Разоренов Г.Н., Бахрамов Э.А., Титов Ю.Ф. Системы управления летательными аппаратами (2003) (1246774), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Таким образом, задача определения программ управления движением БР на АуТ сводится по существу к задаче определения программы угла тангажа. На практике наибольшее значение имеют два варианта данной задачи, состоял»ие в определении программы угла тангажа максимальной дальности и програь»л»ь» угла тангажа минилшльного рассеивания. Особенности обоих вариантов данной задачи и методы ее решения 293 подробно рассмотрены в ряде руководств по баллистике ракет, где показано, что вследствие многочисленных ограничений на допустимью паразипры движения БР на АУТ (особенно на его атмосферном участке) эта задача ие поддается точному аналитическому решению мстодамн вариаииониого исчисления и теории оптимального уаравлешщ. По этой причине на практике используются методы приближенного решения данной задачи (так называемые инженерные методики), Точное оптпмальное решение может быть получено лишь для простых моделей движения без учета ограничений. Такие упрощенные варианты залачи оптимизашш угла таигажа максимальной ладьиосги рассмотрены в пп.
3.3.2 и 33.3. Ценность получаемых здесь результатов заключается в том, что найлениые программы могут рассматриваться в качестве первого приблшкения для решения задачи в более полной постановке с учетом ограничений. Ероме того, для участков почета второй и третьей ступеней за пределами атмосферы приошскеннос решение, полученное в рамках упрощенных схем полета (лаже для модели однородного г(завитационного пОля), настолько близко к точному, что в ряде случаев может быть принято в качествс окончательного решения задачи. ЗЗ.2. Простейшие оптимальные программы угла тангажа БР Рассмотрим полет БР за пределами атмосферы. Примем для активного участка траектории модель однородного гравитационного поля, однако ири этом будем полагать, что иа пассивном участке траектории модель гравитапионного иодя остается произвольной и адекватной реальным условиям полета (рнс.3.9).
Уравнения движения БР на АУТ имеют вид: х = ) „):; = — сохо„ Р т (3.70) В данных уравнениях Ь~ — угол таигажа, рассматриваемый в качестве параметра улравлевия; Р— тяга ДУ. налагаемая постоянной или изменяющейся по известному закону; ш — текущая масса ракеты, также изменяющаяся по ггзвестному закону.
Предположим, что начальные условия движения ракеты в мс мент времени га заданы: .«Ю ха У(~а) Уа»'.(го) = )';с )',М = Рре (3 7)? Предположим также, что заданы начальная масса ракеты ене и запас топлива ще, а полет ракеты на АУТ осуществляется до полного израсходованиязапасатоплива. Заметим, что при известном законе изменения массы ракеты и заданных величинах те и глт известен момент (х окончания АУТ и конечная масса рвхкеты гл(е,) ле„(3.72) В качестве критериальной функ- ции рассмотрим полную дальность пс.
3.9. Схема ппаееа БР лап малави полета ракеты от ее начального положения до точки падения на поверхности Земли и выразим ее в виде >уцкции параметров движения ракеты в момент гх: 7. = 2,(х„у„)~„„,Р:,„), (3.73) де конкретный вил функциональной зависилюсти (3.73) определяется «оаелью гравитационного поля на ПУТ и влиянием атмосферы на пмэюлящем участке траектории. Относительно этих факторов никаких прощающих предположений не делается. Поставим задачу определения программы угла тангажа„обеспечиваюцей достижение максимальной дальности при условии полной ~ыработки запаса топлива, и применим для ее решения принцип еаксимума Л.С. Понтрягина.
Напомним, что методология применения принципа максимума зрсаусыатривает следующую посгедавательностьдействий при решении :адач оптимального управления: Е Введение сопряженных переменных (неопределенных множителей )агранжа), соответствующих фазовым координатам оптимизируемой и|нам ической системы. 2 Запись функции Гамильтона (галиельтониаиа задачи). Если аыразить модель леиеамической системы в формализованном виде: ф, =-у,(~д,и), ! = !,...,л (3.74) ц через р, обозначить сопряженные переменные, то гамильтониан ичеет вид; Н = ~'р,т!(т,!7,и). т! (3.75) 3. Составление дифференциальных уравнений ддя сопряженных переменных по формулалн (3.76) 4.
Запись краевых условий для сопряженных переменных с учетом заданных краевых условий для фазовых координат и вида критериальной функшш. 5. Определение оптимального управления из условия экстремума гамильтоииана (ттаксимума, если решается задача на минимум критериальной функции, или минимума. если решается задача на максимум критериальиой функции), Н = р, 7'„р $~ - — (Р сояо, р я)по,) -р4ие. Р (3.78) Дифференциальные уравнения для сопряженных переменных имеют вил: Р!=йю Рт=йю Рз= Р!з Ф4 Рт (3.79) Правила записи краевых условий для сопряженных переменных изложены в руководствах по применению принципа максиму за (см.
[1 э!). В соответствии с этими правилами начальные условия для всех сопряженных переменных намоментте остаются не опредеэенными, так как все фазовые координаты на этот тюментвректеии фиксированы. С другой стороны, на момент тя все фазовые координаты свободны и ограничения на них отсутствуют, поэтому концевые условия для сопряженных переменных на этот момент времени записываются как частные производные от критериадьной функции по соответствующим фазовым координатам на момент тя, взятые с обратным знаком: 296 и"'(!) = ."чаехтгН(т,р,!),и) (3.77) м при условии, что переменные р,. и !7! удовлетворяют дифференциальным уравнениям (3.74) н (3.76) и соответствующим краевым условиям. Следуя данной методологии, введем сопряженные переменныерт,..., р4 и запишем функцию Н: Р (С ) = Р (С,)" —.
Р (С)= Р (С )=" ° (3.80) аь аь аь аь В я а ' 2 а ' $ к ар 4 к 1 я мк зе Перейдем к определению оптимальной программы угла тангажа из словия минимума гвмильтониана. Ввиду того, что ограничения на ;опустнмые значения угла тангажа по постановке задачи отсутствуют, шя определения точек экстремума функции Н можно воспользоваться сеобходимым условием экстремума. Дифференцируя Н по О, и приравнивая производную нулю, получаем уравнение: Рззщас Р4соФ " 0~ зткуда вытекает следующее выражение для оптимальной программы )тла сангажа: Св бесе ~~4 Рз Как видим, искомая функция изменения угла тангажа выражается через сопряженные переменные рз и р4.
Для определения закона изменения данных переменных обратимся к уравнениям (3.79), которые легко интегрируются: Рс = сз Рз сз Рз = с|с+сз Ра = -сзс -са Далее можно определить постоянные интегрирования, воспользовавшись краевыми условиями (3.80): аь аь аь аь аь аь с~ ° сз ~ сз сы с4 ся После этого переменные рз и р выражаются следующим образом; рз(с) = — (с-с,)- —, аь аь ах„* а с„,' М) = — (с-с.)- —. аь аь ау„* а('„.' Возвращаясь к выражению (3.01), получаем, что оптимальная программа угла тангажа имеет вид: — (с -с)-— а2.
а2. ау. * ар;„ аЬ а2. — (1,- г) дх„* 0 Р;„ (3.8э) Я= и.,У= Ь'„, и,=о, Р;=-8,. Данные уравнения легко интегрируются: У = Ук+ ~~кт Йет гз = 1 $'от 1 2 Здесь х„, утп Р;„, 1~ — параметры движения на момент начала пассивного полета, т — время движения от момента ~„. Если Т- полное время пассивного полета до момента паления, то полная дальность полета от начала движения определяется по фориуле 298 Формула (3,82) определяет лишь общий вид. структуру оптимальной программы таигажа, однако недаст окончательного выражения ддя угла тангажа в виде функции времени, так как значения входящих в эту формулу баллистических производных зависят от параметров движения ракеты в момент юк и, следовательно, от самой программы тангажа. Раскрьпь эту взаимйую зависимость программы таигажа и баллистических производных можно только методом последовательныя прибли кений.
Например, задаваясь некоторой начальной функцией утла тангажа, интегрируют с этой функцией уравнения движения ракеты ло момента (к, определяют получившуюся дальность и соответствующие ей значения баллистических производных, после чего' корректируют программу тангажа по формуле (3.82). Этот процесс повторяется до тех пор, пока не будет достигнута достаточная точность совпадения правой и левой частей выражения (3.82) при соблюдении всех других условий задачи. Получим теперь частный вид программы угла тангажа, предположив, что движение на пассивном участке траектории происходит также в однородном гравитационном поле без учета сопротивления атмосферы, а точка падения лежит на оси Х(см. рис.
3.9), т.е. принимается модель плоской Земли. Эти предполоясения лопустимы, если дальность полета ракеты невелика. Уравнения лвижеиия иа ПУГ получим из (3.70), положив в них Р = 0: (3.83) где время находится из условия у(г) = О, т.е. из уравнения: у+1У Т- — ОТО=О. 1 О У* 2 О (3.84) Исключая время Т из уравнений (3,83) и (3.84), получим выражение для дальности полета через параметры движения на момент 1„: Ь - х„+ — ~Ру,+ у'у,+28Оу,). КО (3.83 Рассчитаем далее баллистические производные: дЬ дЬ вЂ” 1 Ф Э у", +28еу.
— = — 1Г + 1У +2яу), дЬ 11 з 1 Ук УО О О ° лк О (3.86) дЬ д)'„„ яе уу, + 2феу, Подставив найденные выражения в формулу (3.82), получим оптимальную программу тангажа для условий полета в однородном гравитационном поле как на активном, так и на пассивном участках траектории: ООУ ли и 1 у,з (3.87) Как видно изданного выражения, оптимальным является постоянный уголтангажа.Несмотря нато,чтоэтотвыводполучен присущественных упрощениях модели движения, в реальных условиях при полете третьей ступени БР угол тангажа принимается, как правило, близким к постоянному. 299 Проанализируем еще два варианта задачи оптимизации угла тангажа дяя модели однородного поля, предположив, что в число терминальных условий наведения включается не только дальность полета, ио также дополнительное условие — полное время полета или угол наклона траелтории в точке падения ГЧ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
