Буков В.Н. Адаптивные прогнозирующие системы управления полетом (1987) (1246771), страница 21
Текст из файла (страница 21)
В зтом случае установившееся положение руля Ьр.в.узз будет определяться соотношением (4.49), Если подъемной силой руля 95 гдедля устойчивого самолета бег а Ф О. Прежде всего ироанализируе, к чему приводит произвольное задание азад = [еззд ыз ззд] .
Так как преобразование а Ь в соответствии.с Ф -1 (457) в общем случае необратимо, то не всякое состояние [а д газ д] ' может быть установившимся при использовании единственного рулевого органа Ьр,в. В этом случае, как утверждалось выше, мжвмшируется квадратичная форма (4,43), а иькнно С ( ззд) +(ИС С )(и оззд)М сев зад)+о~ (юз — юзззд), высоты в уравнении сил пренебречь (абр.в = О), то все равно влияние 4 не устраняется полностью. Проанализируем требования к идентификации коэффициентов (4.55).
Рассмотрим частный случай, когда А(а"'Ь) = а 'Ье, где е — произвольная скалярная величина. Используя (4.58), запишем это соотношение в скалярном виде бр.в бра мв а а а>в, ( ятвм аум' атем) / ( ятем яуматвм) = (4.6 1) а брв брв а а а мв (ауматвм аум я~ввм)l( ятвм яумятвм)= где индексом "м" отмечены коэффициенты прогнозирующей модели. Переходя к отношениям правых и левых частей равенств, получаем бр,в бр.в ">в а брт бр.в ( ятем аум' ятвм) ~ (яуматвм аум' атем) = (4.62) бр,в бр.в При а ' в я = О равенство (4.62) приводится к виду ау = ау. Таким образом, для обеспечения статической точности стабилизации заданного состояния обьекта (4.55) в данном случае требуется толь- а ко точное воспроизведение коэффициента ау в прогнознрующей модели.
Ошибки воспроизведения других коэффициентов при принятых предполо. жениях не влияют на статические свойства управления объектом (4.55). 3 4.4, Статистические свойства управляемого движения Алгоритмы оптимального управления с прогнознрующей моделью получены на основе метода аналитического конструирования, который в з 3.2 сформулирован применительно к детерминированной задаче. Все приведенные выше результаты н относятся к детерминированным условиям применения алгоритмов, В то же время реальные условия функционирования алгоритмов с прогнозирующей моделью могут носить случайный характер. В этих условиях для анализа свойств контура "объект — регулятор" требуются методы статистической теории 13.10, 4.31.
Прежде всего проанализируем вл ня н не случайных возмущ е н ий н по м е х на объект, управляемый регулятором с прогнозированием. Как указывалось в э' 3.3, начальными условиями для прогнозирующих моделей (любой редакции) должны быть текущие (соответствующие моменту времени гв) значения вектора состояния х и вектора положения рулевых органон 6.
Однако реально используемые сигналы для задания чб начальных условий, например в (3.55), содержат неизбежные гюгрешностн, В достаточно общем случае вместо (3.56) и (3.61) можно испольэовать следующие соотношения: хм(1и) х(ги)+Ь в бм(ти) 8(ги)+86 ~ (4.63) где $„н Ь вЂ” векторные адцнтнвные помехи соотаетствуюпшх размерностей с указанными ниже свойствами.
При проведении статистического аналнза ограничимся линейным прнбли. женнем объекта управления (4.1) н квадратичным функционалом (4.28), Уравнения, описывающие двнженне управляемого объекта, запишем в виде х=ах+Ьб+Ц,' 8 =и, (4.64) где $ч — п-мерный вектор случайных возмущений, а остальные обозначения соответствуют (4.2) . Рассмотрим наиболее простой случай, когда случайные векторы $ч, Ь и $в можно лолагап некоррелнрованнымн между собой белымн шумами с нулевыми средними значениями. Соответствующие коварнацнонные матрицы этих шумов Ячб(г-г,), К Ь(г-гт) иЯьб(г-г,),глеб(г-г,)— дельта функция, полагаются известными.
Замена соотношений (3.56) и (3,61) соотношашямн (4.63), по существу, не влияет на формуль1 (4.24), (4.17); (4.18) н (4.21), а вместо (4.23) следует записать б=А6+Вх+Сх „+А$ь+В$„. (4.65) В этом слу ие уравнение (4.26) примет вид у = Юу + Сх„„+ И, где Е = [$' (А8ь + В$ )'1'. Уравнение (4.66) является широко применяемымлинейным уравнением стохастнческого процесса с адцнтнвным шумом в форме Ланжевена. Известно 14.41, что для линейных.
систем типа (4.66), подверженных воздействию гауссовых белых шумов с нулевым средним, вектор средннх значений и н коварнацнонная матрица Р„вектора состояния у удовлетворяют уравнениям жу =11ту+ Сх, (4.67) (4.66) Ру ОРу +Ру,0 +Як~ (4.68) где Я 8(г — г() — коварнацнонная матрица белого шума Е. В силу принятого в (4.66) обозначения н взаимной независимости $ч, й„и $ь нмеем Ф В О В- = О АВаА +ВВхВ (4.69) т.в.н.
Буков Уравнение (4.67) повторяет, по существу, уравнение детерминированного процесса (4.26) н поэтому здесь не анализируется. Вводя обозначення для коварнацнонных матриц вектора состояния управляемого обьекта Р„, вектора положения рулевых органов Рьь н взаимной ковариацин этих векторов Р„ь, 1терепишем (4.68) в виде Рхх =аРхх+Р..а'+Ьрьх+Ркь Ъ'+К,. Ркь =аР ь +РхьА'+ ЬРьь +РххВ', Рьь кАРьь + РььА'+ВРхь +РькВ'+АКьА + ВКхВ'. (4.70) Решение этих матричных уравнений опрецеляет эволюцию введенных ковариацнонных матриц. В установившемся режиме, соответствующем стабютизации некоторого состояния стационарного объекта, уравнения (4.70) примут вид аРхх + Ркка ЬРьх Рхь Ъ Ка аРхь +РкьА' =-ЬРьь — Р„кВ, (4.71) АРьь+РььА'=-ВРкь — РкхВ'=АКьА'-ВКкВ. Проанализируем некоторые предельные случаи.
Пусть длигельносп интервала оптимизации Т безгранично велика. Тогда, как следует иэ (436), для устойчивого объекта (4.64) элементы матрицы ал тоже неограниченно возрастают (пропорционально Т), в то время как для элементов матрицы ав существует предел (436) . Поэтому для достаточн»ъ больших значений Т два последних уравнения (4.71) примут вид 0 Р„ьА', АРьь+РььА'=-АКьА . (4.72) Из первого соотношения (4,72) следует Р„ь = О, а второе определяет зависимость ковариаций вектора положений рулевых органов от интенсивности шумов измерения его компонент. При тривиальном значении матрицы Р„ь установившаяся ковариационная матрица состояния объекта удовлетворяет уравнению архх+Ркка = — Кчъ (4.73) т.е. зависит только от интенсивности случайных возмущений сч и, по существу, отражает в стохастическом смысле неуправляемое движение объекта.
Если дпителъность интервала оптимизации Т выбрать настолько малой, что при разложении матричных функций (4.17), (4.18) и (4.21) в ряды Тейлора ло Т можно ограничиться членами, содержащими Т, то имеют место соотношения А = Ва 'Ь, С = О и из (4.71) следуют уравнения а(Р, +а 'ЬРь )+(Р +а 'ЬРьх)'а'=-Кч а(Ркь+а»ЬРьь)=-(Р ьЪ'(а»)'+Р )В', (474) В(Р„ь +а 'ЬРьь)+(Ркь +а 'ЬРьь) В'= — В(а ~ЪКьЬ'(а»)'+Кх)В.
Если ввести баланснровочное состояние объекта, определяемое соотношением хе,„= — а ' Ьб, то сумма х+ а ' ЬЪ будет отклонением действительного состояния от балансировочного. Статистические свойства этого отклонения вьпекают из (4.74) . Будем теперь полагать, что элементы матрицы А' в (4.28) неограничен. но возрастают, т.е.
штраф, накладываемый на "расходы энергии на управление", пренебрежительно мал. Возможность использования почти неограниченных сигналов управления определяет характер "о и т и м и с т и ч е ской" оценки ковариаций в ек тор а состояний. 9В Принятое предположение позволяет в качестве первогр шага упрошения (4.71) пренебречь во втором равнении членом аРх».
Деиствительно, сравнивая этот член с членом Р„6 А, можно отметить, что матричный коэффициент при множителе Р„6 во втором иэ них, в отличие от первого, в силу (4.24) возрастает пропорционально К. О поведении. других членов судить преждевременно. Тогда, предполагая обратимость матрицы А (что является несильным предположением), получаем Рха = ЬР66 (А ) — 1ххВ (А ) ° (4.75) Используя это соотношение, можно третье уравнение (4.71) записать в виде АР»6 +Р66А'-ВЬР66(А 1) — А 1Р66Ь В = = ВР хВ (А ') + 4 ' ВРхх  — АВ6А - ВВх В ° (4.7б) Здесь можно пренебречь третьим и четвертым членами выражения, стояшего в левой части равенства. Это обьясняется тем, что матричные коэффициенты при Р66 в первых двух членах согласно (4.24) возрастают пропорционально К, в то время как в третьем и четвертом онн остаются на прежнем уровне.
Следователъно, лри достаточно болъших значениях К вместо (4.7б) можно использовать соотношение АР66 +Р66А'=ВРххВ (А )'+А ' ВР„хВ' — АВ6А' — ВЯхВ ° (4 77) Теперь, подставив (4.75) в первое уравнение (4.71), получим (а — ЬА 'В)Р„„+Рхх(а — ЬА 'В)~ЬР66(А ~)'Ь'+ЪА 'Р66Ъ вЂ” Р~Д478) Умножая (4.77) слева на ЬА ', а справа на (А ')'Ь и заменяя на основе полученного равенства первые два слагаемых правой части соотношения (4.78), а также пренебрегая по аналогии с изложенным выше членами типа ЬА 'ВР„„В'.А з)'Ь', приведем (4.78) к виду (а — ЬА 1В)Р„+Рхх(а — ЬА 1В)= =-Яа — ЬЯ»Ь вЂ” ЬА 'ВВхВ (А 1)'Ь.
(4.79) Решение этого уравнения дает оптимистическую в указанном смысле оценку ковариацбонной матрицы вектора состояния обьекта Р„„при воздействии на объект случайных возмушений $ч и при наличии помех измерения вектора состояния 3х и вектора положения рулевых органов $г в виде белых шумов с мданными интенсивностями. Обратим внимание на то обстоятельство, что в (4 79) фигурирует произведение А 'В и, следовательно, решение (4.79) не зависит от выбора элементов матрицы К.
Свойства решения определяются параметрами объекта н выбором Т и 'Р в минимизируемом функционале. Воспользовавшись методикой [4.51, проанализируем в л и я н и е с л учайных изменений параметров на управляемое движение объекта. Эта ситуация можетиметьдвеинтерпретацни. Во-первых, обьект может иметь такой характер, что его матрицы а н Ь (в линеаризованном варианте) меняются во времени в некотором смысле случайным образом, в то время как прогнозирующая модель имеет на интервале [г„, тх +»Ьгх] фиксированные параметры. Во.вторых, при детерминированном измерении матриц объекта оценки их элементов, полученные в условиях шумов наблюдений на ограниченных по продолжительности движениях объекта и используемые для настроек модели, носат случайный характер, Хотя здесь источники случайности и особенности ее проявления различны, огра'ничимся рассмотрением лишь управления объектом х (я+8 )х+(Ь+8ь)8+$ч, 6 =и, (4ВО) где 3, и $ь — матрицы случайных составшпощих элементов соответствующих матриц объекта.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
