Батенко А.П. Системы терминального управления (1984) (1246767), страница 22
Текст из файла (страница 22)
На рис. 5,3, 5А и 5.5 сплошными линиями показаны траектория движения объекта и графики управляющих функций ~р и Е, полученные в результате решения краевой задачи. Функционал (5.19) при /гр = — 10-' и /гч -- 100, соответствующий этой траектории, равен 2266,9. Таким образом, мы решили краевую задачу и нашли начальное приближение оптимальной траектории. Начнем улучшать эту траекторию.
Положив и = 3, добавляем по одному конечному условию и, следовательно, по одному члену в полиномах (5.16). Таким образом, добавляются два свободных конечных условия Й„и ь!з, которые следует подобрать из условия минимума функционала (5.!9). В качестве начальных значений подбираемых неизвестных задаем Й, = — 0,8 и г!„= 0,67333, которые получены при / =- Т = 300 с дифференцированием (5.16). Методом случайного поиска минимизируем (5.19). Найдены следующие оптимальные значения подбираемых конечных условий: Й„=- = — 1,063885; /7„= — 1,879871. Коэффициенты управляющих функций(5.16) приэтомследующие: Со = 1000; С,=70; Сг=3,47244 10-'; Сз = 2,4999 10; Сз = — 1,466 10; Вз = 0; Вг — — 1; Вз = 0 6166' Вз = 8 15142 !О з' Вз = ! 41845 10 Функционал уменьшился на 15,73з и стал равен 1910,7.
Так как уменьшение функционала составило более 13з (заданная точность синтеза), то необходимо произвести вторую итерацию. Добавляем еще по одному свободному конечному условию Н„и б„(и = 4). В качестве начальных значений добавленных подбираемых параметров задаем Н„= — 9,055469 !0 з и Вз = — 5,322 10-', которые получены при / = Т = 300 с дифференцированием (5.16). 102 Во второй итерации из условия минимизации функционала (5.19) подбираются четыре свободных конечных условия Й„, Н„, в)„, )9„. Их найденные оптимальные значения таковы: Й„= 0,2827673; Н» = ! = 0,04378; б„ = — 0,259966; й„ = — 0,0813. Коэффициенты квази- оптимальных управлений равны: Св = 1000; С, = 70; Сэ = — 0,5871' дви га 15 Ю 1б 14 1г и в б Ц г 55 Цб 45 Дин -г -б -б 5 15 15 25 2555 Рис.
З.З Рис. 5.4 Сэ = 0,8712362 10 э; Св = — 0,37155 . 1О "; С = 0,47967 ° 10-'„ Вв = 0; В, = 1; В = — 0,292; В = 0,371 1О-'; В = 0,4632 10-', Вэ = — 0,2535 . 10-'. Во второй итерации функционал уменьшился на 2,8% и стал равен !857. Так как уменьшение функционала превысило 1%, то производится третья итерация.
Добав- эдн ляется еще по одному свободно- 55 бб Рб 125 155 155 г15 245 ггб 5551. Рис. ЗЛ таковы: Н 0 282888' Ни = 0 043744' Ни = 0 789483 ' 10 э' Ьи = = — 2,5997; Е) „= — 0,081283; В „= — 0,77685 ° 10-э. Параметры квазиоптимальных управлений равны: Св = 1000; Св = 70; Сэ =- = — О 745922' Сэ = О 01084' Св = О 4782 !О ' Сэ = О 7!741 Х Х 10-' Св = — — О 198754' 1О "' Вв = 0' Вв = 1' Вэ = — Ое2049' Вэ = = 0,253868 ° 10-э; В, = 0,104974 ° 10-'; В, = — 0,38447 ° 10-' Вв = 0 109659, 10-эв Функционал уменьшился на 0,26%, что меньше заданной точности 103 му конечному условию Й„ и Т1и (и = 5). Дифференцированием (5,16) вычисляются конечные значения (при г = 300 с) Н„ = = 0,835! ° 10 э и .0и = — 0,8 Х Х !О-э, которые принимаются в качестве начальных значений добавленных подбираемых переменных.
В третьей итерации подбираются шесть свободных конечных ус- ловий Ни, Н„, Ни, Йи, 11„, Ви. Их найденные оптимальные значения Число подбнраемых конечных условий Номер итера- ции Расход тоилвва, кг Уменьшение функционала, тй 680,572 653,299 653,089 653,070 4,0074 0,0321 0,0029 Уменьшение функционала в третьей итерации оказалось меньше заданного (Ь = 0,003%), и процедура оптимизации завершила работу, Длительность оптимального процесса оказалась равной Т =— = 292,2 с. Интересно отметить, что в процессе поиска решения длительность процесса сокращалась до 261,1 с, но расход топлива при этом был более найденного окончательного значения.
Как видно из табл. 5.1, основное уменьшение функционала произошло на первой итерации, последующие итерации уменьшили функционал на 0,0336%. На рис. 5.6 — 5.8 сплошными линиями показаны траектория движения аппарата, а также функции управления тр и р, полученные в результате решения краевой задачи (нулевое приближение). Там же штриховыми линиями показано оптимальное по расходу топлива решение. Как видим, полученные управляющие функции вышли на верхние ограничения, задаваемые системой (5.17). Найдем теперь управления, оптимальные по быстродействию, доствляющие минимум функции качества (5.2! ). Зададим требуемую точность синтеза Л = 0,!ото.
Решение найдено за одну итерацию. Оптимальный по быстродействию процесс длится 261,097 с. На рис. 5.9 и 5.10 штриховыми линиями изображены оптимальные по быстродейст- 104 синтеза (1%), поэтому дальнейшее усложнение управлений не имеет смысла. Процедура синтеза на этом заканчивает работу. На рис. 5.3, 5.4 и 5.5 штриховыми линиями показаны оптимальная траектория движения объекта и оптимальные управляющие функции ф и г'. Как видим, они не достигли предельных значений, заданных системой ограничений (5.17), Повторим решение задачи с функционалом (5.20), представляющим собой расход топлива. Время перевода объекта из начального фазового состояния в конечное сделаем переменным параметром, подлежащим определению.
В качестве начального приближения(нулевой итерации) возьмем, как и прежде, результат решения краевой задачи при Т = = 300 с. Зададим точность синтеза управлений Л = 0,003оо. В табл. 5.1 представлены результаты решения задачи. На первой итерации подбирались значения двух конечных условий Йк, Й„ и длительность процесса Т. На второй итерации подбирались Йн, О„, бк, 77к, Т, На третьей — Й„, Ёк, О'„, Й„, 1.'"хн, Бк, Т. Таблица 5.1 Минимизации расхода топлива вию управления (там же сплошными линиями показано нулевое приближение). Приняв оптимальный расход топлива за 100%, сравним найденные решения по этому показателю: траектория движения аппарата, доставляющая минимум функционалу (5.19), имеет расход топлива 112,8%, а оптимальная по быстродействию — 103%, Переход к законам управления с обратной связью осуществляется согласно методике, изложенной в $ 4.2. Примеры построения замкнутых систем управления содержатся также в 3 4.6 — 4.9. В заключение сделаем ряд замечаний.
В системах управления, реализующих заданное движение, управляющие функции, фазовые координаты, подынтегральиые выражения функционалов, а также любые гю г~ 17 ~п Х сп зл ~ю ~ю гоп г~а гт г, с Рис. зла функции от управлений и фазовых координат выражаются аналитически через заданные выходные функции. Поэтому для вычисления функционала и проверки ограничений нет необходимости интегрировать систему дифференциальных уравнений обьекта. Ограничения типа (5.1?) проверяются в интервале (О; Т) с определенным интервалом, задаваемым пользователем. В зависимости от гладкости функций, входящих в систему ограничений, оии вычисляются с интервалом 5 — 20 с.
В этих точках проверяется выполнение ограничений. Функционал вычисляется также ускоренным способом, описанным в приложении 1 (П1.10). Это существенно экономит машинное время. Решение оптимизационной задачи иа ЕС-1033 требует обычно не более 30 мин машинного времени. Так, оптимизация расхода топлива заняла 18 мии, а управления, оптимальные по быстродействию, найдены за 4 мин.
Попытки ускорить работу алгоритма применяя другие методы оптимизации к успеху не привели. Например, для минимизации функции восьми переменных методом сопряженных градиентов потребовалось в 11 раз больше машинного времени, чем при применении приведенной в приложении 1 подпрограммы случайного поиска ОРТ!М. Подчеркнем также, что алгоритм случайного поиска позволяет налагать на систему любые ограничения.
Поэтому его можно использовать для одновременной оптимизации как управлений, так и самого объекта, приняв часть его конструктивных и энергетических параметров в качестве искомых переменных. Можно ожидать, что одновременная оптимизация как САУ, так и самого объекта даст больший выигрыш, чем оптимизация одних управлений. ПРИЛОЖЕНИЕ 1 СТАНДАРТНЫЕ ПОДПРОГРАММЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ЗАДАЧАХ СИНТЕЗА ТЕРМИНАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЙ Ниже помещены стандартные подпрограммы, которые необходимы для синтеза терминальных управлений и моделирования движения управляемых объектов. Все подпрограммы написаны на языке Фортран, имеющемся в математическом обеспечении ЕС ЭВИ.
Как показывает опыт работы на ЕС ЭВЛ(, все подпрограммы должны работать с двойной точностью. П1.1. ПОДПРОГРАММА ВЫЧИСЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПОЛИНОМА, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ ЗАДАННЪ|М КРАЕВЫМ УСЛОВИЯМ Подпрограмма предназначена для вычисления коэффициентов С; (| = О, г+з — | 1, ..., г+ л — 1) выходной функции, заданной в виде полинома х (!) = ~~ с; гг, г=о где г — число начальных, а и — число конечных условий. Она реализует рекуррентное соотношение (4.16) и формулу (4.8). Обращение к подпрограмме САЕЕ КОЕЕ (7Е, ЛГ, Т, Хв, ХК, С). Здесь !Š— число начальных условий; Л| — число конечных условий; Т— заданный момент времени, к которому относятся конечные условия; Х 9 (!Е)— массив начальных условий размерности! Е.
в котором последовательно помещены значения выходной функции и ее производных в начальный момент времени 1= О: ХО (1) =х„ХО (2) =хьч ХО (3) =х',, ..., ХО (!Е) =хе'Л вЂ” '|; ХК(Л!) — массив конечных условий размерности Лг, в котором последовательно помещены значения выходной функции н ее производимх в конечный момент времени ! = Т: ЛЛ (1) =хи, ЛЛ (2) =-хя, ЛК (3) — хг ... ЛК (!У) — х С(7Е + Л|) — массив размерности !Е + Лг, в который подпрограмма поместит вычисленные значения коэффициентов плинома Сю См С, ..., С,+ч Длина подпрограммы — 45 операторов.
Подпрограмма использует две подпрограммы-функции: Е(18 и Е!)к. Ниже приводится текст подпрограммы КОЕЕ. Подпрограмма-фуакция Е(ТЕ служит для вычисления произведений следующего вида: (КЛ!) (К)т'+ 1) (КЛГ+ 2) ... (КК), Обращение к подпрограмме Е(78 (КгГ, КК). Покажем ее применение на примерах. Пусть требуется вычислить О!, 1|, 3|, 10!, 4-5.6 7.8, 15.16 17.18-19 и присвоить полученные значения переменным А, В, С, !), Е, Е. В программе необходимо написать следующие операторы: А = Еиз (1, 8); В = Еи5 (1, П; С = Е(75 (1, 3); Г! = Еи5 (1 19); Е = = Еи8 (4, 8); Е= Е(75 (15, 19).' 107 Длина подпрограммы-функцнн Р(!5 — 9 операторов.
Ниже следует ее текст. РОИСТ(ЬИ Р03(КйзКК) СОЦВ(.Е РЙЕС1310й Р03 Р()3вКИ 1Р(КИ КК)1ю3!3 1 1йвййе! СО й (и(йеКК Е03вР03е( ЙЕТВЙИ ЕИЬ Подпрограмма-функция Е)2Й служит для вычисления дробей следующего вида: М!/)т1. Обращение к подпрограмме РО)2 (М, Л/). Подпрограмма использует подпрогрючму-функцию Р(г5. Длина подпрогрючыы — 9 операторов. Ниже следует ее текст. РВИСТ10И РРЙ(йзй) С008СЕ РЙЕС!3!Ьй РЬЙ!Р03 РЬЙв!э06 1Р(й-й) Е ° 3 1 1 РЬЙВР(!3(йе1 и) 00 ТО 3 э РЬЙВ1,0агр()3(й 1!И) 3 ЙЕТ!!Йй ЕИЬ П!.2. ПОДПРОГРАММА ВЫЧИСЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПОЛИНОМА В РАЗВЕРНУТОМ ВИДЕ В 4 4.2 приведены формулы (4.10) и (4.11) для вычисления коэффициентов выходной функции (4.5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
