Разоренов Г.Н., Бахрамов Э.А., Титов Ю.Ф. Системы управления летательными аппаратами (2003) (1246774), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Т -: . чр() х 3а„- — а,„. (3,299) (Т- г)2 т- г '* 3 Если в состав терминальных условий включить такхсе вторую производную ускорения, й;„л (7), то программу разомкнутого управления слелует задать полиномом четвертой степени: а„=с,ьсг сг ьсг +с42, г з (3.300) а программа замкнутого управления будет иметь следующий аид: 30(.„-.
(2)) 20)„„+ 10и.(г) (т- г)2 Т- г (3.301) + ба„, - (Т вЂ” г)л„, ~ — л,„. (т - г)2 Итак, нами получено семейство программ управления, обеспечивающих достижение заданных терминальных условий наведения хк и 1'„х. Читатель обратил внимание, что в то время как программы разомкнутого управления описываются иолинома и и различной степени, программы 396 такими объектами переход от одной программы управления к другой простым изменением коэффициентов в формуле (3.297), можно обеспечить реализуемость требуел2ых ускорений в более широком диапазоне начальных и концевых условий наведения, чеи при использовании одной программы (3.294).
Нетрудно замегигь, что путем дальнейшего расширения состава терминальных условий наведения можно получ2пь целое семейство программ управления, обеспечнва2ощих решение исходной задачи наведения, но задающих другие законы изменения требуемых ускорений, Продолжим рассмотрение программ этого семейства. 5. Расширим состав терминальных условий наведения, включив в их число нарялу с параметрами х„, 'г' „. и а,,к значение производной ускорения в терлипгш~ьпой точке, а„„= л„(г).
В этом случае программа ускорений залается в виде полинома третьей степени: нкнутого управления имеют одинаковую структуру. Если принять огра>«мууправления(330!) вкачествеосновной,тодругиепрограммы 294), (3.297) и (3.299) получаются из нее простым изменением эффициентов. В данное семейство естественным образом включается «рограмма (3289), обеспечивающая наведение при нефиксироваиной печной скорости. За>«ет««к«в заключение, что коэффициенты первых двух членов ссмотреиных программ замкнутого управления мо кно выразить общей >рмулой: «с«.ЗУс~(сз)(х„-х(«)) («с+кз) >'„„«2(к«1) Т~„(«) (Т-«)з Т-« «е «с — степень полинома, задающего программу разомкнутого «равлен««я. Число «с+ «совпадает с количеством терминальных условий «ведения, в состав которых входят концевые значения координаты х всех сс производных до А-го порядка включительно.
От>«ст««ь«, что ормула (3.302) справедлива только для частного случая, когда :кореиис и его последующие производные полагаются равными нулю терминальной точке. Предоставляем читателю в качестве упражнения проверить, что рограмма (3.302) обеспечивает достижение терминальных условий авсдсния х„и Ря„пр««любом целом числе к. До««оян«««««е.«ьное зг«««счание. Рассл«отр««м вопрос о целесообразности хлючения в состав терминальных условий наведения ускорения а„к и -о производных еше с одной точки зрения. В приведенной выше ормулировке задачи наведения время управления Т полагается иксированным и играет роль финитного условия.
Однако во многих здачах наведения ЛА (например, в рассматриваемой ниже задаче введения управляемого ББ) время управления не постоянно и изменяется ри действии возмущений. Вследствие этого на момент реализации шинтного условия (например, на момент достижения заданного начения высоты полета ББ) образуется погрешность времени управления Т. Данная погрешность приводит к соответствующим погрешностям :аведеиия б>гя и б~;„, которые следует отнести к классу метолических «огрсшностей наведения.
Связь погрешностей бхк и бг«к с погрешностью бТ может быть ,ыражеиа следующими зависимостями, вытекающими из формулы 3.278): Ьх„= У,„ЬТ+ — а,»ЬТ» - — а„„ЬТ' + ... + — аль>ЬТ» з, 2> «х 3! «» (!с 2) ! «е Ь>~,ь = а„„ЬТ+ — й,„ЬТ» « — й;»ЬТ « ...
» — а„а»ЬТ~', 2! " 3! *" - (й- !)! "" где й — степень полииома, задающего программу разомкнутого управления; а,„- производная степени й от ускорения иа момент Т. о> Анализ приведенных зависимостей показывает следующее: !. Ддя уменьшения погрешностей наведения Ьтк и Ь)~,х, вызванных погрешностью времени управления И; следует включить в состав терминальных условий наведения значения ускорения а«х и ряда его производных, положив их равными иувю.
2. Ввиду того, что при задании программы управления полииомом степени /с в состав терминальных условий наведения могут быть включены производные от ускорения только до степени )> — 2 включительно, значения минимально достижих>ь>х методических погрешностей наведения отличны от нуля и определяются зависимостями: (й + 1) ! ' (й + 2) ! Ь)г~ = — а>» >ЬТ» + а~ >ЬТ»'. «х к> «х ( !)> «» '>"акп» образом,для дальнейшего уменыиеиия указшшых методических погрешностей следует повышать степень полинома, зала>ощего програь>»>у управления. Аналогичным образом, при применении программ замкнутого управления.
описываемых об> цей формулой (3302), где терминальные значения ускорения и его производных уже приняты равными нулю, следует увеличивать значение пара»>етра А.. 3.7.3. Анализ опта»>альности про>рамм управления Рассмотрим вопрос об опят>мальиости прогрел>ь> управления, заланных степенными полииомами. В качестве критерия оптимальности прил>ем требование минимальности средне>и>тегрш>ьиой величины требуемого ускорения на интервале управления: г у = — ца 'г(г))зй. Ъ ' о (3З03) итериальная функция (3.303) представляет собой общеупотребитель- о меру энергетических затрат на управление (см. [4)).
Лля решения поставленного вопроса найдем энергетически оптималь- е программы управления и сравним их с программами, приведенными ше в и. 3.7.2. С этой целью сформулируем следующую залачу ги мизации управления. Рассмотрим модель объекта управления в виде :темы уравнений второго порядка: (3.304) управлением является ускорение объекта.
Найдем оптимальное равление и'в'(!), удовлетворяющее требованию минимальности теграла (3.303 збеспечивающее перевод объекта управления из заданного начального стояния ха, 1;о в терминальное состояние х„, 1;„. за фиксированное ~емя Т. Для применения стандартной процедуры принципа максимума онтрягина сведем поставленную задачу оптимизации управления с втегральной критериальнои функцией (задача Лагранжа) к задаче ~тимизации управления с критериальной функцией иеинтегрального !да (задача Майера).
С этой целью введем дополнительную фаэовую -'ременную: хз = -~и'(г)й, 1 2 2 (3.306) 399 зовлетворяюшую дифференциальному уравнению я, = -из и 1 2 ачальиому условию хз(~а) = О. В результате критериальная функция рнметвидУ= кз(7) = "'зь. апшием далее гамнльтоииан и систему дифференциальных уравнений ля сопряженных переменных: Н = р,у ч р,и + -рзиз 1 э 3 з Р~ =Оз Рд= Р~ .дз Интегрируя зти уравнения, получаем их общее решение: Р1 = с„рэ = -с~г + сз, Р, = сз. Из необходимого чсловия экстремума гамильтоииаиа. — = О.
находим дН д« выражение для оптимального управления: р~ с,г — с, и РР'(О (3.307) р с Дальнейшая конкретизация вида функции (3.307) зависит от значений констант см с, и сз, которые определяются по краевым условиям лля сопряженных йеременных и краевым условиям лля фазовых координат. Правила записи краевых условий лля сопряженных переменным даны в [1 31. В рассматриваемом случае краевые условия для всех сопряженных переменных в начальный момент времени не определены, так как фазовые координаты .т, 1;.
и хз по условиям задачи в этот момент фиксированы. Фазовая координата хз в терминальный момент времени свободна, поэтому л я сопрярхен ной переменной рз может быть записано краевое условиерз(7) = — — = -1. ~.ледовательио, сз = -! и выражение дд дх,„ (3.307) принимает вид; ион(р) Ф -с г + с,, (3.308) Далее рассмотрим три варианта задачи управления, различарощиеся характером задания терминальных условий наведения.
Вприпнзл У. 'Терминальная координата х„свободна, терминальная скорость 1'„к фиксирована. В данном случае для сопряженной переменной Р, имеем краевое условиер,(7) = — — = О, откуда г, = О. Из (3.303) следует постоянство д.т дх„ оптимального управления, ирр'(~) = с., что совпадает с программой 400 :аления (3.281), принятой для данного варианта задания терминальусловий наведения. Отсюда вытекает заключение об оптимальности .раммы разомкнутого управления, определяемой выражениями И), (3.283), н оптимальности соответствующей ей программы гнутого управления (3.284).
!арианш 2. Терминальная координата ха фиксирована, терминальная юсть 1'„„своболна. 1зтом случае для сопряженной переменной рз имеем краевое условие ) =- — = О,откуда-с!7+ сз= О,сз = с! Т Оптимальное управление дУ аи„. 38) прннпмает вид; и '~'(!) = с, ( Т - г). (3.309) .-егрируя уравнение л = с,(Т вЂ” г) и опрелеляя постоянную с, по вльным условиям хе и !' >, получаем 3(х, — хе) 3 3г',о Тъ Тз (ЗЗ10) :им образогя оптимальные программы разомкнутого и замкнутого авления имеют соответственно внд: (3.3! 1) 401 31х„- х(!)) 3 Р„(!) (3.312) (Т- г)з Т- г Сравнивая зги выражения с формулали! (3.28б) н (3.289), приходим пяводу, что полученная выше для тех же терминальных условий зграмма разомкнутого управления, определяемая выражениями !86),(3.288),и соответствующая ей программазамкнутогоуправления й!9) не оптимальны, так как отличаются от оптимальных программ 111) и (3.312).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
