Буков В.Н. Адаптивные прогнозирующие системы управления полетом (1987) (1246771), страница 17
Текст из файла (страница 17)
3.1. Области вычислительных преимуществ различных вариантов алгоритма с прогнозирующая моделью; У вЂ” с численным дифференцированием; П— модифицированный; И1 — с матрицей чувствительности; а — вычисление производной по правой (левой) разности; б — вычисление производной по централыюй разности 0 Я Ф о о и РаатаРооото Втооооо ооотоооия С Уь Область применения (3.74) весьма ограничена из-эа того, что реше ние (3.72) может быть получено только для некоторых весьма простых объектов управления.
В более общем случае может использоваться приближенное решение, представляемое, например 13.291, степенным рядом г- г (,т — г)з стт Х~х(г)„6(г), т, г) = х(г) + — Г + — — Г+ 1! 2! дх кости первых трех редакций алгоритма оценятся соответственно Ге = Ечлу„„т, Гп = (Зл+пг)7„„, Гп~ = [л(в+1) ел]у„„~, (3.76) где Ф вЂ” число дискретных' значений функции Р; необходимое для реализации разностного аналога (3.57); л — размерность вектора состояния; т — размерность вектора управления. На рнс. 3.1 приводятся построенные по (3.76) на плоскости "размерность вектора состояния — размерность вектора управления" границы областей, в которых каждая из редакций алгоритмов с прогнозированием имеет относительное преимущество по минимальной трудоемкости.
Рассмотрены два случая. В первом из них (см. Рис. 3.1,а) %имеет минимальное значение, равное ел + 1 и соответствующее первым правым или левым разностям в аналоге (3.57). Во втором случае (см. рис. 3.1,6) Ф = 2т, по соответствует первым центральным разностям [3.261, обеспечивающим более высокую точность аппроксимации дР/дб(е„). По мере дальнейшего усложнения разностного аналога область 1 сокращается стягиванием к осям л н гл. Таким образом, для многомерных объектов с большим числом входов при невозможности аналитического решения задачи наиболее предпочтительной с точки зрения трудоемкости является вторая редакция алгоритма с прогнозирующей моделью — модифицированный алгоритм. з 3.5.
Дискретное управление непрерывными процессами Рассмотренные выше алгоритмы предназначены для реализации, как отмечалось в 51.3, совмещенного синтеза оптимального в смысле заданного критерия управления. Сложность оптимизационной задачи, которую следует реша~ь непосредственно в процессе функционирования системы управления, обусловливает применение БЦВС. Однако применение БЦВС неизбежно создает особые условия реализации управления. К числу основных особенностей относятся: — дискретность формируемого управления по уровню и по времени; — запаздывание между опросом датчиков (измерительных систем) и подачей управляющего сигнала на приводы рулевых орлеанов.
Рассмотрим здесь вопросы, связанные с учетом при формировании управления "чистого" запаздывания [3.30, 3.311 и квантования во времени [3.32, 3.331 сигналов управления. Остановимся сначала на задаче управления с запаздыванием, которую сформулируем и решим по аналогии с (3.8), (3.12), (3.15) и (3.1В). Рассмотрим наиболее простой случай, когда в системе действует одинаковое для всех входов запаздывание. Пусть управляемый процесс описывается уравнением х = е (х, е) + р [х(е — э), е — э) ц (е — э) (3.77) на отРезке [ее, е„[, где з — единое длл пРавой части УРавнениЯ (3.77) запаздывание во времени, а остальные используемые обозначения имеют указанный выше смысл. Пусть также на интервале [ее, ее + з] уравнение (3.77) имеет некоторое непротиворечащее дальнейшему изложению решение в Х", Мнни- 77 мизируемый функционал представим в виде бакр = Узап[«(гк),гк] + ск ск + Х [з(«, г)Ж + — у [и(г-з)К и(г — з)+ с,+е 2 с+в + и' п (г — з)К сиоп (г — з)]с[Г.
(3.78) Обратим внимание на то, что здесь' ) качество процесса (второе слагаемое) оценивается на интервале [ге + з, г„], а управление (третье слагаемое) — на интервале [го, г„— з], что, на наш взгляд, соответствует физическому содержанию задачи. Тогда оптималыюе в смысле минимума (3.78) управление в незщчкнутом множестве (~У определится соопюшением ЭУ(х(г+з)) и,(г) = -Ки'(г) (3.79) дх(с+з) где У(х, г) — скалярная дифференцируемая по г и х функция, удовлетворяющая на интервале [го + з, гк] уравнению (3.18) при том же граничном условии.
Заметим„что на практике. строгое 'осуществление (3.79) невозможно, так как при действии неконтролируемьс[с возмущений не- определимо точное значение х(г + з). Доказательство оптимальности (3.79) строится по аналогии с доказательством (3.22)-(3.24), (3.15) и сводится к следующему.
Полная проодная комой фу ц У(х, г) д а У(г) б У(г) У(г) = — + — «(г). Эг а«(г) С учетом (3.77) она может быть записана таким образом: 8аУ(г) 8У(г) 8У(г) У(г) = + У(г) + р(г — з)и(г — з). бг 8«(г) б Э(г) Используя (3.79), запишем аУ(г) а и~~) У(г) =.— + — ~(г)-и',п,(г-з)К 'и(г-з). бг а«(г) Но если функция У(х, г) удовлетворяет уравнению (3.18), то У(с) = — Я(г) — и' „,(г — з)К 'и(с — з). Интегрируя это соотношение по г от ге + з до г„, получаем ск Ск У(гк) — У(ге + з) — Х 0(г)с[г — Г и' „(с — з)К ' и(г — з)с[а се+ с ) В [з.зо[ рассъсатрнвается более общий случая лля лниеаных объектов с комбниациеа наличия и отсутствия запаздывания по состоянию и управлению, а также при прежних прнтелах интегрирования в функционале. Теперь воспользовавшись последней формулой и граничным условием (3.19), можно записать вырвкение дпя минимизируемого функционала 1 гк зкр = 1фо+з) + — Х 1и'(г — з)К 'и(з — з)+ 2 Фа+3 зк + и'ет(т — з)К 'и от(з — з)]с1з — Х и'ет(т — з)К 'и(з — з)Ю 19+ Ф или в окончательном виде ~к 1'кр = Фо + з) + Х Ь(т з) иоет(з з)] 'К [и(г з) 2 Уф+3 — и,„т(т — з)] зй.
(3.80) Г ((х(з + з) + Ьхь г + з) — Р(х(т + з), г + з)) Ьх; и от(т) ь" -Кр'(т) (3.81) где в квадратных скобках приведена матрица-строка с указанным правилом формирования элементов. Теперь перейдем к проблеме квантования по времени формируемого управления. Традиционными являются два пути построения дискретного управления. Первый из них предполагает решение оптимизационной задачи в непрерывном виде.
Затем непрерывное оптимальное управление квантуется по времени. Второй путь основан на предварительной замене исходного непрерывного объекта и соответствующего непрерывного функ- 79 Так как функция Цх(го + з)) не зависит от управления на интервале ]го + з, г„], то функционал (3.80) достигает минимума при и = и „, что и требовалось доказать. Таким образом. реализация описанного алгоритма управления процессом (3.77) сводится к вычислению функции Р(х, т), удовлетворяющей (3.18) с граничным условием (3.19), н использованию упреждающих значений производных 8 ~78х;, вычисленных дпя будущих моментов времени, сдвинутых относительно настоящих моментов времени на время з, для определения сигналов управления в соответствии с (3.15) .
Сдвиг во времени между текущим состоянием процесса н используемыми дня управления частными производными функции Г(х, г) приводит к особенностям прогнознрующей модели в рассматриваемой задаче. Теперь прогнозирование должно осуществляться в два этапа. Первый предназначен для пропюэа (с доступной в реальных условиях точностью) состояния объекта в момент т + з, а второй — для вычисления значения функции Цх, Г) в момент времени г + з. Если при этом используется первая редакция алгоритма с прогнозируюшей моделью (3.32)-(3.34), то вариации непосредственно управляемых координат (пля объекта (3.20) — компоненты вектора "положения рулевых органов" 8) должны осуществляться в момент т + з.
Так, при использовании первой правой разности 13.2б] для аппроксимации (3,34) следует воспользоваться фон мулой ционала нх дискретными аналогами. Оптимизационная же мдача решает-, ся в дискретном виде, Каждый из этих путей имеет свои недостатки, при- водящие в общем случае к ухудпению качества управления и увеличению требуемой производительности БЦВС, "Квантование в конце" приводит к приближенности решения задачи либо к завышенным требованиям к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
