Разоренов Г.Н., Бахрамов Э.А., Титов Ю.Ф. Системы управления летательными аппаратами (2003) (1246774), страница 102
Текст из файла (страница 102)
В случае применения высокоточных измерителей возможно определение градиентов ускорения силы притяжения. 4. Инерциальиые измерительные приборы не позволяют измерять действительные параметры поступательного лвижения объекта навигации (действительное ускорение, действительную скорость). 5. Инерциальные измерительные приборы не позволяют измерять начальное положение и начальную скорость объекта навигации. б.
Инерциальные тпмеритетььные приборы не позволяют измерять величину ускорения силы притяжения Земли вне точек земной поверхности. 7. При измерениях на поверхности Земли инерциэльныс измерительные приборы позволяют определять ускорение сизы тяжести. В случае отсутствия данных о начальном положении н начальной скорости объекта навигации измерительная информация об ускорении силы тяжести неотличима от информашш об ускоренном движении объекта навигации под действием поверхностных сил. Литература к Приложению 2 1. Боньтквбов А.Н. историк механики мвинн.
Енсв. Нвьковв думки. 1964. 46!с. Л Нньтннскня л.Ю. Мсхвннкв относительного звнжснни н снкы мисрами. М.. Наука, 1981. 191 с. 552 Лебедев А.А., Герапота Н.Ф. Баллистика ракет. Мд Мшииностроснне, 1970. 244 с. Матаеев АН. Механика н теории отиоситсльиости, Мд Высшая школа, 1976. 416 с. Николаи ЕЛ. О начате Лаламбера н о силах инерции ( В кн, "Труды по неханике". ИТТЛ, 1955. С. 406-418. Нынтон И. Математические начала натуральной философии, пер. с лат.
( См. Крылов. Собраниструлов. Т. тН. М,-Л., 1936. Севов АИ. О силах и корпии(В ки. "Об основных нолаюх в механикс". Мд Нзл. МГУ, С. 6-17. Хайкин С.Э. Силы ииерннн и невесомость, Мд Наука, 1967. ЭйшнтейнА„ИнфачьлЛ. Эвошоши физики, пер.
с англ. (См. А.Эйнштейн. Собрание зих трупов, Т, 4, Мд Наука,1967. - 76,4 ПАРАМЕТРЫ ОРИЕНТАПИИ ЛА. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ Введение В механике и в теории управления применхются следующие совокупности параметров ллх описания ориентации и вращательного движения твердого тела: ° угловые параметры, ° элементы матриц направляющих косинусов, ° параметры Родрнга — Гамильтона, ° параметры Кейлн — Клейна. Каждой нз этих совокупностей параметров присущи свои достоинства и недостатки. Описание ориентации тела в угловых параметрах требует минималь.
ного числа переменных — трех углов, что совпадает с числом степеней свободы твердого тела ао вращательном движении. Олнако любая система угловых величин при определенных их значениях вырождается, вследствие чего решения кннематическнх уравнений вращательного движения в окрестности этих особых точек неустойчиво, а в самой особой точке правые части этих уравнений обрашаютсх в бесконечность.
Кроме того, интегрирование кииематических уравнений в угловых переменных требует вычисления тригонометрических функций, что предъявляегдополнительные требования к оыстродействию бортовой ИВЫ. Применение в качестве параметров ориентации направляющих косинусов приводит к избыточному числу переменных — девяти элементам матрицы направляющих косинусов, которые подчинены шести условиям связи. Зтн параметры ие вырождаются при любых положениях твердого тела. Хотя независимых параметров здесь такясе три, прн решении кинематическнх уравнений требуется интегрировать систему ихдевяти дифференциальных уравнениГь Данныйнедостатоккииематнческнх уравнений в направляющих косинусах компенсируется их линейностью и отсутствием особых точек, что позволяет применять эффективные методы интегрирования линейных дифференциальных уравнений.
Параметры Родрига — Гамильтона представляют собой систему нз четырех параметров, подчиненных одному условию связи. Эти параметры также не вырождаются прн шооых положениях тела, а 554 кинематическне уравнения вращательного движения содержат только четыре дифференциальных уравнения, которые линейны и не имеют особых точек.
Таким образом, с точки зрения удобства решения кинематическихуравнений параметры Родриго †Гамильто обладают безусловными преимушествами перед угловыми параметрами и направляющими косинусами. Однако в тех случаях. когда алгоритмы управления требуют применения угловых параметров ориентации или направляющих косинусов, вычисление этих величин через предварительно найленные параметры Родрига- Гамильтона а~ожет оказаться менее предпочтительным способом решения задачи, чем непосредственное нх определение путем интегрирования соответствующих кннематических уравнений. В настоящем Приложении содержится краткий обзор перечисленных параметров ориентации и дан вывод кинематических уравнений. Поскольку параметры Кейлн — Клейна алгебралчески эквивалентны параметрам Родрига — Гамильтона и приводят к аналогичным по структуре кинематическим уравнениям, названные параметры здесь не рассматриваются.
Определение этих параметров читатель может найти в монографии Щ, ПЗ.1. Угловые параметры ориентации Среди систем угловых величин наибольшее применение получили: ° классические углы Эйлера (прецессии, нутации, вращения), корабельные углы Крылова (курса, дифферента, крена), ° самолетные углы (рыскания, у хеа тангажа, крена). у М Все угловые величины принято объединять общим названием углов Эйлера.
Перечисленные х, системы углов различаются толь- ю~ ьу 'г ко схемой нх введения и приводят Х к одинаковым по структуре кине- Р Лсл магическим уравнениям. г1 l Рассмотрим самолетные углы, у употребляемые при описании вращательного движения лета- г т', / тельных аппаратов. Схема введе- сЯЕ Еу ния этих углов 'показана на рис. ПЗ.!. Здесь через ОХеауеаЕ, Рне. пэл. саноаагные углы (еыенання. таяпгка, арануенняу 555 обозначены оси инерциальной системы координат, в качестве которой применена абсолютная стартовая система координат; ЯХ, Г12, — оси связанной с объектом системы координат; ~у, 6, т — углы рыскания, тангажа и крена. Схема введения углов определяется последовательностью поворотов осей подвижной системы координат ГХ~Р~Я, из начального положения, совпадающего с осямн ОХ„Г„Я„.
Первый поворот осуществляется вокруг оси у„на угол ~у, второй йоворот на угол 6 вокруг оси Я', третий поворот на угол у вокруг оси Х,. Угловые скорости указанных поворотов изображены на рис. ПЗ.! векторами 1вт Рассмотрим вращательное движение объекта с угловой скоростью й. Кннематические уравнения вращательного движения устанавливают связь между производными углов в, 6, т и проекциями вектора м на оси подвижной системы координат. Обозначим эти проекции и,, и, ы, . Для вывода кннематических уравнений выразим величины в., ме, ы, через проекции векторов ф, о, т на одноименные оси.
Из рис. П3.1 имеем: ы, т + фмпз, (ПЗ 1) ы„ = 6зшт + ~усозйсозу, ы 6созт - фсозФзщт. и Разрешая данные уравнения относительно производных в, 6, т, получаем линеиатичеекие уравнения Эйлера: т = ы, - 1йб(ы„созт - ы, зшт), (П3.2) Ф ы з)пт + ьз созт, и и ф в (я сову ы япт). 1 созз и 556 Данные уравнения нелннейны и имеют особенность прн О = —" + 2 + !сп, й = О, 1.... Для сравнения на рис. П3.2 показана схема классических углов Эйлера. Здесь первый поворот подвижной системы координат осуществляется вокруг оси Х„ на угол прецессии Ч, второй поворот вокруг оси )" на угол иугации О, третий поворот вокруг оси Х! на угол собственного вращения ср. Кииематичесхие уравнения Эйлера имеют в данном случае следующий вид: Рнс.
ПЗ.2, Клесснееснне утлм Эйлера (нута. нын. нренесснн, арашеннн) ф ьте С1$6(ьт Зщф е ет созср), О= р- ° а!и~, У~ т, (ПЗ.З) Ч ° (ст мл9 н ьтт соаср) 1 а!л О Ч Эти уравнения имеют особенность при 8 = +йя„А. = О, 1.... Преимущество самолетных углов при описании вращательного движения ЛА заключается в том, что в случае малых отклонений ЛА на углы !Мр, Щ бт от начального положения, определяемого углами Ое -" = Ое = уе = О, уравнения (П3.2) не вырождаются и превращаются в уравнения; Ау н ьт, Лср н ьт, ЬЬ н ьт, е е Ус' т1' (ПЗ.4) описывающие три независимых вращения относительно трех осей.
В отличие от зтого первое н третье уравнения (ПЗ.З) вырождаются при Ое = О, что создает неудобства применения классических углов Эйлера для описания вращательного движения ЛА. П32. Параметры ориентации в анде элементов матриц направляющих косинусов СОЗ(»» е») СОЗ(»»' $2) СО$(»» ез) СОЗ(~, е,) СОЗ(»2, ез) СОЗ(»2, ез) соз(»з, е,) соз(»2, $2) сОЗ(12, ез) Ахе (П3.5) С помощью матрицы Ал е устанавливается связь между проекциями произвольного вектора г на базисы 1 и Е по формуле гт = Ат е"е. (ПЗ.б) Здесь через г и г» обозначены вектор-столбцы, образованные проекциями вектора Р на оси подвижного и неподвижного базисов: г » (П3.7) ге = Таким образом, матрица Ай е может рассматриваться как матрица линейного преобразования, связывающего компоненты вектора Р в двух различных базисах. Рассмотрим базисы Е» и Ез и применим формулу (ПЗ.б) для проекций вектора Р на базисы 1 Е, и Ез..
558 В дальнейшем для удобства обозначений будем полагать, что с осями инерциальной неподвижной системы координат связан ортогональный базис 1, заданный единичными векторами»», »2»з, а с осями подвижной (вращающейся) системы координат связан ортогональный базис Е, заданный единичными векторами е,, ез, СЗ. Рассмотрим матрицу направляющих косинусов, определяющих ориентацию осей подвижного базиса Е относительно осей неподвижного базиса 1.
Матрицу направляющих косинусов будем называть также матрицей ориентации. По определению матрица направляющих косинусов имеет вид: г=А ге, Р =А г (П3.8) гт = Але,Ае,,е,ге, гт = Апет"е,. Из последнего равенства получаем Ахе, = Ахе,Аеое, (П3.9) Асе = АФ Аз'Ат (ПЗЛО) созФ -зш0 0 созф 0 йтф 0 ! О йъб созО 0 0 0 ! ! 0 0 0 сову -з!пу 0 з(пу сову А т Данные матрицы определяются общей формулой (П3.5) для последовательных поворотов подвижного базиса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
