Разоренов Г.Н., Бахрамов Э.А., Титов Ю.Ф. Системы управления летательными аппаратами (2003) (1246774), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Данная процедура прелус матра вает определение такой ортогональной матрицы, которая наиболее близка к матрице Агг по критерию минимума суммы квадратов разностей одноименных элементов этих матриц. Найдем выражение для указанной л~атрицы. В дальнейшем матрицу, искаженную ошибками численного интегрирования уравнений Пуассона, будем обозначать А, а искомую матрицу обозначим через Х, По постановке задачи матрица Хортогональна, (ПЗ.З7) Х'Х=Е, и удовлетворяет требованию минимальности величины (П3.38) Для определения матрицы Х необходимо решить задачу на экстремум функции (ПЗ.З8) при условии (П3.37).
Скалярную функцию~выразим в л<атричной форме: (П3.39) ~ = Ер(А - Х)(А - Х7, где Юр означает след (сумму диагональных элементов) соответствующей матрицы. решим данную задачу на условный экстремум, воспользовавшись методом неопределенных множителей. Запишем функцию Лагранжа: Е = Ер(А - Х)(А - Л)т ЮрЛ(Х'Х вЂ” Е), где Л - матрица неопределенных ьшожителей. Яанная матрица симметрична, так как матрицы Х "Х и Е симметричны. Запишем далее необходимое условие экстремума функции Е: о, = -2(А - Л') + ЗЛ'Х' = О, ОЛ воспользовавшись правилами дифференцирования скалярных функций по матричному аргументу (см.
(5)).Транспонируя полученное выражение и опуская множитель 2, имеем: -А Х ХЛ=О, А=Х(Е Л). (П3.40) Умножим послелнее равенство на Л" и учтем условие ортогональности (П3,37). Из полученного уравнения выразим матрицу Л'. Х А=Е'Л, А Х=Е Л, Х=(А ) '(Е Л), (П34!) Подставляя найденное значение Х в (ПЗАО), находим матрицу Е+ Л: (А т)-~(Е. Л)з 4 ~А (Е+ цз Е ~ Л = (А -А) з. (ПЗА~) После этого из (П3.41) получаем окончательное выражен не для искомой матрицы Х: (П3.43) Х в (4 г)'1(А тА) 2 Наряду с этим матрица Х выражается также следуьэщими формулами, вывод которыя прслоставляется читателк~ в качестве упражнения: ! 1 ! 4(АтА) 2 Х (А ( т) 2 ~ Х (АА т)2(4 т)-1 (П3.44) Применение формул (П3.43) и (ПЗ.44) требусг извлечения квадратного корня нз матриц .4'.4 и АА', Рассмотрим данный вопрос иа примере матрицы А'А. Данная матрица симметрична и невырождена.
откуда следует се положительная опрелелсниость. Для извлечения квадратного корня из этой матрицы следует привести ее к лиагональкому виду по 5б7 формуле (П3.45) 2) е тА тАе (по а О л' О о ог„ где Нл > 0 ввидУ положительной опРеделенности матРицы АтА. Квадратный корень из матрицы 23 представляет собой матрицу 2З '. Д, о о о ~У„о ! д2 о о,Щ где перед раднкалалш следует взять знак "+". Тогда матрица (А 'А)' определяется выражением: (П3,4б) (А тА) з е2у з е т ПЗ.З. Параметры Родрнга -Гамильтона Параметры Родрига — Гамильтона представляют собой компоненты кватерниона, описывающего вращение твердого тела.
Дадим определение кватерниона и рассмотрим некоторые его свойства. Под кватернионом понимается гиперкомплексное число вида Л = Лс + Л~(, Лз(з + Лз(з (П3.47) где Ле, Л н Лз, Лз- действительные числа; зм !з, 1з - мнимые единицы, для которых определены следующие правила умножения: 568 где б- матрица ортогонального преобразования, обеспечивающего диагонализацню матрицы АтА. Алгоритмы вычисления матрицы Я приведены, например, в (2$. Матрица 2З имеет вид Е Е =-!, г 1 Еггг ~ ° 3 Ез (ПЗ.48) Е'Ег=-Ег в,=(г, Ег Еэ 'з Ег = Ег в Ез ' Ег = Ее "з 'г (П3.49) Здесь значок "и' означает операцию кватернионного умножения.
В соответствии с(ПЗ 48) квадраты мнимых единиц равны-1, а формулы (П3.49) показывают, что попарные произведения мнимых единиц образуются по правилам перемножения базисных векторов трехмерного пространства. Числа Лв, Л,„Лг. Лз называются компонентами кватерниона, Мнимые единицы Е~, Ег, Ез можно интерпретировать как орты трехмерного пространства. В зтом случае кватернион представим в виде суммы скалярной и векторной частей: Ло = зФЛэ ЛА + Лггг + Лз'г чесгЛ.
Л М=Л,Р -Л,Р,-Л Р -Лгйг+Лв(гг,Е,+Рг(г+Рггг) Ее Ег Ег Лг Лг Лг . Ре Е~ Егг (ПЗ.ЗО) рв( ! Ег Мг Лзгг) Ввиду некомиутативности перемножения мнимых единиц умножение кватернионов также некоммугативно, т.е. произведение двух кватернионов зависит от порядка сомножителей, если только нх векторные части непропорциональны. Определим понятия сопряженного кватерниона н нор.иыквапмрниона, Кватернионом, сопряженным данному кватерниону (П3.47), называется 569 Таким образом, любой вектор трехмерного пространства может рассматриваться как кватерннон с нулевой скалярной частью.
Сложение и вычитание кватернионов производится покомпонентно по правилам сложения и вычитания обычных комплексных чисел. Перемножение двух кватернионов производится почленно с учетом формул(ПЗ 48) н (ПЗ 49), Если Ли М-два кватерннона, то их произведение может быть записано следующим образом: кватернион, определяемый выражением (П3.5! ) "а а~ ~и "я~а "з~я. Из формулы умножения кватериионов вытекает, что если У = А~И, то Ь' ЛЗ~Х, т.е. сопряженное произведение двух кватернионов равно произведению их сопряженных значений, взятых в обратном порядке.
Рассмотрим произведение кватерниоиов Л и Х, Поскольку векторные части кватерниоиов Х и Х отличаются только знаком, их произведение коммутативио. Это произведение называется нормой кватерниона А и обозначается как)Ц, (П3.52) Из формулы умножения (П3.50) следует, что И)И=Лс+Х,+Л (ПЗ.53) Нетрудно убелиться, что зх лг) 1 А Р1 М), т е. норма произведения кватернионов равна произведению их норм, Величина ~ц,')х) называется модулем кватерииона. Кватерниои, норма которого равна единице, называется нормированным.
Деление кватериионов определяется с помощью операции обращения. Кватернионом, обратным данному кватерниону А, называется кватернион А ' Х!р), для которого выполняется равенство: (ПЗ.54) Для нормированных кватернионов обратный кватернион совпадает с сопряженным. Рассмотрим тригонометрическую форму записи кватерииоиов. Любой кватериион (ПЗ.47) моясет быть предсгавлен в виде (П3.55) А = ~1~(соБО + 'зщО), гДе ( - ~ ~ ° з з з соса..
я~па„) ' з' Р! Формула (П3.55) обобщает известную фориулу представления обычного комплексного числа в тригонометрической форме, 570 Перейдем к вопросу применения кватернионов для описания вращения твердого тела. Предварительно напомним, что в соответствии с известной теоремой Эйлера любое вращение твердого тела может быть выражено как поворот тела вокруг неподвижной оси, проходящей через центр вращения, на некоторый угол (см, [4)), Упомянутую ось называют осью зйлерова поворота, Основанием для применения кватернионов к описанию вращения твердого тела служит следующая фундаментальная теорема.
Теореча П3.1. Пусть тело совершает конечный поворот вокруг некоторой оси на угол О, при этом некоторый вектор г, неизменно связанный с телом, изменяет свою ориентацию относительно инерциального базиса и переходит в вектор г'. Утверждается, что данный поворот тела может быть описан нормированным кватернионом: й ". 6 Л = соя- + Сяш 2 2 (П3.5б) где единичньпй вектор ( направлен по оси эйлерова поворота, а соответствие между векторами г и г ' выражается следующей формулой ортогонального преобразования г'=Л г4.
(П3,57) Доказательство теоремы приведено в [Ц. Рассмотрим два последовательных поворота, описываемых кватернионами Л и М, при этом (П3.58) Из формул (П3.57) и (П3.58) получаем г" = МеЛ~гюЛ~М, (П3.59) т.е. вращение Л и последующее вращение М эквивалентны одному вращению № определяемому формулой (П3.60) 57! В общем случае последовательность вращений Лм Лз, ..., Л„эквивалентна одному вращению Л„еЛ ~в... Л оЛи Формула(ПЗ.57) устанавливает соответствие мюкдудвумя векторами г и г' при преобразовании вращения. Однако с ее помощью можно установить соответствие между проекциями одного и того жс вектора на базисы У и Е.
При поворотах тела орты ен еп ез связанного базиса Е переходят из начального положения, которое можно полагать совпадающим с ортами гн (з, )з неподвижного базиса 1, в новое положение. Очевидно, что ортогональное преобразование (П3.57) определяет соответствие между одноименными ортами базисов 7 и Е по формуле (ПЗ.57): е„=Л я'„~Л, )с 1,2,3. (П3.6 1) Если теперь г, и Ря - вектор-столбцы вида (П3.7), то формулу преобразования (П3.57) можно записать в виде г Л гл Л, (ПЗ.62) где векторы гг н Е следует записать как кватернноны, выраженные в неподвижном базисе: гг = ~ю (ю + гс ~з + гк Гэ> гл = гс 6 + гс (з + ге Ь' (П3.63) Компоненты кватерниона вращения (ПЗ.56) можно записать в слелующем виде: е .е .е 8 Лс = сов —, Л, 4,з1п-, Лз = Сзмп —, Лэ 4ззш —, (П3.64) 2 2 2 2 572 где(н ~э, сз- пРоекции единичного вектоРа 6 на оси базиса Е Е1етрудно видеть, что эти проекции равны соответствующим проекциям вектора ( на оси базиса Е, поскольку поворот тела есть вращение базиса Е вокруг оси поворота, заданной вектором (.
Таким образом, компоненты кватерниона вращения одинаковы в исходном н преобразованном базисах. Это обстоятельство учтено в слелующсм определении. Олредеяекие. Компоненты кватерннона вращения в базисе, преобразуемом этим кватернионом по формулам (П3.6!) и заданные в форме (П3.64), называются параметрами Родрига — Гамильтона, Параметры Родрига- Гамильтона подчинены условию связи: Л,'+ А', + Л,'+ А,' = !, (ПЗ.65) Ло Л1 "А2-Лз 2(Л1Л2-ЛЕЛ2) 2(Л1Л2+ЛоЛ2) 2(Л1Л2+ЛЕЛз) Ло+Лз-Л,-Аз 2(Л2Лз-ЛЕЛ1) 2(Л,Лз-ЛЕА,) 2(Л2Л2+ЛЕЛ1) Аз+22 Л1 Аз (П3.66) 1(л е Найденные соотношения можно обратить и выразить параметры Родрига — Гамильтона через элементы матрицы направляющих косинусов. Воспользовавшись обозначениями абдля элементов матрицы А , получаем: 11п ' лж ' езз = ЗЛо А~ Лз Аз 4Ло 2 2 2 2 2 (П3,67) 573 определяемому свойством нормированности кватерниона вращения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
