.е. В(!е, !„) = Я") в том н только в том случае, если иевырождена мптрица достижимюсти, определяемая выражением: У(!„г,) = ~Ф(1„,т) В(т) В ~(т) Ф'(!„,т) Ит, (П1.23) де! Р(с„к„) ° О. (П1.24) Если матрица (П!.23) вырождена, то в КЯ существует линейное подпространство недостижимых состояний размерности В = и -й, где lс- ранг матрицы достижимости (П!.23). Закон управления и(т), при котором система (П1.1) в случае выполнения условия (П1.24) переводится из начала координат фазового пространства в произвольное конечное состояние х(ск) записывается с учетом формулы (П1.12) в виде и(т) -" В ~(т)ФФ(!„,т) У ~(юе,г„)хЯ.
(П1.25) Ю(с„ю„) = Т(се)М(с„г,)р '(юе), (П1.26) )'(!„!„) = ЧЩМ(!,1,)У.' '(!) ° где матрица М(ге, ю„) определяется выражением: (П1.27) М(ю,,с„) = ~Р '(.)В(.)В (т)(!У-'(т)) В., (П! .28) 5!б Нетрудно убедиться, что условия полной управляемости и полной достижимости эквивалентны, т.е. из условия (П1.21) вытекает полная достижимость, а из условия (П1.24) — полная управляемость. Данное заключение следует из факта равенства рангов матриц управляемости и достижимости. В справедливости указанного факта нетрудно убедиться, представив матрицы управляемости и достижимости в следующем виде: Поскольку матрица фундаментальных решений Ч'(т) невырождена прн всех т, из формул (П1.2б) и (П! .27) вытекает равенство рангов матриц управляемости, достижимости и матрицы М(ге, зк): Ранг Ю(гв,тк) " РангУ(!о зк) = РангМ(гв зх) (П1 29) (П1.30) для которых скалярные произведения определяются формулой: (ц(т)р Я) = ~~р,(т)«р (т)ат, Ц = 1,2,...,п.
(П1.3 1) Как видим, матрица М(зе, зк) образована попарнымн скалярными произведениями (П!.3!) и поэтому является матрицей Грама для строк матрицы Ч' '(т)В(т). В соответствии с критерием Грама ранг матрицы М(зе, г„) равен максимальному числу линейно независимых строк матрицй Ч' '(т)В(т). Указанное обстоятельство с учетом равенства (П1.29) позволяет сформулировать следующий единый критерий полной управляемости и полной достиисимости.
517 Таким образом, может быть сформулирован единый критерий полной управляемости и полной достижимости системы (П1.!) как условие невырожденности матрицы М(ге, гк). Наряду с этим можно дать иную формулировку данного критерия, более удобную в приложениях. Для этого следуегучесгь,что матрица М(~е,гк) может быть интерпретирована как матрица з)~ача, записанная для строк матрицы Ч' ~(т)В(т).
Поясним, что в общем случае матрица Грама представляет собой квадратную симметрическую матрицу п-го порядка, образованную. попарными скалярными произведениями некоторой совокупности из и элементов линейного пространства. Ранг матрицы Грама равен максимальному числу линейно независимых элементов из рассматриваемой совокупности. Данное утверждение известно как «ритерий Грача линейной независимости векторов и функций (см. Я, с.
225). Матрица 'Г~(т)В(т) может рассматриваться как совокупность ее строк, каждая из которых представляет собой вектор-функцию времени: ° Система (П)Л) полностью управляема и полностью достижима в фазовол» пространстве В" в том и только в тои случае, если строки матрицы Ч»(т)В(т), число которых равно и, линейно неэависил»ы. е В случае, когда л»акс»»»»альное число линейно независимых строк матр»»ць» Ч» '(т)В(т) меньше н и равно й, система (П1.1) не полностью управляема н не полностью достижима, при этом неуправляемые и недостижимые состояния образуют в ВЯ линейное подпространство размерности И = и -!к.
В заключение приведем известную формулировку критерия Калл»ана управляемости линейной стационарной системы. В данном случае матрицы А н В постоянны, поэтому матрица Ч ~(т)В выражается с помощью матричной экспоненты слелующ»»л» образом: Т '(т)В е '»'В = В-АВт+ — А»Вт»+ 1 2! (П1.32) б=(В»АВ»А»В»...»А" »В], (П1.33) Поэтому справедлив следующий крюперий наиной>ирак»наноса»и и полной доктижи»»ок»»»»» линейной к»»и»ц»»о»»арно»! к»»ки»е»»ы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
