Разоренов Г.Н., Бахрамов Э.А., Титов Ю.Ф. Системы управления летательными аппаратами (2003) (1246774), страница 90
Текст из файла (страница 90)
г о (4.65) Таким образом, при вычислении производной Р достаточно использовать кинематич еское уравнение для Ло', 2Ле = Л~аз~ Лгьзг Лзезз (4.66) 481 ьз — из и Отсюда с учетом (4.52) вытекает равенство нулю функции Ляпунова в терминальной точке. В остальных точках фазового пространства функция Ляпунова знакопостоянна (положительна), Для вывода об устойчивости закона управления (4.61) остается зроанализировать знак производной по времени функции Ляпунова, вычисленной в силу диназшческих и кинематических уравнений вращательного движения. Для удобства читателя приведем здесь соответствующие уравнения вращательного движения.
Динамические уравнения (1.55) запишем в виде: Вычисляя производную С с учетом уравнений (4 64) н (4 66), получаем з з з 1 Ло Е Л/!О/+1!/о!/а!+1!о/24/2 О1ъюоююою =Ло Х Л/о>ю+ ~ ою/М/". (4 67) юо /-! /-! После подстановки в (4.67) выражений для управляющих моментов (4.6!) имеем з з з 1 = Ло ЕЛ/ыю- ЕЬ/мю -ЛОЕЬ/ !Лю. ю! l! ю ! Для устойчивости управления производная 1, при положительной функции 1.
должна быть отрицательна. В данном случае отрицательность 1. обеспечивается при Ь/ = 1: 3 2 1. = -2',Ь,юо/ сй. (4.69) ю! Таким образом, с учетом данного условия закон управления (4.6!) приобретает вид: М!! - -Ьюи!-ЛОЛ!. Мз 2 2 О 2~ (4.70) Мз " Ьзоюз ЛоЛз. Закон управления (4 70) л!ожет быть записан в более общем вндс, если ввести дополнительный коэффициент усиления, единый для всех трех каналов управления: М" = -Ь!Ою! -ЬЛОЛ, !! Ыз Ьзоюз ЬЛОЛ2~ (4.71) 482 Мз = Ьзоюз ЬЛОЛз. Для проверки терминальной устойчивости закона управления (4.71) достаточно соответствующим образом скорректировать функцию Ляпунова, положив 1.
= Ь )ю+ И', где 1/ и 11/ определяются формулами (4.62), Покажем, что закон управления (4.7 !) может быть выражен не только в компонентах кватерииона вращения, но и в направляющих косинусах. Это потребует в процессе управления определять текущие значения параметров ориентации ступени разведения путем интегрирования не кииематическнх уравнений (ПЗ.ЗО), а кинеиатических уравнений Пуассона (ПЗ.ЗО). С помощью таблицы (ПЗ.66), выражающей связи между злементами матрицы направляющих косинусов и компонентами кватерниона, нетрудно получить следующие зависимости: ам- = 4ЛеЛ,, а1з-ам = 4ЛеЛз, ам -д1 = 4Л0Лз. С использованием данных выражений закон управления (4.7!) в направляющих косинусах примет следующий вид: (4.72) ЬУ, = -б~м~ -!с(а -азз), Ь'2 ~2~2 'с( !3 д31) ' Мзт = -баы - )с(аи - д, ) .
(4.73) !Ьт(Г„)! я с, !Ьф(г„)! я е, !Ьб(!„)! я е, (4.74) !Ьи~(г„)! я б, !богаз(г,)! я б, !Ьмз(г„)! я б. (4.75) Таким образом, процесс управления заканчивается в момент г„одновременного выполнения неравенств (4.74) и (4.73. 483 Терминальная устойчивость управления с законом (4.73) вытекает из предыдущего. В заключение охарактеризуем общие свойства рассмотренных алгоритмов управления вращательным движением ступени разведения.
!. Законы управления (4.7!) и (4.73) обеспечивают лишь асимптотическую сходимость параметров вращательного движения ступени разведения к заданным терминальным условиям управления (4 5 !) и (4.52), Однако иа практике время управления конечно, так как задачауправлениятериииальным состояниеыобъектауправлеиия ставится и решается с конечной точностью, определяемой допустимыми отклонениями параметров движения от их терминальных значений: 2.
При приближении к терминальной точке управляющие моменты, как зто видно из (4.71) и (4.73), уменьшаются, что затягивает процесс управления. Для повышения быстродействия управления следует увеличивать значения коэффициентов усиления Ьп Ьз, Ьз и Ь по мере приближения к терминальной точке при условии сохранения ограничений на максимально допустимые значения управляющих моментов. 3. Законы управления (4.7 1) и (4.73) не оптимальны по быстродействию. В этом смысле они уступают по эффективности алгоритму управления вращательным движением, рассмотренному выше в п. 4.3.2.
Однако достоинством этих законов управления является их замкнутость, алгоритмическая простота и отсутствие особенностей в окрестности терминальной точки. Последнее свойство связано с тем, что время окончания процесса управления заранее не фиксируется и определяется условиями (4,74) и (4.75). 4.3.4. Алгоритмы замкнутого терминального управления вращательно- поступательным движением ступени разведения Как отмечалось выше, типовые маневры ступени разведения при построении боевых порядков ББ и ЛЦ состоят из ряда последовательных участков управляемого вращательного и поступательного движений. Эти виды движений являются независимыми, если конструктивно-силовая схема СР позволяет реализовать моментную схему управления вращательным движением. В случае же смешанной конструктивно-силовой схемы СР вращательное н поступательное движения взаимно зависимы, поэтому алгоритмы управления должны учитывать данное обстоятельство. Нижерассматриваегся методикапостроенияалгоритмовзамкнутого терминального управления вращательно-поступательным движением ступени разведения и приводятся примеры применения этой методики к задачам управления маневрами типа "змейка" и "боевой разворот".
Основу этой методики составляет достаточно общая процедура конструирования алгоритмов терминального управленияприменительно к линейным или линеаризованным моделям объекта управления как с постоянными, так и с переменными коэффициентами. Основы метадики построения линейных алгоритмов терминального управления Рассмотрим линейную модель объекта управления следующего стандартного вида: 484 х = А (е)х+ В Яи, х я Я ", и е Я ". (4.76) Предположим, что объект управления полностью управляем в соответствии с критерием управляемости Калмана (см.
Приложение 1). Сформулируем следующую задачутерминального управления: требуется найти замкнутый закон управления вида: и = и(бх(е)), (4.77) обеспечивающий перевод объекта управления из заданного начального состояния х(зе) = хе в заданное терминальное состояние х(г„) = х„за вреляя Т= с„- се. Для решения рассматриваемой задачи удобно воспользоваться формулой Коши, выражающей в интегральной форме связь начального и терминального состояний линейной системы (4,76): ч х(1„) = Ф(~„,~е)хе+ / Ф(~„,т)В(т)и(т)Ат.
(4.78) (4.79) где Ч'(ю) — матрица фундаментальных решений однородной системы уравнеиий х А(з)х. (4.80) Найдем сначала программу разомкнутого управления и = и(е), решающую рассматриваемую задачу терминального управления. Выразим искомое управление в виде и(е) = В'(ю)Ф'(с„,с)с, сяМ", (4.81) где вектор с определим из начальных и терминальных условий. Подставляя выражение (4.81) в формулу Коши, получаем 485 м — жзя Здесь переходная матрица Ф(с, т) представляется, как известно, следующим образом: х, = Ф(»„»е)хе+~Ф(»„т)В(т)В'(т)Ф'(емт)Вт с. (482) Введем обозначение Р(см»с) ~Ф(»„,»')В(т)В'(т)Ф'(г„,»)»»с. (4.83) Здесь Г(»к, »е) так называемая матрица достижилюсти (см.
Приложение ! ). Ввиду полной управляемости системы (4.76) зта матрица невырождена и поэтому существует обратная матр»»ца $' »(»„, »е). Вследствие этого вектор с находится как решение системы л»»неййь»х алгебраических уравнений (4.82): с = г»(»ыте)(х -Ф(»мте)х„). (4.84) После этого окончательно находил» искомое управление: и(») = В'(»)ФФ(»„») Р' »(»„»е)(х„-Ф(»„»е)хс). (4.85) Теперь замкнутый закон управления вида (4.77) нетрудно получить из (4.85), если текушее состояние х(») рассматривать в качестве начального состояния иа л»оь»ент» и заменить в (4.85) хо на х(») и»е на»: и(»х(»)) Вт(»)Ф»(»„,») Р»(г,»)[х -Ф(»,»)х(»)).
(4.86) 486 Зине~»»п»ик Из приведенных выкладок видно, что управление (4.8!) конструируется с таким расчетом, чтобы, воспользовавшись свойством управляем ест»» системы (4 76), найти вектор с нз системы алгебраических уравнений (4.82) с невырождеиной матрицей Щк, »е). На первый взглял может показаться, что зта конструкция носит слишком частный характер, так как существуют и другие, отличные от (4.85) и (4.86), законы управления. Покажем, что выражение (4.81) естественным образом вытекает из решения соответствующей оптимизационной задачи и управление (4.8») оптимально по лр»»терию минимума среднеинтегральных затрат на )правлен»»е, выражаемых следующей функц»»ей: ,) = — ° ~ и'(т)и(е)Ит.
1 2з .т„,, = — ус*(з)и(т)Нт, 1 )довлетворяюшую дифференциальному уравнению л, = — и'и и 2 начальному условию ля,(1е) = О, В результате критериальная функция примет вил з .~я+ ~(гх) Введем вектор-столбец сопряженных переменных р размерности и и дополнительную сопряженную переменную р„„, соответствующую фазовой переменной х„„. Запишем выражение для гамнльтониана и дифференциальные уравнения для сопряженных переменньсх: 77 -. р'А(г)х-~р'В(()и - — р и'и, 2 "' р =- — '" =-р.АЯ, р=А(г)р. бл (4.90) Р,., =О. (4.91) В соответствии с постановкой задачи начальное и терминальное состояния объекта управления заданы, поэтому краевые условия для вектора сопряженных переменных р отсутствуют.
Фаэовая координата хи., в момент! свободна, следовательно, для сопряженной переменной Для проверки указанного обстоятельства сформулируем следующую гядачу оптимального управления для системы (4.76): найти управление, оптимальное по критерию минимума функции (4Я7) и обеспечивающее пеРевод сисгемы 14.76) из начального состоЯниЯ ле в тсРминальное состояние гся за заданно с время Т = г„— гс. Воспользуемся процедурой принципа максимума Понтрягина Свелсм поставленную задачу оптимизации управления с интегральной критери аль ной функцией (4.87) (задача Лагранжа) к задаче оптимизации ) правления с критериальной функцией неинтегрального типа (задача Майера).
С этой целью введем дополнительную фаэовую переменную рч ~ имеется краевое условие: Р„,0,.) = — — —.— = -1, ау ах„., (к„) Отсюда с у ~етом уравнения (491) заключ вели что рчь > ° -1. Подставим это значение в (4.89). Найдем выражение для оптимального управления из условия максимальности гамильтоииаиа. Ввиду того, что ограничений на управления по постановке задачи нет, можно воспользоваться нсобхолимым условием экстремума функции Н. Приравнивая нулю производную ог Н по и и транспонируя получаемое матрично. уравнение.
находим искомое управление: — ы Р~В(г) ит л О, и в Вт(фр(ф ди (4.92) Здесь РВ) удовлетворяет сопряженной системе дифференциальных уравнений (4.90). Нетрудно теперь проверить. что если Ч'10 — фундаментальная матрица решений однородной системы (4.80), то (Ч"(сЦ '— фундаментальная матрица решений сопряженной системы (4.90), а матрица Фт(гк, с) = (Чо(г)] 'Ч'(ся) — нормированная фунламеитальная матрица решений сопряженной системы, удовлетворяю~цая краевому условию Фйк.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
