Разоренов Г.Н., Бахрамов Э.А., Титов Ю.Ф. Системы управления летательными аппаратами (2003) (1246774), страница 103
Текст из файла (страница 103)
Перемножая эти матрицы по формуле (ПЗ. !0), получаем матрицу А~ е. А созвсозф зшфйпу-вшйсозфсозу зшфсозу+вшпсозфз!пу мп0 созесозу -созвз!пу -созОзшф созфз(пу+зшбзшфсозу соз$созу-зЬЮзшфзшу (ПЗ.! !) Проверим известный факт, что матрица направляющих косинусов ортогональна. Из формулы (ПЗ.б) вытекает формула обратного преобразования: 559 что выражает известное свойство перемножения матриц последовательных линейных преобразований. Воспользуемся формулой (П3.9) для вычисления матрицы направляющих косинусов дпя схемы самолетных углов. Эту матрицу нетрудно вычислить как произведение матриц А, Ае, А„, описывающих последовательные повороты подвижного базиса Е на углы ф, О и у: -$- Ге Алягг, (П3.12) Обозначим обратную матрицу АД как Аял и перепишем формулу (П3.12): гя = Аля.
По смыслу своего определения матрица А~ е имеет вид: (П3.13) соз(е„Е,) соз(е„Е,) соз(е„Ег) соя(ег, Е,) соз(ег, Е,) соя(ег, гг) саз(ег, Е,) соз(ез, Е,) соз(ез, Ез) (П3.14) т Ася'Асе (П3.15) где Е-единичная матрица. Таким образом, матрица Ае лудовлетворяет равенству (ПЗ.! зЕ, которым и определяется свойство ее ортогональности (см, (2)). Очевидно„что матрица обратного преобразования Ае е также ортогональна, Матричному условию ортогональности (ПЗЛ5) соответствуют скалярные условия ортогональности. Для записи этих условий обозначим элементы матрицы Ае е через а . лн ом а~г лм агг ам лг~ огг огг (ПЗ.! б) Из равенства (ПЗЛ5) вытекают следующие равенства для элементов матРицы Ае д. г Ха„'=1, 1=1,2,3, Е г (ПЗ.! 7) 560 Сравнивая выражения (ПЗ зг и (П3.14), убеждаемся, что матрица Ад е полУчаетсЯ тРанспониРованием матРицы Ае д, т.е.
спРавелливо Равенство А,~е А, ' . Это равенство перепишем следующим образом; 3 ~ала, =О, 1,(!=1,2,3; з~(с. ! ! (ПЗА8) э 2. а„, = 1, ! ~ 1, 2, 3, ( ! (ПЗ.19) з 2, а! а,„= О, з, 7с = 1, 2, 3; !' я /с. ,, 0 (П3,20) Если интерпретировать столбцы лзатрицы Аз е как векторы, то равенства(ПЗЛ9) означают нормированность этим векторов, а равенства (ПЗ.20) - их попарную ортогональность.
Таким образом, строки и столбцы ортогональной матрицы образу!от системы ортонормированиых векторов. При этом равенства (П3.19), (П320) являются следствиел! равенств (ПЗ,17), (П3,18) и поэтому не накладывают дополнительных условий связи на элементы матрицы направляющих косинусов. При вращении объекта с некоторой Зтловой скоростью ьз элементы матриц направляющих косинусов Ая л и А~ ! изменяются.
Составим дифференциальные уравнения для злеьзентов этих матриц. С этой целью воспользуемся матричным равенством (ПЗ б). Будем считать, что вектор г постоянен и, следовательно, его полная производная по врелзени равна нулю. Продифференцируем обе части выражения (П3.6) по времени и с учетом постоянства вектора г подучим 0 А, г А .г. (П3.21) 561 Если интерпретировать строки матрицы А! е как векторы, то равенства (П3,17) означают нормированность этих векторов, а равенства (П3.18)- их попарную ортогональность. Из шести равенств (П3.18) независимыми являются только три равенства, так что в целом условия ортогональности (ПЗЛ 7) и (П3.18) определяют шесть независимых условий связи, которым подчинены элементы матрицы направляющих косинусов.
Из равенства (П3.15) следует, что определитель матрицы направляющих косинусов Аз лравен единице. Однако зто условие связи не является иезависимьш и вытекает из равенств (П3.17), (П3.18). Матричное условие ортогональности (ПЗ.15) матрицы Аял может быть записано так же в эквивалентной форме, как Ася Ае = Е. откуда вытекают равенства: Здесы. есть локальная производная вектора Р в подвижном базисе. Для вычисления этой производной воспользуемся формулой связи между полной и локальной производными вектора р: (П3.22) Запишем векторное равенство (ПЗ 22) в проекциях на оси подвижного базиса Е, С учетом равенства — = 0 получим ер А рл = -(~Ъ'гя). (П3.23) Найдем проекции векторного произвелення (о к > ) иа оси подвижного базиса, воспользовавшись известной формулой представления векторного произведения с помошью определителя: е, ез ез явхге ое1 и и и т ~ г ю г 1 1 3 (П3.24) Представим компоненты векторного произведения (П3.24) в матричной форме: г ч (П3.2Я Я и 562 ыс гс ыс ~с по пп ыс гс ыс г» о и ч пгп ~пгп ы, 0 и ыю ыс и и Матрицу н правой части этой записи обозначим ()я.
О -я, и, о м, О -и, (Г13 26) -и, ы, О Матрица()я носит названиезяпприцы арпи(елий В данном случае оиа выражена через проекции вектора угловой скорости ни оси подвижного базиса. Теперь векторное равенство (П3.23) можег быть записано в матричном виде; гя = -Йлря. (П3.27» Возвращаясь к выражению (П3.2 1), перепишем его с учетом (П3.22): А, еР. = А~ еЦгя. В последнем уравнении Агя матрица невырожлена, поэтому это уравнение можно сократить на ненулевой вектор ре: Ася = Алая. (П3,28) и~1 о1з г»!з ! Л,я= и дзз и„. 1 ам л„ а„ (П3.2Р) Из матричного дифференциального уравнения (П3.2Я) нетрудна получитьсоответствуюшиеднффсренциальнысуравнениягячяэлементов матрицы А я я, Для удобства сопоставления пол) чаемых ниже кииематических уравнений с кииеиатическими уравнениями Эйлера (П3.2) далее компоненты вектора угловой скорости в проекциях на оси подвижного базиса обозначаются и,, ин, и, .
Перемножая матрицы Ат, и 12е и 5бЗ Итак, нами получено дифференциальное уравнение, описывающее изменение матрицы направляющих косинусов Ат при вращении тела с)тловой скоростью й. Здесь под А, понимается иатрица, образованная производными се одноименных элементов: приравнивая одноименные элементы правой и левой частей выражения (П3.28), получаем: ~з1»змез» - амезз, дц -" а ез - а ьз 13 ч + иззу» ° зззз из~»е Ф а ы ° 13 ~3!~з' ~!зез»ззз а ез ~зз~ (ПЗ.ЗО) з~ — иззы, - аззьз„» "зз = -аз с», аззез,, "зз = изчез„, - аыы„. Ае'е = (ЗеАс'е.
учтем здесь свойство кососимметричности матрицы вращений, ззе = = -Од, после чего уравнение Пуассона для матрины Ад з запишется в виде Ае,е = ОеАе,г (ПЗ.З!) Отсюда нетрудно получить скалярные дифференниальные уравнения для элементов матрицы Ад л аналогичные уравнениям (ПЗ.ЗО). 564 Дифференциальные уравнения (ПЗ.ЗО), как и матричное уравнение (П3.28), носят название кинелатических урпеиений Пуассона В отличие от кинематических уравнений Эйлера уравнения Пуассона линейны и не имеют особенностей. Они подчинены шести условиям связи, которыми определяется свойство ортогональностн матрицы направляющих косинусов. Изднфференциальи ого уравнения (ПЗ.28) для матрицы Агд нетрудно получить аналогичное уравнение для матрицы Аде Воспользуемся тем, чтоматРицаАдгРавнатРанспониРованной матРицеАде,ТРанслониРУЯ матричноеуравненне (П3.28), получаем Матрица вращения может быть выражена и через проекции вектора угловой скорости на оси неподвижного базиса: О -ч, ы, ы О -ы О (ПЗ.З2) -ы ы О В этом случае уравнения Пуассона для матриц Аг д н А~ ~ примут вищ: Аал ()тАся (ПЗ.ЗЗ) Аг = -АвРг (П3.34) Эти уравнения можно получить, если учесть, что матрица вращений при переходе от подвижного базиса к неподвижному преобразуется по формуле (ПЗ.35) ф = АаеА',а+ АсаАг;л.
С учетом уравнения Пуассона (П3.28) далее имеем: (ПЗ.Зб) Ф = Асв(2аАге - А, еаеА1е, - О. 565 Доказательство формул (ПЗ.ЗЗ) — (П3.35) предоставляется читателю. На практике наибольшее употребление получили уравнения Пуассона (П3.28) и (ПЗ.ЗО), где матрица вращений выражена через проекции вектора угловой скорости на оси подвижного базиса, так как в БИНС компоненты вектора угловой скорости измеряются с помощью ДУС в связанных осях, Проанализируем свойства решений уравнений Пуассона. Проверим, что при теоретически точном решении этих уравнений свойство ортогональности матриц направлякнлих косинусов сохраняется.
Для этого рассмотрим матрицу р - А, Л,'г и запишем дифференциальное уравнение, которому она удовлетворяет: Полученное уравнение в = О показывает, что матрица ф постоянна, ф = С. Это означает, что если при решении уравнений Пуассона матрица Ал л® в начальный момент времени ортогональна, т.е. ф(~е) и Е, то в последующие моменты ф(г) = Е, т.е.
матрица АЛ (г) сохраняет свойство ортогональности, Таким образом, уравнение (П3.36) означает, что условия связи (ПЗ,! 7), (ПЗА8), которым подчинены элементы матрицы направляющих косинусов, представляют собой первые интегралы уравнений Пуассона. Прн решении уравнений Пуассона матрица Аде может терять свойство ортогональностн вследствие погрешностей численного интегрирования. В связи с этим применяется процедура исправления элементов матрицы направляющих косинусов с целью ее ортогонализа* пни.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
