Буков В.Н. Адаптивные прогнозирующие системы управления полетом (1987) (1246771), страница 16
Текст из файла (страница 16)
71 (3,52) И вЂ” х =яры(х~,д~,т), — ды =0 г)т дт (3.55) в ускоренном времени т. различные (линейно независимые) начальные условия 81 (ги) (у = 1, 2, ..., е + 1) задаются в окрестности текущего положения рулевых органов Ь (г„). Начальные условия дпя первого уравнения (3.55) имеют вид хы (ти) х (Ед). (3,56) На основе полученных прогнозов вычисляются скалярнъ|е функции (3,33). Функция Е„, в (3.55) представляет в модели соответствующую функцию обьекта (3.20) (с точностью до параметров а„) . Позтому наряду с обьектом типа (3.8) при разработке и исследовании конкретных алгоритмов с прогнозированием исполъзуются объекты управления, приведенные к виду (3.20).
В общем случае вектор 8 может быть включен в )г„д и Д функционала. Заметим, что (3.20) хороню согласуется с физическим содержанием задачи управления динамическими объектами с разомкнутыми (интегрирующими) рулевыми приводами [2.15 — 2.171. Переходя в решаемой задаче аналитического конструирования от объ. екта (3,8) к объекту (3.20) и вводя обозначения р„= (дт'/дх) ', ра = = (81'(дд)', вместо (3.28) следует записать др 81 3('= Г+ — 0 +а=р„'.к+а (3.51) дх ЭБ Уравнения (3.29) — (3.31) уступят место уравнениям х = Е(х, а, д, г), с = О, ЭР' до' .
ЭР' дд' Р = — — Р— — Ре= — — Р (3,53) дх дх дд дд 1ъ= -О(х, 1), (3,54) определяющим характеристики (3.16) при описании движения обьекта уравнениями (3.20) . Апгоритмь|, вытекающие из (3.52) — (3.54), можно рассматривать как частные случаи алгоритмов, п)згверсниых в З 3.3. Соответствующие преобразования обеспечиваются введением новых обозначений. Однако ввиду большого самостоятельного значения алгоритмов оптималъиогоуправленияскоростьюперемещениярулевыхоргаиов объекта рассмотрим эти алгоритмы подробнее.
Первая редакция (алгоритм с численным дифр)еренцированием) шслючается в интегрировании (3.54) при условии (3.19) на моделируемом в ускоренном времени т = г/к движении объекта в Х" Х Ь~ в соответствии с (3.5'2). Дпя определения оптимального в смысле (3.12) управления объектом (3.20) в текущий момент времени в управляющей ЭВМ осуществляется не менее тн+ 1 прогнозов движения обьекта интегрированием уравнений модели Вычисленные значения (3.33) используются для аппроксимации разностным аналогом частных производных в соотношении ЭУ' и,„,(г„) = — К вЂ” = — Крь (г„), (3.57) заменяющем (3.34) для объекта (3.20), Так, если пользоваться центральнымн первыми разностями, то ...(г.)к-К .", ' " У,.'(г,) -У (г„) (358) 2ГъГ где Уг (г„), Уг (г ) — значения функций (3.33), вычисленные при смещенной г'.Й компоненте вектора Ь (г„) соответственно вправо н влево на постоянную величину гъГ, т.е.
тк (3-59) (3.60) У (гч) = Узьд ]х (ткг] + х г' (г'(х+(т), т] гГт, кк гг «м хрм(хм Ьм + г~Г т). Ьм тк У (г„) = У„л ]х (тк)] + к Г' Д]х (г), т] ггт, тк й гГ х =крм(хм, Ь, — Э., т), — Ьм =О. Вторая редакция (аггорггглс модифигьироеанный) в данном случае, как и в Ь 3.3, предполагает днфференцируеьюсть по х(г) и Ь (г) функций У д и Д функционала (3 12) в Х" Х гъ'к Х ]ге, г .]. На первом шаге ал- горитма осуществляется прогнозирование состояния объекта на интер- вале ]г, гк] с помощью модели (3.55) при начальных условиях (3,56) и Ьм(т„) = Ь(гк).
(3.61) На втором шаге на основе полученных значений х(т„) и предварительгю продифференцированной по х и Ь функции У„л опрегкляются значения Рх(бк) Рх (тк) = д Узэд ]хм(тк), тк] ! Эхм(тк), Рь(д )=Рь(тк)мдй" [х~(т ),тк] /ЭЬм(т~), (3.62) которые используются как начальные при интегрировании в ускоренном обратном времени д уравнений й хм хГ м(хло Ьм Э)~ Ьм й др' Эо' й ЭР' ЭО' (3.63) Рх=я Рх+«РЬ х Рх+х йб " дх„' " дх„' йб ЭЬм х ЭЬ„,' Здесь ЭГ~Э«м, др/ЭЬ~, Эо/дх н ЭД/ЭЬ вЂ” матрицы частных производ- ных векторной Е и скалярной Д функций по компонентам векторов хм н Ь„„вычисленные на прогнозируемой с помощью (3.55) траектории. Первые два уравнения в (3.36) обеспечивают получение значений компонент век- (3.66) торов хм и бм при "обратном" интегрировании.
В случае наличия доста. точной памяти ЦВМ эти значения могут запоминаться при "прямом" прог. позировании с помощью (355) и затем в нужном темпе извлекаться иэ памяти. Полученные в результате решения (3.63) компоненты вектора ра (д„) = = ра (г„) = ра (г„) определяют оптимальное управление (3.57). Алгоритм (3.55) — (3.57), (3.61) — (3.63) не требует численного дифференцирования, что обеспечивает ему более высокую точность по сравнению с предыдущим. Третья редакция (ллгорипч с магрицей чуестигельяости) сводится к вычислению и использованию вдоль прогнозируемого движения (3.55) чувствителыюсти прогнозируемого состояния х (г) к вариациям компонент вектора бм(г„) = 6(г„).
Алгоритм может быть получен из (352) н (3.54) следующим образом. Если функция Г в (3.20) и, следовательно„в (3.52) непрерывна вместе со своими частными производными по х и Ь в Х" Х Ь~ Х (г, г+), где (Г, г,) — открытая временная область, содержащая отрезок [те, Г„), то в аютветствни с теоремой Пеано 13.251 решение уравнений (352), которое обозначим хГ(Г), принадлежит классу С' В открытой области его определения.
При этом матрица Я(г) = Эху(г)/36(г„) частных производных этого решения по вектору параметров 6 (г„) удовлетворяет уравнению ар ар Я(т) = — У(г) +— (3.64) ах~ 88 с начальным условием Е(г„) = О, (3.65) где матрица Якоби эР/Эха и матрица дР/и вычисляются в ху(г). Введем обозначение частной производной рь(т) = (диЩдб(г„))', которая вычисляется дифференцированием р'(х, 8, г) как сложной функции Ь(г„) и которую мы будем отличать от явных производных в ра (г). Продифференцнруем (3,54) по 6(г„) по правилу дифференцирования сложной функции. С использованием введенного обозначения н матрицы У (г) результат дифференцирования можно записать в в1ще Ю (г) 80 (г) рь(г) = — 2 (г) дхг(г) М(т„) Аналогично из (3.19) можно получить для (3.66) граничное условие ар,"„(г„) а)",,„(г„) (3.67) а х,(г„) а8(г„) Обратим внимание на то, что в момент т„имеет место равенство р (г.) = ра(г.) (3.68) Действительно, для функции К(х, 8, г) очевидно соотношение рь(г) - г'(т)р.(г)+ .(г), (3.69) но нз (3.65) следУет (3.68).
А Раз так, то в (3.57) вместо Рь(г„) можю испольэовать рь (г„) . Заметим, что втора~ н третьи редакции алгоритма 74 с прогнозированием в принципе эквивалентны, а соответствующие уравнения, несмотря на внешнюю несхожесть, преобразуются от одного вида к другому дифференцированием (3.69) по г н соответствующими подстановками (3.53), (3.64) и (З.бб). Таким образом, прн реализации этой реплкцнн алгоритма оптимального управления с прогноэирующей моделью и управляющей ЭВМ должно моделироваться движение (3.55) с начальнымн условиями (3,56) и (3.61).
На прогноэируемом движении следует интегрировать (3.66) в форме записи с ускоренным временем т илн, что то же самое, вычислять > д1 зад(тк) д" зад(тк) Рь(С„) к рь(т„) = Х(тк) + + ах„(тк) аб„(тк) к 1, дЯт) дЯ'(т) Ъ + е Х ~2'(т) — + — ~сгт (3.70) 'к дхм(~ ) дам(т) Используемая при этом матрица Я(т) определяется интегрированием в ускоренном времени т уравнения с1 дР дЕ Е(т) к Х(т) + к— (3.71) Ит ах„ аь„ с начальным условием (3.65). В отличие от предыдущего варианта алгоритм (3.55), (356), (3.61), (3.70), (3.71), (3.65) не имеет интегрирования в ускоренном обратном времени.
Четвертая редакция (алгоритм с аналитическим решением) основана на аналитическом решении уравнения (1 1). В этом случае полное решение уравнений (352) при произвольных начальных условиях х(ге), Ь (се) в Х" Х ~д имеет вид Х(х(се),Ь(ге), с, се1 = Х(х. г, г ), Ь(се) = соотг. Т огда для любого текущего момента времени можно записать пропюзируемое на интеРвале 1гк, Г„1 состолние хм(т) = Х1х(гк),Ь(гк)вт. ск1, тЕ(гк, Ск). (3.72) Интегрируя (3.54) в обратном времени на (3.72), молою сюлучнть аналитическое выражение для функция К(х. с„) на прогнозируемых траекториях тк Р(х, гк) = р', [Х(х, ск, с„),скс + /' (г1Х(х, т.
ск),т)с1т. (3.73) гк Воспользовавшись формулой (357) и предварительно продифференцнровав (3.73) по вектору Ь(ги), получим окончательную формулу для оптимального управления ах'(,г„,г„) др,' (х.ск) аг'.. (х.г ), 'к г аХ'(х, т, г„) + ) гк ~, ад(гк) (3,74) )з (3.75) где Г = Г 1х(г), ам, 6 (г), 11 — аналитическое выражение для правой части уравнения (1.1). Практическое ограничение числа слагаемых в (3.75) обусловливает приближенность получаемого управления (3,74) . Все четыре рассмотренные редакции алгоритма с прогнозированием приводят, по существу, к одному решению (при предельной точности аппроксимации производных в (3.57) и решения (3.75)) и отличаются только вычнслительнымн процедурами.
При этом первые три редакции являются алгоритмами численного решения задачи, а последняя — аналитического решения задачи. Очевидно, что последняя из них требует высокой квалификации разработчиков и большой трудоемкости при предварительной подготовке алгоритма управления,'но характеризуется самым низким уровнем трудоемкости на Ф формирование управления в процессе функционирования системы. Остальные же редакции практиа чески всю трудоемкость синтеза уп- Х равления сосредоточивают на эта- 4 пе формирования управления в процессе функционирования системы г управления Сравним трудоемкости соответствующих процедур. Принимая во внимание только операции вычиси пения ра (г„), будем полагать, что объем вычислений, связанных с интегрированием кажного скаляр. ного уравнения (кроме тривиальных) в (3.54), (3.33), (З.бЗ), (3.70) и(3.71),одинаков и составляет уннтПри этом предположении трудоем- $ чв г $ ь фт $ Ф ~Ь ц рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
