Буков В.Н. Адаптивные прогнозирующие системы управления полетом (1987) (1246771), страница 20
Текст из файла (страница 20)
лепна. Этот вывод указывает на нецелесообразность назначения в практических задачах достаточно больших длительностей интервала оптимюапии (и, следовательно, интервала прогнозирования) . $ 4.3. Статические свойства управляемого движения Рассмотрим некоторые свойства оптимального в смысле критерия обобщенной работы управления, определяемые соотношением ууст 11 (~хааа + ыО)~ (4.38) которое вытекает из (4.27) для асимптотнчески устойчивого решения при г — и х, „= соды. Речь идет о статической точности управления, т.е.
о соответствии установившегося состояния управляемого объекта хус = 11гд х(Г) задантазму состоянию хзад. Анализируя то чность управления при точном модел и р о в а н и и о б ъ е к т а, будем полагать, что в уравнениях (4.4) и (4.5) точно воспроизводятся матрицы объекта а и Ь, а в (4.2) имеет место д = О. Воспользовавшись формулой Фробеннуса (4.11, запишем матрицу, обратную матрице В: —.-' ьн -'1 Н ' ' +а 'ЬН 'Ва ' (4.39) — Н'Ва' буст = Н Схзад = — (Ь (а' ') йса Ь( Ь(а" ) йсхзад. (442) Первое обстоятельство, на которое следует обратить внимание, заключается в том, что установившиеся значения вектора состояния ху„н вектора положения рулевых органов б„„в оптимальной системе не зависят от элементов матрицы К функционала (прн неограниченном сокрашении длительности цикла формирования управлении) .
Рассмотрим два возможных случая задачи. 1. Существует такое значение бу,, что х, д = — а 1Ьбус . Это возможно либо при специальном подборе х,д, либо при обратимости матрицы Ь. Тогда, подставляя х„в (4.41), получаем хуст = — а Ь(Ь'(а ')'йса 'Ь| 'Ь'(а ')'йса 'Ьбуст = а Ьбуст ° В силу' единственности преобразования а Ь имеем хуст хзад ° 2.
Не существует такого значения б„, при котором выполнялось бы равенство хзад = — а Ьб„,, тогда хус, Ф х „д. Прн этом установив- 1 91 где Н =А — Ва 'Ь вЂ” невырожденная матрица, так как йе1 Р = де1а бс1 Н. Непосредственной подстановкой (4.24), (4.17), (4.18) и (4,21) с учетом коммутативности матриц а и ехр (а Т) можно убедиться в справедливости . Равенств йА +йв =йс. А =(В+С)а 'Ь. (4:40) Используя второе из этих равенств, получим Н = Са ' Ь. Раскроем соотношение (4.38), воспользовавшись последовательно матрицей (4.39), формулой для Н и соотношениями (4.24): хуст =а ЬН Схзад =а 'Ь(Ь(а ') йса 'Ь] 'Ь (а"') йсхзад, (441) шееся значение вектора б определяется формулой (4.42). Нетрудно пока- зать, что она соответствует методу наименьших квадратов [4.2] при неравноточных наблюдениях с матрицей весовых коэффициентов ас.
Минимизируемый функционал имеет вид 6 уст ]Ь (а ) 1)а Ь ] Ь (а ) 1)хэсд ° Таким образом, в общем случае рассматриваемые здесь алгоритмы обеспечивают (при устойчивости (4.26)) стабнлиэапню состояния, минимизирующего (4,43) с матрицей весовых коэффициентов пс, определяемой параметрами Т, 1) функционала и матрицами а,Ь объекта управлеяия. В предельном случае при Т- матрица весовых коэффициентов в (4.43) совшщаег с матрицей коэффициентов квадратичной формы (ЗЗ) функционала (3,12). Исследуем точность управления при наличии невоси р о из в од н м ы х постоянных возмущений объекта. Если в (4.2) а Ф О, причем в модели (4.4) этот вектор не воспроизводится (в противном случае повторяется уже рассмотренная выше задача), то вместо (4.41) л (4.42) следует записать «уст а (Ьбуст +т7) буст Н (алтая — Ва й) (4.45) нли, подробнеедля б „„, бу,т = — (Ь'(а ')'туса 'Ь] 'Ь'(а ')'(йсхэтд+ова '4).
(4.46) При неограниченном возрастании длительности интервала оптимизации (длительности прогнозирования движения объекта) и устойчивости моде. лн (4.4), имея в виду соотношения (4.36), можно убедиться, что иэ (4.46) вытекает !пп б„= — ]Ь'(а ~) ба ~Ь] ~Ь (а )'1)х. „ т (4.47) Следовательно, при возрастании Т установившееся положение рулевых органов длл рассматриваемого случая стремится к положению, определяемому (4.42) н не учитывающему наличие у объекта ненулевого некто. ра д При этом, как следует нз (4.45), сух хуст Хтсд а (4,48) 1 'т (хуст хссд) пС(хуст Хзсд) э (4.43) а аппроксимирующая функция опрптеляется соотношением х = — а 'Ьб. Несимметричность матрицы пс в (4.43) не создает каких-либо затруднений, так как квадратичная форма (4.43) приводится к форме с симметрической матрицей по аналогии с (П.12) и (П,14) .
Заметим, что при неограниченном увеличении длительности прогноза Т в соответствии с (4.36) функционал (4.43) и формула (4.42) принимают внд Т ю 2 (Хуст Хзсд) бахусу — Хэсд) (4.44) В более общем случае формула (4.46) как и (4.42), определяет процедуру метода наименылих квадратов, но с введением поправки в заданный вектор состояния хтся, "компенсирующей'* влияние на движение объекта (4.2) невоспроизводимьес в модели пбстоянных возмущений. Формулу (4.46) можно записать в виде буст=-1Ь (» ') пса 'Ь1 Ь (а ') (стс(«сад+а ~9) — ат» 'д].
(449) Подстановкой в (4.45) можно убедиться, что в случае и т» ' 4 -+ 0 и существования такого вектора Бс, для которого справедливо равенство 4 -Ьбе, управление (4.49) полностью исключает влияние вектора 9 на управляемое движение. Из (4.33) видно, что при малых Т элементы пА пропорциональны Т, а элементы о~ пропорциональны Тт. В этом случае последнее слагаемое в (4.49) пропорционально Т ', а остальные не зависят от Т. Следовательно, неограниченно уменьшать Т нецелесообразно. Проанализируем в л нян ие ошибок идентификации параметров в объ екта на точность управления. Предварительно заметим, что если частота обновленна в модели (4.4), (4.5) значений идентифицируемых параметров, входящих в матрицы а и Ь, существенно меньше частоты формирования управляющих сигналов (43), то между моментами коррекции параметров матрицы ам и Ьм можно полагать детермюшрованными.
Сравним установившиеся значения вектора х(г) системы (4.26). соответствующие двум случаям. В одном из них матрицы а н Ь объекта (4.2) отличаются от соответствующих матриц модели (4.4), (4.5), в другом эти матрицы совпадают с матрицами ам и Ьм. В обоих случаях матрицы (4.24) вычисляются на основе ам и Ь .
При этом вектор 4 в (4.2) полагаем нулевым. В соответствии с (4.41) этн установившиеся значения определяются соотношениями -1 -1 — ! -1 «уст= — а ЬН С«тая, хуст.м = — ам ЬмНм Схэсд> (4-50) где Нм = А — Ва,,'Ь м — невырожденная матрица блочной матрицы (4З9), вычисляемая для случая (45 1) Введем матрицу Ь(а-'Ь) = а-'Ь вЂ” а„-'Ьм, (4.5 ) которая представляет собой обобщенную ошибку воспроизведения мат- 93 Разность соотношений (4.50) определяет ошибку выдерж мания системой (4.26) заданного состояния: сьх=хуст — ху, = — (а 'ЬН ' — а„,'ЬмН„,')Сх, д. риц а и Ь объекта в прогнозирующей модели. Тогда условие Ьх = 0 при произвольном хв, и ненулевой матрице С запишется в виде а 'Ь(Н ' — Нм') + Ь(а 'Ь)Нм' = О. (4.53) Сравнивая формулы для Н в (4.39) н Нм в (4.50), можно убедитъся, что Н = Нм — ВЬ(а 'Ь).
Подставляя зто соотношение в (4.53) и проводя соответствующие преобразования, можно получить (а„,'Ьм+Ь(а 'Ь)ЦŠ— !Š— Н,,'ВМа 'Ь)1 ') — Яа 'Ь)=0, или, раскрывая Н и В, (ам'Ь,„+ й(а 'ЬЩŠ— (Е— — (Ьм(а„,')'асам'Ьм) 'Ь' (а ')'алЬ(а 'Ь)) ') — Ь(и 1Ь)=0. (454) Таким образом, если обобщенная ошибка Ь(а 'Ь) представления матриц а и Ь управляемого объекта в прогноэнрующей модели удовлетворяет матричному алгебраическому уравнению (4.54), то соответствующие ошибки идентификации параметров управляемого обьекта не влияют на статические свойства управляемого движения.
В частном случае, если обобщенная ошибка такова, что имеет место равенство Ь(а 'Ь) = а„'Ь е, где е — некоторая невырожденная матрица размера тл Хп~, уравнейие (454) с учетом первого 1оавенства (4АО) приводится к виду а 'Ь (Ь (а ') аяа 'Ь ) 'Ь~ (л~ )аса~~Ь~ =О. Заметим, что прн достаточно малых Т все ошибки, приводимые к матрице е, не вызывают статических ошибок стабилизации заданного состояния. Полезным для практики построения адаптивных систем с прогнозиромннем является следствие из последнего рассмотренного случая для объектов с одним управляющим входом.
Так как для таких объектов матрица е вырождается в скадар, а произведение а ' Ь определяет вектор статических коэффициентов передачи от входа объекта к его выходам (компонентам вектора состояния), то при достаточно малых Т беэ ущерба для точности вьщерживання системой заданного состояния х„„коэффициенты передачи объекта могут идентифицироваться с точностью до общего множителя.
Другими словами, с точки зрения статической точности общий коэффициент передачи объекта управления для систем рассматриваемого типа может не идентифицироваться. Пример. Рассмотрим управляемое коротколериоднческое движение самолета (2.84). Сокращая количество перема~ных на основе использования соотношения (2.67) и исключая уравнения для д, получаем в ыг (4.55) Ьр.в (здесь опущен символ 4 н учитывается только отклонение руля высоты). Используя для управления алгоритм с прогнознруюшей мо. 94 делаю (4.3) — (45), будем полагать, что оптимизируется скорость отклонения руля высоты бр.
и. (456) При зашки (455) и (4.56) в виде (4 2) введем обозначенгы ) «» 1 а юз -да, -а, (4.57) где ас — элементы матрицы а „определяемой соотношением (4.21). 0 Используя (4.57), можно убедиться, что е~з Е р.в е р.в е а е>х —,а, ' -а,' )((-т .-а,,) а ар.в а ар.в а а ~~з а,ау ' — а,а,„,' )~(-а — а а,) г 'Ь (4.58) Отскда следует, что если при оз,д и ш„,д соблюдается пропорцио- нальность а ар,в а ар.в а,„,а ' -а а,„, (4.59) е~з ззд е'з ар.в ар.в а~аз«у айаг з то каждому такому состоянию [а„д сез зз ] соответствует определенное положение руля высоты а абаз а а ыз -айвз — ау«в з -а„„, — а„а,„, бр,в = а а Пззд = Ь Е Саз ззд (4.60) атзау «аз а„„а, +а, а,„' При выполнении условия (4 60) имеет место оуззаизздэ «Ь уст =е~з звд. В случае нарушения момеитной балансировки самолета (напрнмер, нз-за перемещения грузов внутри фюзеляжа) уравнение (4.55) следует дополнить слагаемым 4=[0 лззр ]'. 'Нетрудно убедиться, что для объекта (4.55) не существует "компенсирующего" положения руля, лри котором д = -Ьбр .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
