Буков В.Н. Адаптивные прогнозирующие системы управления полетом (1987) (1246771), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Внутри этой области, пе определению (35), имеет место равенство и„р = О. Таким образом, оптимальное ограничивающее управление в слуве (5.120) заведомо является релейным. В литературе приводится условие строгой ограниченности алгоритмом (5.119) области чт, основанное на анализе скорости проникновения вектора состояния сквозь границы области 9. В общем случае для выполнения строгой ограниченности требуется выполнение неравенства дДш Т дДш, дД,' (У+~~ . ) + юКч' + дх опт'кач 1ф дх дх т' д,, до' + (Юш)'РК Ю + ° ° - > 0~ (5.121) 2$ дх дх где ие„., „м — оптимальный сигнал управления, формируемый другими системами.
Реализация алгоритма (5.119) или (5 120), как правило„предполагает вычисление ограниченного числа членов соответствующих рядов. Назначение относительно малой длительности интервала оптимизации Т (при предположении кратковременности возможных нарушений ограничений) благоприятствует сходимостн операционных алгоритмов (5.119) и (5.120) . Заметим, что использование операционных алгоритмов ограничений основано на фиксировании с помощью датчиков илн системы оценивания произошедшего нарушения ограничений.
Релейное срабатывание (включение) сигналов и „т.етр возвращает состояние обьекта в эксплуатацион. ную область. Для объектов типа (3.20) сказанное относится к формированию скорости отклонения рулевых органов. При необходимостя грашь цы области 6 могут выбираться с учетом возникюощих "динамических" нарушений ограничений (упреждыощле границы). Рассмотрим оптимальные н кваэноптимальные алгоритмы многопараметрических ограничений состояния управляемого объекта с использованием прогвоэнрующей модели [3.201. Хотя зги алгоритмы, как и (5 119), получены на основе метода аналитического конструирования по критерию обобщенной работы, они отличаются от приведенных выше как структурой вычислений, так н свойствами. Предлагаемые алгоритмы достаточно просты, универсальны и применимы для создания адаптивных автоматов ограничений, использующих результаты текущей идентификации.
динамических свойств объекта. Приведенные в 53.3 н 3.4 алгоритмы с прогнозирующими моделямп предполагают достаточно широкий круг функций Д. Перейти к задаче ограничения состояний можно введением в рассмотрение функции 0~. заданной в виде (3.4). Будем полагать, что в задаче ограничений Р~,л = О. Кроме того, пусп, управляемый объект приведен к (3.20). Для упрощения выкладок будем считать, что (3 не зависит явно от 6. В противном случае можно, как отмечалось в з3.4, расширить соответствующим обр омг(г).' Воспользуемся третьей редакцией алгоритма с прогнозированием.
Тогда для рассматриваемой задачи ограничений 3()ш(х, г) (5.122) гя дх„, где функция штрафа Д, вычисляется на прогнозируемом в ускорышом времени г движении объекта. Прогноз осуществляется с помощью модели (3.55), (356), (3.61), а матричная функция Е (г) вычисляется интегрированием тоже в ускоренном времени уравнения (3.71) с нулевым начальным условием (3,65) . Для функшш штрафа вида (35) соотношение (5.122) принимает вид (здесь полагается, что область Й является замкнутой, т.е. на поверхности переключений функция Д имеет одностороинние производную) У ~вх ~огр = — хй' 2~ Х Х'(г)сЧй1(т)дт, (5.123) т Бмх где Ф вЂ” количество выходов прогнозируемого движения (3.55) из эксплуатационной области 9; гь„„н гь„— моменты 1-го выхода иэ эксплуата.цяонной области и возврата в нее, определяемые прогнозированием обьекта; 1(1) — номер нарушаемой грани области 9 прий-м выходе иэ нее.
Алгоритм (5.123), (355), (3.56), (3.61); (3.71), (3.44) является наиболее общим прн функции штрафа (3.5). Этот алгоритм при реализации не требует предположения малости длительности интервала оптимизации, как зто делается для алгоритмов (5.119) и (5.120). 1О 147 Дпя упрощения дальнейших результатов будем полагать, что за период прогнозирования 1г„, гв] вектор хы(г) только один раз нарушает некоторую границу 1 и до момента окончания прогнозирования г„не возвращается в область Ю. Тогда вместо (5 123) следует использовать соотношение тк б„,р = — К ]' Х'(г)гч(т)1т.
(5 124) гвы« твык Решение уравнения (45) при нулевых начальных условиях н невы- рожденной матрице а„„воспроизводящей в модели матрицу объекта, представляется матричной функцией (4.9). Заметим, что в случае нулевой матрицы ам модели вместо (4.9) следует использовать соотношение Е(г) крмб ~ е г «Ьм(г ги) (5.126) Подставляя последовательно (4.9) и (5.126) в (5.125) и вычисляя интеграл н» интервале [г „„, т„], получаем конечные формулы дпя оптт»- мальных в смысле (3.12) скоростей перемещения управляющих органов, необходимых дпя предотвращения нарушения объектом (4.2) 1-й грани, ограничивающей область 9: а) прн аы =О « богр = — — Кйм% Нтк — гв)' — (гвых — т~) ']' (5.127) б) прн бета чьО б '„= — КЬ' ((г„— г „)Е. +'' 1 — (Š— ехр]-ка' (т„- гв„„)]) ехр]ка' (т„— г„)](а„,') )(а ') а~.' к (5 128) Заметим, что при непродолжителыюм прогнозировании, когда при первых же "нащупыванилх"' границы принимаются меры дпя предотвращения ее нарушения, такой подход физически оправдан.
Таким образом, формирование оптимального ограничивающего управле-, ния, по существу, сводится к двум практическим проблемам. Первой::. является математическое описание движения объектов вблизи границы области Ю. На основе зтого описюшя составляются прогнозирующая модель (355) и уравнение для матрицы чувствитеяьности (3.71).
Вторит проблема связана с описанием границ области Й с заданием коэффициентов строгости пг. Рассьютрим управление стационарным линейным объектом (42), полагая д = О, лри стационарной функции штрафа (3.4). В зтом случае уравнение (3.71) уступит место уравнению (45), решаемому, как и (3.71), с нулевыми начальными условиями. Уравнения прогнозирующей модели примут вцц (4.4), а (5.124) приводится к виду гк 6 „К1 / Я (ганг]с1, (5.125) При известных динамических свойствах управляемого, объекта (матрнцы ям и Ьм), параметрах ограничивающих эксплуатационную область а гРаней (вектоР аг) и заДанном интеРвале пРогнозиРованиЯ 1ти, т„) управляющий сигнал является функцией времени нарушения границы области 9. Сравним полученные здесь законы формирования ограничивающих управлений с законами, предложенными в [1.431.
Отчасти имеющиеся отличия соотношений (5.128) и (5.120) обусловлены различными принятыми моделями управляемого объекта, В первом случае сигнал управления соответствует скорости отклонения рулевых органов (объект тнсв (320)), а во втором — отклонению рулевых органов (обьект типа (3.8)). Поэтому предварительно получим оптимальный сигнал управления типа (5.128) для объекта, описываемого уравнением (3.8) при ~ и ах и р и Ь. В этом случае, формально объединяя компоненты векторов х и 8 в общцй вектор х (обозначенне вектора состояния сохраняется без опасения возникновения путаницы), уравнения (4.2) при 4 = 0 можно привести к интересующему нас виду. Принимая во внимание, что компоненты 8, вошедшие в хм, постоянны во время прогнозирования и равны тем зна' чениям, которые имели место в момент начала прогнозирования, дифференцирование по 8 формально можно заменить дифференцированием по хм (т„) .
Тогда вместо (5.122) для объектов с управлением положением рулевых органов следует использовать соотношение бар = иопг.огр = КФ' У 1 '(т) аО' (х„, т) (5.129) ги Эхм где р — матрица, обусловленная структурой закона (3.15); У(т) — квадратнан матрица, удовлетворяющая матричному уравнению (3.4б) с начальным условием (3.40) и представляющая собой матрицу частных производных компонент прогнозируемого движения объекта х,„(т) по компонентам состояния прогнозирующей модели в момент т„, т.е. хм(т„).
Для линейного объекта решение уравнения (3.46) имеет вид 1'(т) = ехр1амк(т- ти)>. (5 130) При невырожденной матрице а„и сделанных ранее предположениях об условиях нарушения границ области чт оптимальный закон отклонения рулевых органов определяется соотношением 8 гр = -КЬ' ((Š— ехр 1 — амк(т„— т „„))) ехр~а',„к(т„— ти))(а„,')')аг. (5.131) В то же время прн вычислении в (5.120) неограниченного числа членов ряда, заключенного в квадратные скобки, закон (5.120) сходится к выражению 8егр = ио„г игр = КЬ'|(Š— ехр(а'Т)(а ')')аь (5,132) Закон же (5.131) может быть преобразован к виду иепг,ег = КЬ' ((Š— ехр~а' к(т„— т „)~) Х Х ехр~а,„к(т „— ти)1(а ') )ап (5.133) 149 Теперь нетрудно установить, что законы (5.132) и (5.133) идентичны (прн ам = а) в случае„когда «(тк — гвы «) ° тзы« — ть.
(5.134) Таким образом, предложенные в [1.431 законы автоматов ограничений предусматривают только ситуацию, когда вектор состояния уже находится на границе области 9, а Т вЂ” длительность интервала оптимизации. Полученные здесь алгоритмы являются более гибкнмн и начинают осуществлять парирование нарушения границы на этапе приближения к ней. Другим обстоятельством, отличающим алгоритмы [1.431 от полученных здесь, является вычисление матричных рядов. Это, с одной стороны, не требует обратимости матрицы ам, а с другой — при плохой сходимости ряда приводит к высокой трудоемкости. Заметим, что в алгоритмах (5.131) и (5.133) при необходимости матричные экспоненты тоже могут вычисляться рядами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
