Разоренов Г.Н., Бахрамов Э.А., Титов Ю.Ф. Системы управления летательными аппаратами (2003) (1246774), страница 105
Текст из файла (страница 105)
Итак, кватерниои, компонентами которого являются параметры Родрига — Гамильтона, имеют равные компоненты в двух системах координат вследствие того, что именно этим кватериионом определяется переход от одной системы координат к другой. Такой кватернион называется собствеллъш кватерниоло11 преобразования вращения, Ниже мы воспользуемся этим понятием. Сравнение формул (ПЗ.6) н (ПЗ,62) показывает, что они описывают одно и то же ортогональное преобразование, выраженное в матричной и в кватернианной форме. Отсюда нетрудно установить связь между элементами матрицы направляющих косинусов АА л и параметрами Родрига- Гамильтона.
С этой целью воспользуемся формулами (П3.47) и (ПЗ.63), перемножим кватернионы 1е и А по формуле (П3.62) и приравняем компоненты произведения одноименным компонентам кватерниона г1. В результате будут получены соотношения межлу пРоекЦиЯмиг,, 1,, г1 ипРоекЦиЯмигч, гь, гь.ЗаписавэтисоотиошеннЯ в матричной форме (П3.6), получим искомую связь, выражающую элементы матрицы направляющих косинусов Ат е через параметры Родрига-Гамильтона: Лз ' 2 з азг агз. ~зз озз. "гз ~~г 4хз 4хо 4лз Полччениые выраження двузначны, так как наряду с кватернионом (ПЗ.56) то же самое вращение описывает кватернион (П3.68) -Л ~ соз я — -~ + (-с)язп и г)' задающий вращение на угол 2и- 0 вокруг оси -(, т.е.
в обратную сторону. Установим связь между параметрами Родрига- Гамильтона и углами Эйлера. Для зтого надо записать кватернионы, выражающие последовательные повороты подвижного базиса на углы Эйлера и путем их перемножения найти кватернион результируюшего поворота. Рассмотрилз самолетные углы и обозначилз через Л, Ле, Л кватернионы посяедовательных поворотов.
В соответствии с (П3.60) кватернион результирующего поворота определяется форлзулой Х Л Лзл з з з' (П3.69) Однако вычисление компонент кватерниона Л по формуле (П3.69) неудобно, так как компоненты второго поворота Ле надо выражать через орты неподвижного базиса с учетом предыдущего поворота на угол ф, а компоненты третьего поворота Л„должны быть выражены через углы ф и О. Вычисления можно упростить, если применить собственные кватернионы преобразований вращения.
Обозначилз собственные кватериионы звездочкой и воспользуемся следующей теоремой, доказательство которой дано в [Ц. Т~орвзш ПЗ.2. Пусть Л и М вЂ” собственные кватернионы двух последовательных поворотов. Тогда кватерннон результирующего поворота ззз определяется путем перемнохсеиия ьватернионов Л и М, причем в отличие от формулы (П3.60) сомножители берутся в обратном порядке: (П3.70) В соответствии с данной теореззой формула (ПЗ.69) приззет вид: (П3.71) л=х л х,. 574 Удобство применения формулы (П3.71) заключается в том, что собственныекватернионывыражаются через проекции вектора поворота на базис, преобразуемый этим кватернионом, путем формального совмещения единичных векторов 1н 1п 1з неподвижного базиса с ортам н базиса, преобразуемого этим кватернионом.
Обратимся к рнс, ПЗ.! и отождесгвим оси инерциальной системы координат с неподвижным базисом 1, а оси связанной системы координат-с подвижным базисом Е. В соответствии с общей формулой (П3,56) собственные кватернионы, описывающие повороты на углы ф, б, т, имеют вид: Л =сов-+1звщ-, Л',=сов-+1эвщ-, Л =сов-+Чвщ~. (ПЗ.72) в.б..б ° т $2 2 ° 2 2 ° т 2 Перемножим кватернионы (П3.72) по формуле (П3.71) и прправняем компоненты произведения одноименным компонентам кватерниона результирующего поворота Л = ЛО+ Л1 1~ + ЛЛ12 + Лз(з. В итоге получим следующие формулы, выражающие параметры Родрига- Гамильтона через самолетные углы: Ле = сов-~-сов — сов-'- — $1л-~ вщ — вщ 2 2 2 2 2 2 Л, = сов~сов — $1п- + вщ-вщ-сов-, б т Ф ° б т 2 2 2 2 2 2 (П3.73) Лт = вщ-сов-сов- + сов-вщ — вщ-, б б т ф.
б. т 2 2 2 2 2 2 Лз = сов-т.в[п сов — - вщ сов вщ — ° б т ° Ф б ° т 2 2 2 2 2 2 Перейдем к выводу кинематических уравнений вращательного движения твердого тела в параметрах Родрига — Гамильтона. Пусть кватернион Л описывает движение подвижного базиса Е относительно неподвижного базиса $ с угловой скоростью м. Рассмотрим собственные кватернионы Л ($) и Л (1+ Ь|) двух последовательных положений базиса Е в моменты г и г + Ьп Через ЬЛ (г) обозначим кватернион малого поворота за время бп Таким образом, в соответствии с теоремой ПЗ.2 справедливо равенство: (П3,74) Л (е + дг) Л (9 дЛ'(!).
ДЛ Ф! + — 9 — =! - — юли, я Ь| 1 !й! 2 2 (П3.75) где ыл- кватерннон-отображение вектора о на базис Е, выражающийся следующим образом: ~я ~~а,г~ ы~~~2 ~е,Ь (П3.7б) Из формул (П3.74) и (П3.75) имеем Л'(г+ Ь!) - Л'(с) ! и! 2 Перехоля здесь к пределу при Ьг - О, получаем кинематнческие уравнения вращательного движения, выраженные в кватернионной форме: а Леьъл, ИЛ 1 й 2 (П3.77) где — -производная ьватерниона Л = Л,получаемая какрезультат его ~И Ис покомпоиентного дифференцирования в неподвижном базиссс ЫЛ вЂ” + 1~1~ ~ Лзюз ~ Лз!з ° А' (П3.73) Если вектор угловой скорости м выразить в проекциях на оси неподвижного базиса 1, то кинематические уравнения вращательного движения тела будут иметь вид: 576 Найдем выражение для кватерниона ЬЛ .
Вследствие малости Ьг ось поворота мало отличается от направления вектора е ~, а угол !й! поворота мал, позтому люжно принять соя — 1, зш — -мАа Таким ьв . дв 2 2 2 образом, в соответствии с формулой (П3.56) кватернион малого поворота выражается формулой сИ 1 — о!у о уг. !(1 2 (П3.79) 24! = "оыя, ' Угзыг! Азову! ° (П3.80) 2 у'О у ! я ! "тг > 2~3 = 2оыя + 2!соя - Азыя. Как видим, кинематические уравнения вращательного движения в параметрах Родрнга - Гамильтона линейны и не имеют особых точек. Они подчинены одному условию связи (П3.65), определяемому свойством нормированности кватерниона вращения. Аналогичные уравнения для случая проектирования вектора угловой скорости на оси неподвижного базиса нетрудно получить из (ПЗ.79).
Литература к Приложению 3 1. Браиен Б.Н Шмыглевскн» И.П. Применение кватерннонов в тала чая ориентални твердого тела. М.; Наука, 1978. 329 с. 2. Бивтмен Р. Введение в теорию матрена М.! Наука, 1969. 367 с. 3. Кантор НЛ., С юолоанвкпв А С. Гиперкомплексные числа. Л1д Наука, 1973. 144 с. 4. Парс Л,А. Аналитическая динамика, Мд Наука. 1971. бзб с. 5. Раяоренов Г.Н. Формулм векторно-матричного дифферснинровения.
Мд Итд. МО СССР. 1938. 36 е. Формулу (ПЗ.79) можно получить, если для проектирования кватернионов использовать общий базис 4 н воспользоваться формулой перемножения (П3.60). В заключение запишем кинематическне уравнения вращательного движения тела непосредственно в параметрах Родрига — Гамильтона. При этом, как и в уравнениях (П3.2) и (ПЗ.ЗО), компоненты вектора угловой скорости в проекциях на оси подвижного базиса обозначим и„, ы„, ог,, Приравнивая покомпонентио правую и левую части выражения (П3.77) с учетом формул (П3.76) и (П3.78), получаем ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие . Список сокрашений РАЗДЕЛ 1 ОБШИЕ СВЕДЕНИЕ О СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ РАКЕТ И ГОЛОВНЫХ ЧАСТЕЙ Г л а в а1.1.
ОБЩИЕ ПРИ НПИПЫ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ 20 з2 25 ь 29 .. 31 Гд а в а 1.2. БАЛЛИСТИЧЕСКАЯ РАКЕТА И ЕЕ ГОЛОВНАЯ ЧАСТЬ КАК ОБЪЕКТЫ УПРАВЛЕНИЯ 38 1,2.1. Особенности баллистических ракет, траектория их полета, констр)ктивные схемы 1.2.З Срела полста, силы и моменты, воздейств)зошис иа БР и ГЧ .. 1.2.3. Управляжшис силы и моменты. Органы управления,... 1.2.4. Стр)стуре уравнений авияссиия БР и ГЧ в схеме твердого тьха переменной массы !.".ь5.
Управляемость БР и ГЧ . 1.2.6. Маневренность, поворотливость и стаб!аизируечость БР и ГЧ 1.2Л. Мансвренношь управляемых боевых блоков ............... 38 49 60 . 76 89 !02 107 Г л а в а !.3. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ РАКЕТ И ГЧ . 114 !.Зд. Опрсдатсние системы управления,......,........... 1.3.2 Фун квин систем управления и решаемые ею задачи 1.3.3 Принпипы построения снстси управления движением БР 1.3.4.
Принпипы построения систем управления боевых блоков 114 116 !22 133 578 И ПОСТРОЕНИЯ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ПОЛЕТОМ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ 1.1,1. Исхадиыс понятия теории управлеиив....,.....,....,...,....... 1,1.2. Роль н место лрннпилов как осиоволодагшоших конпептульвых поаожсинй в науке н технике 1Я,З. Прнипип обратнод связи, 1Л.4, Приипипы пелснвправлениого возаействия иа состояние объекта прл управлении его лвижсниеи 1,1.5. Принпип лскомпоз илии (раздслеяня) сложных задач в совокугност залач меньшей сложности 1.1.6. Принлнп управления по схеме "наведение-стабилизашш !.1.7. Приипип независимого (развязанного) управления ............,... 13.5. Пока!отели качества систем управления 136 ЛИТЕРАТУРА К РАЗДЕЛУ! 155 РАЗДЕЛ П ИНЕРЦИАЧЬНЫЕ НАВИГАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ БАЛЛИСП1ЧЕСКИХ РАКЕТ И ГОЛОВНЫХ ЧАС! ЕЙ ВВЕДЕНИЕ Гл а в а 2.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
