Батенко А.П. Системы терминального управления (1984) (1246767), страница 21
Текст из файла (страница 21)
На каждой 1-й итерации вычисляется приращение функционала М, = !'!, — 7ь которое по мере приближения к экстремуму уменьшается. При достижении желаемой точности синтеза. которая задается в процентах и вычисляется по формуле бч = (Ы;0; !).100%, процедура останавливается. Опыт решения практических задач показывает, что число итераций при заданной точности синтеза 1% обычно составляет 1 — 3. Следует отметить, что отличительной чертой данного метода является математически строгое удовлетворение краевых условий, так как исходя из этих условий вычисляются значения коэффициентов выходной функции системы, заданной в виде полинома ~ + ~~ — ~ х=- ~' С,!!. (5.4) !=о 97 ! Зак. 185! Первые г коэффициентов СО, С„..., С„, данного полинома зависят лишь от начальных условийсистемы и вычисляются по (4.8).
Они обеспечивают математически строгое соблюдение краевых условий на левом конце фазовой траектории. Остальные и коэффициентов полинома согласно (4.16) зависят как от начальных, так и от конечных условий: С =С гх<О! х!'! ... х!'-'! х!О! х!'! ... х!'-'! х!»2, х!'+'! ... »(О ' О '"'', О ' к ' к '"'' к ' к' к Х!»+ и — ! — ! )Ъ к )» г=г, и+1,...,г+п — 1.
Х1 = 11 (Х1, Х2, ..., Х», И1, И2, ." ~ Ит) Хг = 6(Х1 Хг " Х» Ит Иг " Ит) х„= !'„(Хг, хг, ..., х„, и„иг, ..., и ), (5.5) где и — порядок объекта; х„ х„ ..., х, — фазовые координаты; и„им ..., и — управляющие функции (т ( г); г„)'2, ..., !', — непрерывные функции фазовых координат н управлений. На управления, фазовые координаты н некоторые функции от иих наложены ограничения следующего вида: И! тсп ~( И1 ~( И! п»ах» Иг 1,(и,( Иг »пах.
Х! ~1„~ (Х1 ( Х! тах» Х2 т!и ( Хг (~ Хг так~ (5.6) Ит т!, И,„( и„ гр! т!и ( !р, (х„...., х, 1„(х,(х, „1(д»~г, Х„~ Х1 ° ° Х» И1 ° ° ° И»а) ~ (гР! тах» 98 Предположим, что в терминальной задаче требуется строгое удов- ЛЕтВОрЕННЕ КраЕВЫМ уСЛОВИяМ Х»ОО», 41!, ..., Х1,' '! — На ЛЕВОМ КОНЦЕ фазовой траектории, и х!"!, х!'", ..., х!' '! — на правом. Подставляя заданные граничные условия в выражения для С»э находим такие их значения, которые удовлетворяют заданным требованиям.
Свободные конечные условия х!'2, х!'+'2, ..., х!'+" ! подбираются такими, чтобы минимизировать функционал. Таким образом, в данной процедуре подбираются не сами коэффициенты полинома (5.4), а свободные граничные условия на правом конце фазовой траектории, которые определяют значения этих коэффициентов. Очевидно, что строгое выполнение граничных условий является особенностью данного метода, поэтому невязки по фазовым координатам в конечный момент времени Т не входят в функционал. В функционал входят лишь те физические величины, которые действительно необходимо оптимизировать: расход топлива, нагрев, перегрузки, время перевода и т. и.
Дадим математическую постановку задачи. Пусть объект описывается системой дифференциальных уравнений: фи его( орг(х„..., х„, х'„..., х„и„...,и ) < Ч)г гх грот)и ~ ()рь (х)~" х~ х)1" х, ип " и~)» )ргиих 1 (~ Й» оо. Задан функционал 1=1(х„...,х„х„...,х„и.„...,и ) (5.7) и граничные условия на левом (при 1 = 0) н правом (при 1 = Т) концах фазовой траектории; (ххо хго " ххо))=о О«ги «ги1 "' г Хти~ Хги Хги1'" 1 «ти хги~ Хги1"'1 хти "' г х)и ~ хги ~ ° в (х) (3 ) ,", хо)1) „ (5.8) где порядок з производных х~~„') не ограничен.
Требуется найти вектор-функцию управлений и (и„иг...„и ), минимизирующую на отрезке времени 10, Т) функционал (5.7) и обеспечивающую выполнение условий (5.6) и (5.8), наложенных на систему уравнений (5.5). Следует подчеркнуть, что при использовании алгоритмов случайного поиска учет ограничений любого типа не представляет никаких проблем. Если решение ие удовлетворяет системе ограничений (5.6), то оно считается неудачным и отбрасывается. Из ранее опубликованных подпрограмм такого типа можно указать на (51).
Единственным требованием при решении задач с ограничениями является следующее: начальное приближение должно удовлетворять этим ограничениям. Данное требование иногда трудно выполнимо. Поэтому используется следующий прием. Сначала решается задача без ограничений с функционалом, позволяющим «загнать» точку поиска в допустимую область. Затем решение продолжается с другим функционалом. Программа оптимизации терминальных управлений приводится в приложении 2. 5,2. Оптимальный вывод летательного аппарата на заданную траекторию Рассмотрим выведение летательного аппарата в горизонтальный полет.
На рис. 5.2 изображена схема сил, действующих на аппарат в полете. Предполагается, что управляющими органами являются тяга двигателей Р и поворот несущих поверхностей о). Приняты следующие обозначения: Н вЂ” высота; 1) — дальность; У вЂ” вектор скорости; 0 — угол наклона траектории; 6 — сила тяжести; г" = = (рБ)гг!2)(дСи1ду)~р — подъемная сила, направленная перпендикулярно продольной оси аппарата; Х = рЗ'ггС„/2 — сила аэродинамического сопротивления, направленная против вектора скорости.
4о 99 Будем считать, что вектор скорости )/ направлен вдоль продольной оси аппарата. В этом случае угол атаки сс == 0 и подъемная сила созда- ется за счет поворота несущих поверхностей на угол ср. Составим уравнения движения объекта: )гн = (г" з!п О и Я„гр соз Π— Х з!и Π— б)/ггг, 1/о = (гс соз Π— Д„ср з!п Π— Х соз О)/т, (5.9) и = )гн, В = Р„ где г;гт —— - (рБ)гс/2) (дСс/дср). Так как выходные функции объекта Н и й в дальнейшем будут за- даны и считаются известными, то из (5.9) найдем выражения для управлений. Перепишем (5.9) в виде и (Р— Х)з(пО 1-гф, созй =тй+О, (5.10) 'г' (г' — Х) соз 0 — ср!;г, з!п 0 = т0 и разрешим (5.10) относительно функций г" — Х и ср. Главный определитель системы д 1 зги О (сгг соз О Х ~ соз 0 — Яа з!п 0 При этом искомые функции будут иметь вид: В ! гггм-г П От со5 и Р Х вЂ” " "" — (лгй 4-6) з!п О+т0 соз О, (5.12) -Оа ср— ! мое ))+а соз О огО (тН+о) соз Π— ог0 Мп В (5.13) Ои е„ Из (5.12) получаем выражение для тяги двигателя Рис.
5.2 Р =. Х 4- (тН + Н) з(п 0 + тЕ) соз 9. (5.14) Угол наклона траектории, входящий в законы управления (5.!3) и (5.14), вычисляется по формуле О = агс!я (Н/Р). (5.15) Зададим выражения для выходных функций управляемого объекта; с+о — ! с+о — ! Н=- ~ Сг«,п=.;р В,./*', (5.16) г=о г=о где г — соответственно порядок математических моделей объекта, описывающих его движение вдоль осей Н и Е>; и — число конечных условий, налагаемых на выходные функции.
100 Предполагается, что объект стартует вертикально н через 30 с включается система выведения в конечную точку. Поэтому начальное фазовое состояние объекта в момент времени / = 0 принято таким: Но = 1000 м; Но = 70 мlс; Ро = 0 м; 1)о = 1 м/с. Требуется в течение 5 мин (Т = 300 с) вывести объект на высоту Н„= 20 000 м в горизонтальный полет: Н„== 0 м/с. Прн этом он должен уйти от точки старта на 50 км (О„= 50 000 м) и набрать горизонтальную скорость Йк =- 300 м/с. Управляемый процесс должен удовлетворять следующей системе ограничений, наложенных на управления н одну из фазовых координат — скорость объекта: -20' < ~1 ( 20', 0 «-.
г" ~ ~294300 Н, 0 .. Ъ' ( 320 м/с. (5.17) Ограничиваемые функции <р и г вычисляются по (5.13) и (5.14), скорость объекта вычисляется через ее продольную в вертикальную составляющие: )/=)/'И +Н . (5.18) Решим задачу трижды — с тремя различными функционалами, а результаты сравним между собой.
Первое оптимальное решение должно минимизировать квадратичный функционал / = ~ (йр Рз+ й (рз) й, (5.19) Ь причем время выполнения задачи фиксировано; объект должен быть переведен в конечное фазовое состояние за 5 мин (Т: = 300 с). Во втором и третьем случаях время перевода Т не фиксируется, а является одной из искомых переменных. Здесь имеется отступление от терминальной постановки задачи и сделано это с целью показать, что предлагаемый метод может использоваться для поиска оптимальных управлений и в тех случаях, когда время выполнения задачи неизвестно и подлежит определению.
Применение теории терминального управления для решения вариационных задач в самой широкой постановке имеет следующее преимущество; невязкн по фазовым координатам на нравом конце фазовой траектории в функционал не включаются, так как математически строгое соблюдение краевых условий гарантируется самим методом. Функционал при этом имеет ясный физический смысл и математически отражает то единственное требование к управлению, которое необходимо в максимальной степени удовлетворить.
Второе оптимальное решение должно обеспечить перевод объекта в конечное фазовое состояние с минимальными затратами топлива: г /=/~Р 1/. (5.20) о В третьем случае сделаем этот перевод максимально быстро: /=Т. (5.21) 101 Так как методика решения всех трех задач одна и та же, подробно опишем лишь первый случай. В приложении 2 приведем программу поиска оптимальных управлений по критерию минимума расхода топлива (5.20), Зададим точность синтеза управлений /з = 1%. Приняв г = 2 и п = 2, решим вначале краевую задачу. По (4.8) и (4.16) с помощью подпрограммы КОЕР вычисляются коэффициенты управляющих функций (5.16): Са =- !000; С, = 70; Сг =- 0,16667; Сз = — — 6,2963 1О ' Найдя вторые производные от (5.16) и подставив их в (5.13) и (5.! 4), получим терминальные управления, выполняющие поставленную задачу.
Зададим параметры объекта и атмосферы и проинтегрируем систему (5.9), Интегрирование производится стандартной подпрограммой ЯК (П1.6). При подготовке системы (5.9) к моделированию расширим се, добавив еще три дифференциальных уравнения: уравнение времени / == 1, уравнение расхода топлива 6 -- г/,Е и уравнение функционала (5.19). В дальнейшем, в том числе и в прило>кении 2, под системой (5.9) будет пониматься расширенная система уравнений. Пусть и =- 20 000 кг; 6 †- 196 200 Н; В = 70 м', С„ =- 0,3; дСз/дгр =- 3,3; р = 1,41 ° 10-з 1!м; р = 1,225 Н ° сг/и', д =- 1,3 10-' кг топл./ (Н/с). Плотность земной атмосферы задается в виде р = рве-ал, где и выражено в метрах 154].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
