Разоренов Г.Н., Бахрамов Э.А., Титов Ю.Ф. Системы управления летательными аппаратами (2003) (1246774), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Рассмотрим сначала в качестве дополнительного условия наведения полное время полета: Т =з-Т з где г„- фиксированное по постановке задачи время полета БР на ЛЪ"Г, определяемое запасом топлива, а Т вЂ” время пассивного полета, определяемое для модели однородного поля формулой т - — (Г„., и,„. г~,у,).
1~ з аа (3.88) В данном варианте задачи краевые условия для сопряженных переменных в отличие от (3.80) принимают вид: р,(г,) =- — -Л вЂ”, р (г„)=- — -Л вЂ”, а2. ат а). ат ах„ах,' ' " ау„ау.' р,(г,)=- — -Л вЂ”, р.(,)-- — -Л вЂ” ' а2. ат ау. ат в +Л вЂ” (г,- з)+ — +Л— де. ат~ ае ат ау„ау,~ ' ар„, и;, зйа~" = ! — ~Л вЂ” (ф -у)+ — +Л— де. ат1 ае ат ах„'ах,~ ' аи„, а~'„„ Полставляя сюда выражения для частных производных, после соответ- ствующих упрощений получаем эоо где Л -неопределенный множитель Лагранжа (правила записи краевых условий для сопряженных переменных см. в Щ).
По аналогии с (3.82) формула для оптимальной программы угла тангажа имеет слелуюший вид: (3.89) Таким образом,включенневсоставтерминальныхусловийнаведения олного времени полета не изменяет полученное выше заключение о том, то для модели однородного поля оптимальным является постоянный гол тангажа. Ванный вывод будет использован ниже в гл. 3.5 при лализе оптимальности метода наведения по требуемой скорости, Рассмотрим теперь в качестве дополнительного условия наведения гол наклона траектории в точке падения ГЧ, Р„Щ >88 = —" "С. $>'„Щ Зыразим данное условие через параметры движения ЬР на момент окончания АУТ, приняв во внимание, что для модели однородного поля ('хЩ = Г'х„, Зф) = Ь;я -8ет.
ч„-а,т-ср.'„- о. (3,90) Здесь время Топределястся формулой (3,88), Краевые условия дяя сопряженных переменных и формула для оптимальной программы тангажа имеют вид: Рь(з.) = - — > Рз(сх) = - — +даю — > ат. а(. ат ах,' " ау, 'ау.' Р (г) =" +хС Р>,Я = "" ("8е. ау.
а(. ( ат ) Проведя упрощение привеленной формулы, окончательно получаем (!ем л~ (3.9!) Как видим, в общем случае тангенс оптимального угла таигажа выражается дробно-линейной функцией времени. В частном случае при Л = О формула (3 9 !) превращается в (3 37). Очевидно, что данный случай имеет место, если угол наклона траектории в точке падения ГЧ положить равным значению, которое получается в исходной задаче оптимизации угла тангажа без предварительного задания параметра 8 . З.З,З.
Оптимальная программа управления полетом БР Рассмотрим задачу оптимизации программы угла таигажа в более общей постановке. Предположили что требуется определить также наивыгоднейшую программу изменения тяги двигательной установки из условия достижения максимальной дальности полета. Снова для простоты примем модель однородного гравитационного поля, распространив зту модель и на пассивный участок траектории, Поскольку тяга ДУ пропорциональна массовому секундному расходу топлива, примем данную вели шну в качестве параметра управления и дополним систему уравнений (3.70) уравнением, описывающим закон изменения текущей массы ракеты: (3.92) гле и „- постоянная скорость истечения, (3- массовьн! секундный расхол топлива, иа величину которого наложено ограничение вида: О я 33 я 33,„.
(3,93) Полагаем, что в момент ! заданы начальные условия движения (5.53) и масса ракеты зиа. Концевые условия отнесем к моменту падения ГЧ на поверхность Земли и запишем их в виде: 302 у(7) = О, пз(7) = пз,. (3.94) (3.95) Эти условия означают, что точка падения лежит на оси Х (см. рис.
3.9) и конечная масса ракеты задана (т.е. задан запас топлива). Критернальная функция (полная дальность полета) имеет вид: Ь = х(7). (3.9б) Таким образом, задача состоит в определении оптимальной программы угла тангажа Ю',"(() и оптимальной программы расходования топлива р',"(г) из условия достижения максимальной дальности полета. Введем сопряженные переменные рп..., рз и запишем гамильтоннан задачи: Н Р~ У„+Р~ ~~+ Р (Рзсозвз~Р~ззпбд Рз Р49о' (397) Уравнения для сопряженных переменных имеют вид: Р, = б> Рз = б, Рз = -Р„ Р„ = -Р,. (3.98) н аег Рз = — (Рзсово|+Рзз|пЧ.
2 (3.99) Исследуем гамильтониаи на минимум по переменным ~) и Оп Введем следующее обозначение: всз Н1 — (пзсозо, +Р з(по,) -Р . Из условия минимума гамильтониана вытекает следующий закон изменения параметра р: ЗОЗ Краевые условия для сопряженных переменных на момент го не определены, так как фазовые координаты и масса ракеты на этот момент фиксированы. На момент Тзначенив сопРЯженных пеРеменных Рз и Рз остаютсв неопределенными (так как координата у и масса ракеты зп на этот момент времени фиксированы), а значения других сопряженных переменных равны частным производным от критериальной функции (3.96), взятым с обратным знакам: Р1(7) = 1 Рз(Т) -" о Ра(Т) = о.
!3„, Н,<0, 0= О, Н>О. (3.101) »), Н,<0, О, Н,ЪО. (3.! 02) Как видно из данного выражения, при полете на максимачьную лальность тяга лвигагельиой установки либо максимальна, либо нулевая. Режимы промежуточной тяги отсутствуют. Оптимальная программа угла таигажа находится из условия минимальности функции Н, на тех участках полета, гле )1 = (),ка„, и определяется выражением, аналогичным (3.8!): 180" ,= Р', (3.! 03) рз Для определения сопряженных переменных рз ар, следует обратиться к дифференциальным уравнениям (3.98). Интегрируя первые четыре уравнения и учитывая краевые условия (3.99), находим: Р~Я = -1, Р~О) = сы Рз(7) = г- Т, Р~й) = с~(Т-0 ° (3.104) Подставляя найденные значения рз и рч в (3 103), получаем 180,~ = -гм (3.105) Как видим, оптимальный угол тангажа постоянен иа интервале полета с ненулевой тягой. Этот вывод соответствует раисе полученной формуле (3.87).
На интервале полета с нулевой тягой угол таигажа, как следует из выражения (3.97), произволен. 304 Как видим, закон изменения параметра 11 опрелелястся знаком функции Н1, которая, таким образом. играет роль функции переключения управления. Если бы в данной задаче существовали интервалы времени, на которых функция Нц тождественно обращается в нуль, то на таких интервалах закон изменения параметра (» не мог бы быть определен однозначно(случай особых управлений». Однако ниже мы проверим, что такие интервалы времени отс)тствуют, поэтому выражение(3,101) может быть лоопределено слелуюшим образом: Выясним возможное число переключений тяги двигательной клоаки, для чего следует установить количество нулей функции еключения.
Это можно сделать путем анализа производной функции Продифференцируем выражение (3.100) по переменной г с учетом .внения (3,98) для производной 1!, и выражений (3.104) и (3,! 05). В ультате получаем част 1 Н,=— со50~ Как видим, производная функция перпопочения всегда положительна. пому сама функция переключения меняет знак не более одного раза интервале управления и, следовательно, при полете на максимальную 1ьность тяга двигательной установки переключается не более одного ~а.
Это переключение(из режима максимальной тяги на нулевую тягу) оисходит в момент полной выработки имеющегося запаса топлива. . положительности производной Н, вытекает также вывол об .утствии интервалов времени, где функция переключения тождественно рашастся в нуль (так ьак на таких интервалах ее производная Н, также лжна быть тождественно равной нулю). Поэтому в данной задаче обые управления отсутствуют и закон изменения параметров !) и О, ,нозиачно определяется выражениями (3.! 02) и (3.105), 3.4. Программы угла тангажа БР с учетом ограничений на параметры ~иження Как показано в 110], (17), рациональным подходом к определению зтимальных программ угла тангажа с учетом комплекса ограничений ~ параметры движения БР и ГЧ является применение метода параметри:ской оптимизации, при котором оптимальная программа определяется г множестве (семействе) программ, выраженных в виде зависимостей г одного, двух или трех параметров.
В соответствии с этим рассматривагся одно-, двух- или трехпарамегрнческое семейства программ. Однопараметрическое семейство программ используется для дноступенчатых ракет с траекториями активного полета, целиком ежашими в платных слоях атмосферы. Траектория полета разлеляется а три участка: участок вертикального полета, продолжительность оторого г, определяется условием безопасного старта; участок .ачального разворота ракеты по углу тангазж для отклонения раектории от вертикали (при этом появляется отрицательный угол .таки), заканчивающийся в момент Ч при дозвуковых скоростях полета <з ~г гз! <'яс. 3.! О.
0<не«аряне<ряч<скос сея ся<тв«про<тяня мпя т<яг<жа (й<1 и 0,3), и участок последующего полета с нулевым углом атаки. Значение угла тангажа в момент г< (обозначим его 6<1 однозначно определяет все параметры движения в копие работы первой ступени ракеты, в том числе и угол бросания 6„..'1'аким образом, угол тангажа о< играет роль параметра, соответствующим выбором которого обеспечивается достижение л<аксиыазьной дальности. Как видим.
задача опти.<ального управления сводится здесь к задаче иа экстремум функции одной переменной (зависимости даль«ости стрельбы от угла й,) и может быть решена любым численнь<м методом однопаримстрической оптимизапин. Сея<ейство однопараь<етрнческил программ таигажа при различных значениях угла й< в ь<ол<ент<< показано на рис.
3.!О. Отметим, что подет с нулевым углом атаки на интервале времени от << ло (к обеспечивает минимальные поперечные аэродинамические нагрузки иа корпус ракеты и минимальный интегральный тепловой поток, чем доспи ается сохранение механической и тепловой прочности ракеты. Прп этом поворот вектора скорости ракеты на угол 9„.
обеспечивается за счет силы гравитац<юкио< о притяжения, вследствие чего участок полета с нулевым углом атаки носит название участка гравиташн<иного разворота вектора скорости. На рнс.3.11 показано двухпараметрическос семейство программ угла тангажа,которые могут применяться как для одиоступенчатых. так и для двухступсичатык ракет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
