Буков В.Н. Адаптивные прогнозирующие системы управления полетом (1987) (1246771), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Первая редакция (алгоритм с числеяяьив дифференцированием) предложена В.С. !Вендриком в 13 151 и заключается в вычислении р(х(тк), т„) интегрированием (3.31) при условии (339) на моделируемом в ускоренном времени т = 4к (к — масштаб ускорения времени) движения объекта в Х" в соответствии с (3.29) и последующим численным дифференцированием этой функции. Таким образом, для определения оптимального в смь1сле (3.12) управления объектом (3.8) в текущий момент времени (реально — на очередной цикл формирования управления Ьти) в управляющей ЭВМ осуществляется как минимум гл + 1 прогнозов движения объекта интегрированием уравнений модели г( — хм = к ум(хм, т) (3.32) г1т в ускоренном времени т с различными начальными условиями хм(тч) l (у = 1, 2... ш + 1), лежащими в окрестности текущего состояния объек.
та х(т„). На основе этих прогнозов вычисляются скалярные функции тк 1'(г„)= Р(т„)= Р;, (и (т„Я. +к Х Я(хм(т), т) тат, (3.33) ги где т„= «ч/к и т„= гк1к — пределы интегрирования в ускоренном времени, соответствующие моменту определения управляющих сигналов ги и моменту окончания интервала оптимизации гк; хм(т) — пропюзируемый в ускоренном времени вектор состояния управляемого объекта (38); ум — векторная функция, представляющая в модели (3.32) соответствующую функцию объекта (3.20) и в общем случае не равная ей (в предположении точно известной структуры 1' эта функция может отличаться вектором параметров ам) .
Вычисленные значения (3.33) используются для аппроксимации разностным аналогом 13.261 частных производных в соотношении , ар' и,„,(т„) = — К р' — = — К р'р(тн). (3.34) Аналог строится на ьч + 1 значениях функции Р(тк), вычисленных на т + 1 линейно независимых решениях (ЗЗ2). Поэтому выбор начальных условий х' (г„) в окрестности х(Рк) должен обеспечивать их линейную м независимость. ') К моменту выхода книги число редакднй увеличилось до шести, включав алгоритм с физической лрогнозирующей моделью и алгоритм е синхронным детектированием.
В 11.431 показано, что в общем случае минимально необходимое число независимых решений (3,32) должно на единицу превышать ранг матрицы р. Вторая редакция (влгоритм модид5ллпрованиый) предложена А.А. Красовским в 13.18) и, независимо, Ю,А. Кочетковым в 13.27 ~, а также рассматривается в 13,28) н в других работах. Она предполагает дифференцируемость по х(г) функций 1'„ц,и Дфункционала (3.12) в Х" Х [т„, г„) и связана с решением в ускоренном "обратном" времени 1 д = — '1 Ь„(г„— т) + д (г — г„Я, (ЗЗ5) гк — ть изменяющемся от д„до д„(д„= гк, дв = т„), уравнений (ЗЗО) с '*начальными" условиями р(бк) р(тк) 8)зал (хм(гк) тки Рхм(тк) (3 Зб) Вычисление этих условий прецполагает знание состояния (3.32) в конце интервала оптимизации, получаемого предварительным моделированием (3.32) в ускоренном времени г с начальными условиями х„,(та) = х(Г„), (3.37) Необходимость вычисления вдоль пропюзируемой траектории объекта функций 87"/вх и дфдх приводит либо к запоминанию в управляющей ЭВМ траектории 13.32), пройденной при предварительном моделировании, либо к совместному реь ~ению в обратном времени д уравнений — х = --ко д), м м д д~' 30' — р=к — р+к— (3.38) с7д дх, дх,„ Полученные компоненты вектора р(да) = р(тч) = р(ьа) определяют опти- мальное управление (3.34) .
Алгоритм (3.32), (3.34), (ЗЗ6) — (3,38) не требует численного диф- ференцирования и поэтому потенциально обладает более высокой точ- ностью. Третья редакция (алгоритм с матриисй чувствительности) предложена А.С. Федосеевым 13.17), а затем автором данной книги в более частном виде для адаптивного управления в 13.19!. Рассмотрим здесь этот алго- ритм примеиителъно к объекту (3.8). Он сводится к вычислению и исполь- зованию вдоль прогнозируемого движения (3.32) чувствительности прог- нозируемого состояния хм (т') к вариациям компонент вектора началь- ного состояния хм (г„) = х(г„). Алгоритм может быть получен из (3.29)— (3.31) следующим образом.
Если функция)' в (3.8) и, следовательно, в (ЗЗ2) непрерывна вместе со своими частными производными по х в Х" Х (г, г,), где (г, г,)— откРытаЯ вРеменн(Я область, содеРжашаа очРезок 1ге, г ~, то в соответ- ствии с теоремой Пеано 13.25) решение уравнения (3.29), которое обоз- начим хс(т), принадлежит классу С' в открьпой области его определения.
При ЗтОМ МатрИца У(т) = дХу(т)/дХГ(ти) ЧаСтНЫХ ПрОИЗВОдНЫХ ЭТОГО решения по вектору начальных значений ху(ти) удовлетворяет уравнению д7' Цт) = — Цт) (3.39) дх с начальным условием Цти) к Е, (3.40) где д~/дху — матрица Якоби, вычисляемая на ху ()); Š— единичная матрица. Введем обозначение частной производной [д1г(т)1дх(ти)! = Р (г) которая вычисляется дифференцированием 1г(х, г) как сложной функции вектора текущею состояния х(ти) и которую мы будем отличать от явных пРоизводных в Р(т).
ПРодиффеРенциРУем (3.31) по х(ги) по пРавилУ дифференцирования сложной функции С использованием введенного обозначения и матрицы у(т) результат дифференцирования можно записать в виде (3.42) дД'(т) р (г) = -у'(~) —. (3.41) дхт(т) Аналогично из (3.19) можно получить для (3.41) граничное условие д$",„,(т„) Р(~зэк) Вк) дху(тк) Обратим внимание на то, что в момент ти имеет место равенство Р (ти) Р(ти) (3.43) действительно, для функции р (х, г) очевидно соотношение р(т) = у'(г) р(т), (3.44) но при ( = тк из (ЗАО) и (ЗА4) следует (3.43). А раз так, то в (ЗЗ4) вместо р(к „) можно использовать р (ти). Таким образом. при реализации этой редакции алгоритма оптимального управления положением рулевых органов должно моделировапся движение (3.32) с начальным условием (ЗЗ7).
На прогнозируемом движении следует интегрировать (3.41) в форме записи с ускоренным временем т или, что то же самое, вычислять И:,эад(тк) к да'(т) р(ги)= 1"(т ) +к 1 у (т) — г7т. (3.45) дхм(т„) тк дх (т) Используемая при этом матрица у(т) определяется интегрированием в ускоренном времени т уравнения д(' — у(т) = я — у(т) ( Аб) тат дхм с начальным условием (3.40). В отличие от предыдушего варианта алгоритм (3,32), (3.34), (ЗАО), (3.45), (3.46) не имеет интегрирования в обратном времени. Четвертая редакция (алгоритм с' аия:типическим решением) в частных задачах использовалась В.Г. Чуцииовой, а позже в варианте прибпижеинмх 70 решений бьша предложена А.А.
Красовским в [1.9, 329). Эта редакция алгоритма основана на аналитическом решении уравнения (3.8). Полное решение уравнения (3.29) при произвольных начальных условиях х(ге) в Х можно записать в виде Х [х(ге), О те) = Х(х, т, ге). Тогда дпя любого текущего момента времени можно записать прогнозируемое на интервале [г„, г „] состояние хм(т) = Х[х(г„), т. г„), т е [т„, т„]. (3.47) Интегрируя (3.31) в обрапюм времени на (3.47), можно получить аналитическое выражение дпя функции Г(х, г) на прогнозируемых траекториях ~к 1 (х, та)= а~зал [Х(х„гк ти) гк) + У Д[Х(х у ги)~т) г1т (3'48) ти Воспользовавшись формулой (3.36) и предварительно продифференцировав (3.48) по вектору х(т„), получим окончательную формулу дпя оптимального управления дХ'(х, гк ти) дРзвд(».
гк) иепт(~и) Ачт + дх(т„) Эх(г„) тк ЭХ'(х, т, т„) ЭД'(х, т) (3.49) дх(т„) д () Решение (3.47) может быть получено только дпя некоторых весьма простых объектов управления. В более общем случае может использоваться приближенное решеьне, представляемое, например [3.29], степенными рядами — (т - )' Э7. (т - )' д Г Э7 ~ Х(х(г), т, т) = х(т) + — 7' + — — 7 + — ~ — ~)~+... 1! 2! Э» Х д дх Здесь | = У[х(г), а,„, г) — аналитическое выражение лля соответствующей функции уравнения (3.8).
Практическое ограничение числа слагаемых в (3.50) обусловливает приближенность получаемого управления (3.34) . з 3.4. Алгоритмы с пропюзировзнием при управлении скоростью перемещения рулевых органов В процессе исследования алгоритмов с прогнозированием было установлено, что дпя широкого класса объектов моделирование (3.8) прн и = = 0 на интервале [т„, гк] сопряжено с трудностями главным образом вычислительного характера. Так, окрестность текущего состояния объекта, содержащая прогнозируемые на [т„, т„) траектории, может либо значительно превышать по размеру область допустимых состояний 9 в Х, либо совсем не пересекаться с ней. Кроме того, дпя нелинейных объектов возможно существенное изменение динамических свойств при замене текущего вектора управления (лежащего в окрестности некоторого балансировочного управления) нулевым вектором.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
