Буков В.Н. Адаптивные прогнозирующие системы управления полетом (1987) (1246771), страница 19
Текст из файла (страница 19)
ннн объекта. Вводя новые обозначения, уравнения (4.1) можно записать в вице х = ах+бб+4, б = и, (4.2) где символ приращения А опущен для сокращения записи; а = Эр'/дх и б = Эб/Эб — матрицы соответствующих размеров, зависящие от оцениваемых системой идентификации параметров (такими параметрами могут ЭР Эб быть злементы матриц); 4 = — Аа + — Аг — л-мерный вектор да Эг 84 постоянных или медленно меняющихся возмущений.
Заметим, что в (4.1) н (4.2) а имеет различный смысл, но поскольку в дальнейшем изложении вектор параметров а из (4.1) и матрица коэффициентов п из (4.2) не будут использоваться одновременно, то путаницы не должно возникнуть Поцыптеграпьную функцию (3.3) будем полагать содержащей стационарные коэффициенты Р. Функцию Г„д, как отмечалось в з 33„примем равной нулю. Функцию штрафа Дти здесь тоже будем полагать нулевой.
Воспользуемся третьей редакцией алгоритма с прогнознрующей моделью. При указанных условиях алгоритм (3.57), (3.70), (3.55), (3.71) уступит место алгоритму тх иопт Б = -кК У Е(т)аахм(т) хаад(т)Ыт ти Н вЂ” х =ка х +кЬ Бм, — Бы=О, (4.4) т( — Е = кимУ + кЬ„„ (4.5) т уравнения (4.4) н (4.5) которого репцются с начальными условиями (3.56), (3,61) и (3.65). Здесь ам н Ьм — матрицы, представляющие в прогнознрующей модели соответствующие матрицы а н Ь объекта (4.2) и в общем случае не равные им, Известно [4.11, что решение уравнений (4 4) прн заданных в момент т„ начальных условиях (356) и (3.61) имеет виц Х .а (т) ЕХИфмК (т ти))Х(ти) + т + к 7' ахр 1и к (т — д)1 Ь Б т1 д.
Интегрирование матричной функции в (4.6) предполагает позпементное интегрирование подынтеграпьной матрицы н в общем случае не раскрывается. Однако дпя отдельных классов объектов типа (4 4) решение (4.6) приводится к виду, не содержащему интегралов. К таким объектам, например, относятся рассматриваемые ниже объекты с невырожденной матрнцей ам, Полученные здесь результаты могут бьпьобобщенына объекты с вырожденной магрицей ам, но представляемые в блочном виде хО1 = а,хО1 + Ь,Б, «р+т1 = ст«1а7 + ЩБ (1 = 1, 2,...,М), (4.7) Б=и с невырожденной матрицей а, н типичные дпя задач управления подвиж ными обьектами.
Для случая невырожценной матрицы ам решение (4.6) эквивалентно формуле хм(т) = ехр1а, к(т -- ти))ха(ти) — и,'(Š— ехр1а к(т — ти)1) Ьмбм(ти). (4.8) (4 10) где тк оА =,[ й(т — т„)(Е-ехр[а к(т — т„)]) г1т, (4.11) ол = Г й(т-т„)ехр[а к(т — т„)]г7т, (4.!2) й(т — тц) = к(Е- ехр[аудк(т — ту)])[1. (4.13) Интегралы (4.11) н (4.12) могут быть вычислены в общем виде: ол = катк т)+дам (Š— ехр[амк(тк — ти)]) + +( Š— ехр[а„', к(т„— т„)]) (ам')'Р- р+ + ехр [амк (тк — ти)1 р ехр [амк (т„— т„)], $ он = Рам'(Е- ехр[а к(т„-т„)])+р— ехр[а' к(т„— т„)]р ехр[а к(т„— т„)], (4.14) (4.15) где р — матрица размера и Х и, удовлетворяющая условию (а )~ +~ =Р.
(4.1б) В случае, если интервал оптимизации [г, г„] в (3.12) будет скользящим с постоянной дпнтелыюстыо Т (см. З3.1), что рекомендуется применять прн решении нетерминальных задач типа стабилизации заданного движения объекта, формулы (4.14) и (4.15) примут вид лл = оТ+лам'[Š— ехр(а„,Т)] + + [Е- ехр(а„,Т)](а„~)ф- р+ ехр(а„',Т)р ехр(ам7), -(4.17) ал = — Дам'[Е- ехр(ам7)] +р — ехр(а'„,7) р ехр(а„,7).
(4 18) Определение и„„, в соответствии с (4.10) требует знания заданного состояния х„д (т) на интервале [т„, т„] в будущем, Для некоторых задач это осуществимо, но дпя ряда задач может быть связано только с приближенным прогнозированием. Есин же полагать, что х,д (т) Аналогично дпя уравнения (45) можно записать Х(т) — а ~(Š— ехр[а к(т — т„)]) Ь (4.9) где Š— единичная матрица.
Заметим, что дпя случая (4.7) блоки х(г+ г1 общего решения опре- деляются последовательным интегрированием предшествующих блоков, первый нз которых х(~1 имеет внд, аналогичный (48) . Подставив в (43) функции (48) н (4.9), с учетом коммутативностн матриц а„,' и ехр(а к(т — т„)) получим лопе = Кйм(ам )а[ода,,'Ьмб(тк) — онх(тд) + тк + 1 й(т — т„)хз,д(т)1т], тд =х„(т„), то тк Х Ь(т- ти)хэад(т)г1т = оахэад(ти), тк (4,19) (4,21) длЯ постоанного на интеРвале пРогноза 1Г, Г 1 заДанного состоиниЯ Хааа 6(г) = А6(г)+ Вх(!)+ Схэад(г), (4.23) где А =КЬ',„(а ~) аАам'Ьм, В=-КЬ'(а ') ол, С=КЬтм(а ')ас.
(424) Таким образом, при неограниченной производительности вычислительных средств, когда можно полагать формирование оптимального управления непрерывным во времени, движение объекта (4.2), управляемое на основе использования алгоритма (4.3) -(4.5) при невырожденной матрице а, описывается в общем случае интегроч1ифференциальным матричным уравнением тк У= РУ+С~ / й(т — т„)х (т)дт+Оа, тк (4.25) а в случае достаточно медленного изменения заданного состояния — диффе- ренциальным матричным уравнением У = 17У+ тхаад + 00 (4.2б) где Начальное условие для зтого уравнения имеет внд У(га) = 1х (ге)6 (го)1 ° где ас = кб(тк — т„) +(е — ехР1а' к(тк — т„)т) (а„,'))Р.
(4.20) ДлЯ гюстоЯнной Длительности интеРвала (г, гк1 имеем ос = РТ+ '1Š— ехР(а,*„т)1(а„,'~)Р. Непосредственно из формул (4.11)-(4.13) и (4.19) видно, что оА ч лВ ос' Используя второе уравнение (4.2) и формулы (4.10), (4.13), (4.17)- (4.20), а также отождествляя момент формирования управляющих сигналов (момент начала прогноза) га = кт„с произвольным моментом времени г, можно записать для произвольного заданного состояния х „„ к 6(г) = А6(г)+ Вх(г)+ КЬ,',(а„,') 1 Ь(т — т„)х д(т)тат, (4.22) тд Матрицы А, В, С.
и соответствующие блоки матриц 27 и С являются функциями длительности интервала оптимизации Т, элементов матриц К и 8, а также параметров модели (4,4) и (4.5), входящих в матрицы а,„и Ь В дальнейшем сосредоточим внимание только на уравнении (4.2б), решение которого записывается в виде с у(г) = ехр гас — го))у(го) + )' ехр гаэ(г — д)) бхзвдс1д. Предполагая невырожденность матрицы О (нз дальнейшего изложения бу.
дет ясно, что именно этот случай представляет интерес), можно для заданного состояния х,д = сонат вместо (4.2б) записать У(Г) = ехРР(г — го)1 У(со) + 17 '(Š— ехР Жà — Го)1)(Охзвд + Оо) (427) Итак, решение (4,27), описывающее управляемое движение, получено в предположении: — линейности и стационарности объекта управления (4.2); — квадратичности и стационарности функции Оса аз (3 3); — нулевых функций равд и Осз — постоянства длительности интервала оптимизации Т в (3.2); — ПоетОЯНСтна ЗацаиНОГО СоетОЯНИЯ Хззд, — неограниченности вычислительных возможностей (мгновенности формирования оптимального управления).
Применение в аналоп шых условиях других известных способов опреде. лепна Оптимального в указанном смысле управления для объекта (4.2) дает результаты, совпадающие с (4. 10). Достаточно громоздкие выкладки для общего случая здесь не приводятся. Ниже, прн рассмотрении автоматов ограничений (см. 8 5.7), будет показано, что получаемое на основе прогно. знрования управление в соответствующих условиях совпадает с управлеииан, получаемым другими способамн.
8 4.2. Качество управляемого движения Матричная функция (4.27) является решением уравнения (4.2б) и описывает оптимальное движение управляемого объекта (42), доставляющее минимум критерию обобщенной работы вида (3.12), который прн принятых допущениях выражается функционалом с+т с+т У (х хзвд) 0(х хзад) + )' (сс К и+ссодзК ссопс)с1е.
2 2 (4.28) Отсутствие "прозрачных" связей этого функционала с доступными в инженерной практике показателями качества управляемого движения (см. а 5,1), с одной стороны, затрудняет анализ полученного решения (427) в общем виде, а с другой — приводит к итерационной процедуре подбора элемесгтов матриц Р и К в процессе отладки алгоритма управления. Чтобы выявить некоторые характерные свойства разрабатываемых здесь алгоритмов, преобразуем функнионал (4.28) к интегральной оценке 88 качества управляемого движения х(Г) объекта (4.2), Из (4.3) и (4.22) следует, что нри точной и полной реалюации алгоритма иеяс = Аб + Вх + Схззя.
(4.29) Принимая во внимание, что на оптимальном движении объекта имеет место и " иепс, подстановкой (4,29) в (4.28) получаем с+ тг 2(х — хэзд) Р(х — хззя)+(Аа+Вх+Схззя) я (Ас+Жс+Схззсс) Йг. (4.30) Будем для простоты полагать в (4,2) 4 = О. Тогда, воспользовавшись формулой (4.23) и первмм уравнением (4.2). приведем (4.30) к виду с+ тг Тм,1' ~1 с1х'Р11 + (2 +(ссСссх — аслам х) ам омКом(а~) (ссссссх — сслам'х) ссг, (4.31) с+т 1 = — 1" Ьх'РЬхЛ 2 не приводится.
Проанализируем предельные случаи для (4.3 1), В первом из них будем полагать, что длителъность интервала оптнмюацян Т такова, что при разло. женин матриц о с, ссв н ссс в ряды Тейлора достаточно ограничиться членами не старше Т'. Тогда, как следует из (4.17), (4.18) и (4.21), (4,32) Тс оА =-(Р- з, Ра )Т-1Ра +а' Р-(а' ) Рам — а' Ра'- ) —— Тс с"в =(Р-амРам) Т+ (Рам -(а' )~Рам — а' Разам)— 2 (433) Тг ! ссс м-сс Р— 2 Подстановка (4,33) в (4.31) при сохранении только линейных по Т членов где Ьхмх — хззя. В силу положительной определенности Р и К подынтегральное выражение в (431) является положителъно-определенным. для всех Ьх и х, а (4.31) — интегральной квадратической оценкой качества процесса х(с), Зта оценка при точной реализации рассматриваемых алгорипчов достигает мсвсимума. Заметим, что в общем случае оценка (431) зависит от вектора состояния объекта х(г) н скорости его юменения во времени х(г). В значительной степени зто объясняется формой представления объекта (4.2), и здесь анализируется только вектор х, входящий в полный вектор состояния объекта (4.2).
Очевидно, что оценка (4.31) к квадратичным интегральным оценкам дает интегральную оценку вида с+г 7'* = — )' (слх'Ссллх+х'дх)ссс, 2 (4.34) где л Р. дм2Тз(Рамс ямб)а мЬмКЬ~л(а„,')'(Дам' — ам Р) (4.35) Оценка (4,34) приводится к (4.32) толысо в частных случаях, когда д = О. Так, для произвольных Ь и К з".о условие эквивалентно условию которое заведомо выпог яется, например, приам Е.
Удовлетворить оценку (4.34) при заданной матрице д можно в случае, если существуют К и Т, удовлетворяющие (4З5) . Во втором предельном случае будем считать, что длительность интервала оптимизации (интервала прогнозирования) возрастает неограничено. Тогда для устойчивой модели (4.4), (4.5) в соответствии с (4.17), (4.18) и (4.21) можно полагщь па = Р~, ств = Рамс +Р, ссс м 07: (4.36) Подставляя выражасвя для пя и ас в (4,3 1), получаем 1 =Тт ~ (амЬмб+хма) РамЬмКЬм(ям) Я~~м Ьмб +хзад)Нг. (4.37) Проведем анализ подынтегрального выражения (4,37). Согласно (4.4) вектор — имсЬмб определяет по текущему значению вектора Ь установившее:я состояние прогнозирующей модели в случае ее устойчивости и / И положение неустойчивого равновесия ~ — х = О модели в случае ее не.
м устойчивости, Такое состояние модели будем называть балансссроеочньсм, В скобках подынтегрального выражения (4.37) стоят невязки между балансировочным состоянием модели (4.4), соответствующим текущему положению рулевых органов Ь, и заданным состоянием х „„объекта. А в целом подынтаральное выражение представляет собой положительиоопределенную форму этих невяэок (в силу положительной определенности К). Следовательно, прн неограниченно больших интервалах оптимюации рассматриваемые здесь алгоритмы минимизируют интегральную квадратичную оценку (4.37), вычисляемую на разностях мевду заданным состоянием объекта и некоторыми балаисировочнымн состояниями прогнозирующей модели. соответствующими текущему положению рулевых органов объекта При этом никак не учитьсвается текущее состояние объекта управ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
