Разоренов Г.Н., Бахрамов Э.А., Титов Ю.Ф. Системы управления летательными аппаратами (2003) (1246774), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Из условия оТ, = О видно, что приращения скорости, сообщаемые боевым блокам, ортогональны градиентному направлению т и лежат в плоскости векторов й и Р. Данный вывод вытекает и из формулы (4-15). В частном случае при о(. = О приращение скорости должно быть ориентировано по направлению вектора р, а прн ЬВ = О- по неправде нию вектора и. 71 й) смме нрирпгиенпя гкпрпони в пвглппрпиегирпчегкаи впрнпнте задания п„,р цпназьпьгг >тяовпй и оппдпнкя 3ЬО, ЬЬ = — Ь!'„— Ь!» + — Ь );, де', дЬ ЗЕ, д!'„" З(; ' д(ь (4.1б) Ь В = — Ь и, — Ь Ьг + — Ь (»в.
ЗВ ЗВ дВ З~; ' ддЬ' ~ И; Другими словами, здесь речь идет об определении такого решения двух уравнений (4.16) с тремя неизвестными, евклидова норма которого минимальна. Подобные задачи хорошо известны в линейной алгебре и их решение получается с помошью псевдообратной матрниы (см. (11)). Лля записи искомого решения обозначим через л» матрицу ьозффиииентов системы уравнений (4,16): ,в,в~' ,» = ~ (4.17) В рассматриваемом случае матрицсй, псевдообр атно й по отношению к матрице К, является ь~атрица Л = рп(з1гФ') '.
Таким образом, компоненты искомого вектора требуемого приращения скорости определяются следуюшим матричным выражениелк (4.! 8) Полезно сопоставить этот результат с выражением (4.11), представля- зл»в Нап оьшим, что данный вариант задачи формирования боевых порядков отличается ог предыдушего тем, чго задаются величины ЬЬ, ЬВ и „редъявляется дополнительное требование мпнььиальнпсппз искомого ярцрпи!ения гкпрпгппс В данном случае мы илсегм задачу на условный экстремум, где искомое решение должно удовлетворять требованию ниии» ы»у р и, м»»ф»,' »,"»»,', ари двух условиях связи, наложенных на компоненты вектора ьР терминальными условиями М„ЬВ: Оь =2,„ЬР, 0 = ча)', (4.!9) ~ЛВ В„Д1~.
Сопоставление систем уравнений (4.8) н (4.19) показывает, что решение рассматриваемой нами задачи может быть получено с помощью формулы (4.13), где вектор Т следует заменить на вектор 9, а второе слагаемое, содержащее множитель ЬТ, опустить. В итоге получаем следующую формулу, представляющую собой векторный аналог матричного выражения (4.18): Ь Р = ((т х Вк)ЬЬ+ (Е„х т)ЬВ). ~В~ хЦ При записи этой формулы было учтено, что определитель матрицы системы алгебраических уравнений (4.19) может быть выражен как скалярное произведение векторов В„х Е,, и б, т.е. равен ~Вгх Ег~.
Формулу(4 20) можно записать в ином виде, если заменить векторы Ег н В„соответствующими им единичными векторами Л и й: (4.20) ((тхр)Вглт +(Лхт)1.рдВ). ~гхЦ (4.21) Если, наконец, ввести единичные векторы Л' = 0 х й, й' = Л х 0 и учесть равенства 450 ющнм собой алгебраическое решение задачи по определению приращения скорости в ее предыдущем варианте. Далее нас будет интересовать также векторная форма записи решения рассматриваемой задачи, аналогичная выражен иял~ (4.13) и (4.15). Проще всего эту форму записи получить с помощью выражения (4.13). С этой целью учтем, что геометрически требование минимальности модуля вектора скорости означает, что этот вектор должен лежать в плоскости баллистического горизонта и, следовательно, должен быть ортогонален баллистической вертикали. Добавим данное условие ортогоиальности к уравнениям (4.16) и получим тем самым систему трех алгебраических уравнений с тремя неизвестными, которую по аналогии с (4.8) запишем в следую~цен виде: ~р„в(яв„в~р вЬв„в„лов=в„в„вт-в ваяв„в„д-<~вз', где ф — угол между векторами х и р, то формула (4.21) приобретает следующий вид: (Д2.—, ДВ,) — '+ — Й.
(4.22) , ) ВР Рнс. 444. Основная баллнстнчссная снстсна ноорлннат 451 м' Геометрический смысл единичных векторов л' и р' проиллюстрирован на рис. 4.14. Эти векторы лежат в плоскости баллистического горизонта, причем вектор л' ортогонален вектору р, а вектор р' ортогонален вектору л. Систему координат, оси которой ориентированы по единичным ВЕКтОраМ Л', о И р', НаЗОВЕМ ОСНОВНОЙ баЛЛиСтиЧЕСКОй СиегВ5СМОй коордлнпоь Именно эта система координат используется при построении боевых порядков ББ и ЛЦ, когда каждый ББ направляется на индивидуальную цель с координатами М.~ и ЬВ. Как видно из формулы (4.22), приращения скорости, сообщаемые боевым блокам, лежат в плоскости баллистического горизонта.
В тех случаях, когда при отделении очередного боевого блока необходимо обеспечить нулевое боковое отклонение ЬВ = О, требуемоеприращениескоростиследуетнаправитьпараллельновектору Х'.Аналогичным образом, при необходимости обеспечить заданное боковое отклонение В„К1„ при нулевой величине оЬ = О требуемоеприращениескорости следует направить параллельно вектору Й'. Отстрел l Ух 8, совокупности ложных целей, Л предназначенныхдля прнкры- о тия отделяемого ББ, произво- ~~/ Р' дится по направлению баллистической вертикали в момент окончания набора ступенью разведения соответствующего приращения скорости. При всей внешней простоте выражения (4.22) этой формуле свойствен. ны определенные неудобсзнн при ее реализации в алгоритмах управления движением ступени разведения.
связаниь.е с необходимостью предварительного расчета векторов л' и й' с поиошью операции двойного векторного умножения исходных векторов л и и. так квк 1 — — " 1 Л' (ДхЛ)хр —, й' = Лх(рхЛ)— зшф* зш ф Очевидно, что эти неудобства являются следствием взаимной неОРтогональности исходных гРадиентных напРавлсиий Ьг и В, Действительно, есяи бы эти направления были взаимно ортогональны, то вектор Л' совпал бы с вектором Л, а вектор й' — с вектором й. В этом случае формула (4.22) приобрела бы наиболее простой вил: оЬ вЂ” ДВ- йР= — Л+ и, Ьг (4.23) Ниже показывается, что сушествует способ ортогоиализации градиентных направлений Ь„и В, Этот способ использует то обстоятельство, что ортогональиые преобразования осей Ь и В целевой системы координат изменяют взаимную ориенташио векторов Е„и В,„поэтому соответствуюшим выбором угла поворота осей Ь и В можно обеспечить ортогональность векторов Ьг и В„.
4.2.3. Ортогоналнзация градиентных направлений и осей основной баллистической системы координат дЬ' = дЬсоза-дВз!па, ЬВ' = аЬяша'дВсоза. (4.24) Итак, предположим, что оси Ь и В целевой системы координат подвергнуты ортогональному греобразованию с углом а, как это показано на рис. 4.15. Притаком преобразовании иовыскоордннаты точки 1!икоторысмы обозначим лЬ' и лВ', связаны со старыми координатами иЬ и лВ извес~ными линсйными зависиыостямш Очевидно, что изменение ориентации осей целевой системы коорлииат приведет к изменению соответствуюших баллистических произволных, т.е. к изменению векторов гралиентных направле. иий. Измененные векторы градиентных направлений обозначим Ф 1, и а, Проверим, что "новые" и "сзарыео гралиентныеиаправления связаны формуламн преобразований, аналогичными (4.24): Рис.
ол5. Преояряоваоое осей исаевой сосескм кооронввт Ег = Ексоза-Вгяпа, (4.25) в Вс Егяпа+Вксояа, дЕ' дЬЕ' дЬЕ асвВ Ег = — = — = — сова — — япа = Ексова — Вгяпа. аР аР аР аР Второе равенство (4.25) проверяется аналогично. Воспользовавшись теперь выражения мир(4,25), найделс такое значение уг:ш а, ири котором векторы Е, и В,'. будут ортогоиальны, С этой целью приравияем нулсо скалярное произведение этих векторов: Ек В„= Егяшасоза-Вк~япасояао(Е„Вг)(соя а — яп"а) О.
Переходя здесь к тригонометрическим функциям улвоенного угла и разрешая получаемое уравнение относительно а, находим: 2(Ек Вк) а = -агс!й— 2 Вз Ет к (4.2б) В качестве примера, иллюстрируюшего изложенный прием ортогоиалчзации гралиеитных направлений Ек и Вг,рассмотрим баллистические Для этой проверки достаточно привести следуюшую цепочку равенств, учтя равенства (4.24): производные (4 9). Нетрудно убедиться, что в данном случае векторы Е„ и Й неортогональны и угол между ними ф = 84,6', Требуемый угол поворота осей целевой системы координат, вычисленный по формуле (4.26), равен и = -1,07'. В новой системе координат баллнстическне производные, пересчитанные с помощью выражений (4.2э), принимают следующие значения: 2.
= 5799 с, Е. = 240! с, Е = 222с, В„= -69с, Вг = 55с, В,, = 1196с. Таким образом, найденные градиентные направления ортогональны и поэтому расчет требуемых приращений скоростей при разведении боевых блоков может осуществляться по формуле (4.23), где заданные координаты целей должны быть предварительно пересчитаны с помощью выражений (4.24) в новую целевую систему координат.
4.2.4. Учет переменности баллнстнческлх производных н ориентации осей баллистических систем координат при построении боевык порядков В описанной выше схеме импульсного разведения элементов боевого оснащения баллнстические производные полагались постояннымн. Эта схема, как отмечалось, дает удовлетворительную точность решения задачи разведения прн малом времени, затрачиваемом на сообщение отделяемому элементу требуелюго приращения скорости, в частности, при отделеннн ложных целей. Однако прн разведении боевых блоков необходимые приращения скорости набираются путем разгона всей ступени разведения, вследствие чего изменяются координаты и время отделения очередного ББ.
По этой причине изменяются также баллистические производные н ориентация осей баллистических систем координат. Рассмотрим вывод соотношений, с помощью которых может производиться оперативный пересчет баллнстических производных н направлений осей баллистических систем коордшит, соответствующих положению и скорости ступени разведения на момент отделения очередного ББ. Зависимости баллистнческих производных от текущих параметров движения ступени разведения, которые далее обозначаются вектором д, выразим следующим образом: 454 Ь = 1 [дЯ,л), Т = Т,(Ч(с),4, В = ВДЯД).
(4.27) Заметим, что здесь мы рассматриваем полную совокупность баллистических производных, включающую как скоростные, так и координатные производные. Изменение вектора параметров состояния ч(~) ступени разведения в процессе ее движения описывается следующей системой дифференциальных уравнений в абсолютной стартовой системе координат: (4.28) Запишем уравнения (4.28) в векторной форме: ч = У(ч.й), (4.29) где Ч-(г, Р) - вектор параметров состояния; В Й'- вектор управления (кажущееся ускорение СР). Вектор-функцию правых частей уравнения (4.29) представим в виде двух слагаемых: У(ч й) = Д(ч)+Ул(й). (4.30) аь аЕ а1,, - аь, ч — = ='Ка У,(й)1 — '. Ф ач аз ач ' л ас' (4.31) 0Е где -х — матрица баллистических производных второго порядка.
дч 455 где У,(ч) = (л'„, $;, к„я„яу,я,)' зависит только от параметров состояния и не зависит от силы тяги;Ул(я) (0,0,0, И'„, И'„, И;)' зависит только от силы тяги. Приступим к записи дифференциальных уравнений для баллистических производных, образующих вектор Е., (для Т, и В, все последующие выкладки и результаты идентичны).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
