Буков В.Н. Адаптивные прогнозирующие системы управления полетом (1987) (1246771), страница 18
Текст из файла (страница 18)
БЦВС. '"Квантование в начале" для нелинейных объектов вносит погреш- ности в решение задачи в связи с невозможностью построения точного дискретного аналога исходной непрерывной по физическому содержа. нию зацачн. Будем полагать, что для управления непрерывным объектом (3.8) используется система, формирующая вектор управления и в виде кусочно- постоянной функции ия(/) = и"(г/), // < г < г/ (3.82) где // — момент формирования управляющих сигналов на /-м цикле, дли- тельность которого составляет /5 г„. Продолжюг рассматривать объект управления как непрерывный объект и в качестве минимизируемого функционала используя функттионал (3.12), можно по аяалогии с выкладками для доказательства (3.22) — (3.24) получить выражение дяя минимизируемого функционала 1 гк /кр = И[ге) + — 3' [и(г) — поят(/)Я '[и(г) — и,„т(/)[г/г, (3.83) 2.г, где иеят(г) определяется формулой (3.15) прн условии, что Г(х, г) явля- ется решением (3.18), (3.19).
Из (3 ВД) видно, по в силу положителыюй определенности подын- тегрального выражения функционал оптимальностл управления дости- гает минимума при и(г) = ипат(г). (3.84) Однако реализация (3,84) требует нецрерывности формируемого управ- ления. В случае дискретного во времени управления минимум (383) должен достигаться на кусочно-постоянной функции (332). Тогда'вместо (3.84) запишем 1 ,/+т ' /и = /'(ге) + — Е / [ил (г/) — и „,(г)[К '[иа(г/) — и (г)[г/г, (3.85) где ге = ге; гл+ = г„, Судя по (385), на каждом цикле формирования управления постоянный вектор управления ия(//) должен выбираться - нз условия минимизации выражения /+г / [пл(Г/) — иеат(С)['К '[пл(Г/) — и от(г)[г/Г.
(3.8б) г/ Учитывая, что и" (//) выбирается из незамкнутого множества,'"восполь- зуемся условием экстремума (ЗВб) на интервале [//, г/ ~] г/ д / Х. '[пл(Р~) — и 'ьт(Г)~'К '[иа(//) — и „т(Г)[с// = О, / которое приводится к виду /+! / [!!л(г/) — и ет(г)] К г/! = О. / . Принимая во внимание постоянство ия на интервале [г/, // ] „получаем /+! г! га Х «(г)К '(г)г/г / ия(г!) = (3.87) ,!+ аг„ .( К г(г)г/г 1/ Для случая К = сопят формула (3.87) упрощается: г/+ага ил(г/) = — /' !!,„,(г)г/а (3.88) Аг„ Таким образом, при квантованном по времени управлении объектом (38) оптимальным в смысле функционала (3.12) является выбор вектора управления ия для квкдого цикла формирования управления по формуле (3,87).
В случае постоянной матрицы коэффициентов К в функционале (3.12) оптимальные дискретные значения вектора управления соответствуют средним за цикл значениям оптимального непрерывного управления. Обратим внимание на то, по при неограниченном уменьшенпи /!гя вектор ил(г/) приближается к вектору и„а (г), в чем можно убедиться, раскрывая предел выражения (3.87) по правилу Лопнталя. Кроме того, переход к дискрепюму управлению неизбежно ухудшает качеспю управления, по подтверждается тем, что прн (387) выражение (336) отличается от нуля, в то время как (3 84) обеспечивает (3.86) нулевое значение.
В заключение заметим, что формулы (3.87) и (3'.88) при использовании алгоритмов с прогнозирующей моделью не имеют практического значения. 53.6. Аснмптотический метод аналитического конструирования АД', Хромовым в [334] предложен метод, основанный на использовании основных соотношений аналитического конструирования в постановке А,А.Крага!вского для решения задачи аналитического конструирования в постановке Летова — Калмана. Пусть для объекта л = Г(х,л, г) с пронзвольнымн начальнымн условиями х(ее) гребуется решить задачу синтеза управлений и, оптимальных в смысле минимума функдио!ила гк / = и..„[х(/.),гк] + ]'Их, н, г) /Б (З.оо) го а! а.В.н.
Буков где У, д н Д вЂ” положительно-определенные функции указанных аргументов, Очевидно, что (3.89), (3.90) является обобщением (38), (3.11), Вместо непосредственного решения атой задачи формулируется вспомогателъная задача следующего содержания. Для объекта т'(х ио 1)г йт йт (3.91) с начальными УсловиЯми х (ео) следУет опРеделнть УпРавление, оптималь ное в смысле функционала тк ~т = Утоп(х(гк)~ Еке1 + Х0(х~ ит ЕФ1 + тф тк + — 1 (йиКт'йо + йи оптдт'йтоптМЕ 2 (3,92) Объект (3.91) отличается от (3.89) переходом от исходнъех сигналов управления и к некоторым другим сигналам управления и„, скорость изменения которых требуется определить.
Функционал (3.92) получен из (3.90) добавлением слагаемых с вновь введенными сигналами управления й, в соответствии с методом аналитического конструирования в постановке А.А.Красовского (3.12). Диагональная матрица К„въебирается с произвольными ненулевыми элементами на главной диагона»и. Решение задачи (3,91), (3.92) дано в 53.2 и в случае управления скоростью перемещения рулевых органов (см. з3.4) имеет вид д У'„ (3.93) ит где 1; (х, 1) — скалярная положительно-определенная функция, удовлетворяющая следующим уравнению в частных производнъЕх и граничному условию: дУ„дУ, — + — Р(х,и„,г) = — Щх,и„,е), У„(1„) = У„„. (3.94) 1 дх (3.95) т- Е то последовательность функционалов (3.92) при оптимальном управлении й, = й„„имеет предел в виде функционала (3.90), а предел последовательности (3.93) иопт = 1й» ит опт (3.96) представляет собой оптимальное в смысле предельного функционала (3.90) управление объектом (3.89), уравнение которого можно рассмат- 82 Пусть теперь индекс п представляет собой порядковый номер последовательности задач (3.91), (3 92) и их решений (3.93), (3.94), Кроме того, с ростом номера п пусть неограниченно возрастают диагоналъные элементы матрицы Г„.
Если при зтом выполняется достаточное условие тк У й'опт~'т'йтопт ЕЕ = 0~ ривать как предел последовательности уравнений типа первого уравнения в (3.91). Таким образом, для обьекта (3.89) оптимальным в смысле минимума функционала (3.90) является управление аь„' й „= — 11ш ʄ— (3 97) Э~, при следующих условиях: — функции ~~„удовлетворяют уравнению и граничному условию (3.94); — элементы диагональной матрицы К„неограниченно возрастают; — условие (395) выполняется, откуда следует, что при возрастании элементов К, компоненты вектора (3.93) могут возрастать на всем интервале (те, г„.~ в темпе, заведомо меньшем, чем возрастание квадрат.
ных корней из соответствующих элементов К,. Воспользоваться данным подходом при разработке алгоритмического обеспечения систем совмещенного синтеза управления можно только в варианте аналитического решения, когда на стадии проектирования могут быть определены предельные функции (3.97) и предельные уравнения (3 94) или их аппроксимации, Глава 4 НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА УПРАВЛЕНИЯ, ОПТИМАЛЬНОГО ПО КРИТЕРИЮ А.А. КРАСОВСКОГО Эффективность алгоритмов управления в прикладных задачах в значительной степени зависит от понимания н правилъного использования различных свойств предлагаемых алгоритмов: .устойчивость работы, нечувствительность к различным помехам, возможность парирования различного рода возмущений, достижимая точность управления и тд, Получение ответа на зги вопросы для относительно сложных алгоритмов представляет собой трудноразрешимую задачу.
В инженерной практике в таких случаях анализ многих свойств алгоритмов управления базируется на зкспериментальных данных. В настоящей главе приводятся результаты аналитического исследования некоторых свойств алгоритма с пропюзирующей моделью. При этом рассматриваемые свойства обусловлены как принципом оптимизации по критерию обобщенной работы, так и особенностями прогнозирования. Все аналитические исследования проводятся на примере управления линеаризованным объектом прн квадратичном функционале оптимизации. 54 1.
Общее решение задачи управления линейным процессом прн квадратичном функционале Линеаризуем (3.20) относительно всех входящих в г' аргументов, чспользуя известную методику (см. 5 2.4): Эб ЭК Эб. ЭГ Ах = — Ах + — М + — Аа + — Аг, Ьб = Ьи, (4,1) дх дб да Эг где Ах, Ьб, Аа, Ди — приращения соответствующих векторов относительно нх опорных значении; Аг — изменение времени относительно момента, соответствующего опорному состоянию объекта; ЭРГЭ вЂ” матрицы частных производных вектор функции Г, вычисленных прн опорном состоя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
