Соловьев Ц.В., Тарасов Е.В. Прогнозирование межпланетных полетов (1973) (1246634), страница 9
Текст из файла (страница 9)
42 Параболическое движение КЛА — это предельный случай эллиптического или гиперболического движения. В действительности параболическое движение как тип движения может существовать только одно мгновение, переходя под действием даже очень малых возмущений в другой тип: эллиптический или гиперболический. Однако в теоретическом плане параболическое движение и параболическая скорость, определяемая по формуле 1т,= ! , представляет определенный интерес, позволяя ,Г 2Ул!о ~/ р. ' выявить предельные характеристики движения искусственных спутников планет и минимальные энергетические возможности межпланетных полетов. В случае параболического движения, поскольку (т,= р — вч' и в=1, согласно (1.
3. 34) получим Г 2~т~ ~/ !т. Система элементов Лю Г, и 1, Пусть в качестве элементов орбиты используются радиус-вектор Л, и вектор скорости Г, в момент окончания работы двигательной установки йю По интегральным соотношениям (1.3. 11) и (1. 3. 20) и связи (!. 3. 32) определим значения постоянных интегрирования в виде 7„„=Р,'э(С„„— ~т, — ', е улэк — (у 0)2 ик э Скк (1. 3.
43) Далее можно найти и некоторые кеплеровские элементы орбиты (см., например (13, $3 гл. 1У)): фокальный параметр р, эксцентриситет е и большую полуось орбиты а по следующим зависимостям: ФаХ" а) 1 + !узах|ге( (~> 1 ) (1. 3. 44) р р ( ' )' и ~юо, (13.43 эгле 2 У~~ М э Ра причем !гт,',к, Г,~ = гс, 'ьг, соз 9, = 1/ (гг 'эг,)э — (гт', Ь',)' (1. 3. 46) и — — ~(0 4 — (рис. 1, 3. 5).
Элементы р, е и а характеризуют 2 2 форму и размеры орбиты. Учитывая определение истинной аномалии, найдем соз та = — ~ ' ' — Угпэ ! (Ю,ХР.)' утлое ~. Йа (1.3.47) Я,Х Га! ушаеЭ~а * Значение а(0 соответствует гиперболической орбите, условно представляемой в виде мнимой эллиптической (эллипс с отрицательной большой полуосью и мнимой малой полуосью), что позволяет формально перенести на гиперболическую орбиту все соотношения, полученные для движения по эллиптической орбите. 43 Решая уравнения (1. 3. 31а) и (1.
3. 31б) относительно единич- -о -о — о ° -о ных векторов Ви к н 1 =Си ~си Йи к Ври заданных Ли, 1и и ци получим (1. 3. 48) р 1') ягор (1. 3. 49) р р 1™ор -о Здесь следует иметь в виду, что вектор е,к направлен из центра небесного тела в перицентр орбиты, а вектор Г перпендикуля- Рис. 1. 8. б. Орбитальная колярная система коор- динат: о — истинная аномалия; й— расс сякив ст Квктри ивбвс. мого тела до КЛА )тоски А) рен к нему в плоскости орбиты при правой системе координат (рис. 1. 3.
6). Интересно отметить, что радиус-вектор перицентра орбиты Л. выражается формулой д = а + соя " †) — з Г р Ла м" ка 1;, (1. 3. 50) 1+ а $/ 1гно (1+ е) легко получаемой из уравнения (1.3. 48) после умножения левой и правой ее частей на Як с учетом равенства р=Лс(1+е). Рис. 1. 3. б. Орбиталоная система координат и ее орты Обращаясь опять к уравнениям (1. 3. 31а) и (1. 3.
316), можно с учетом полученных соотношений (1.3. 48) и (1. 3. 49) представить зависимость текущих значений радиуса-вектора Л и вектора скорости т' от Л„ Г, и разности (е — е,) в виде — Л ))а Я= 1 — — 11 — соз(е — ои))~Й,+ ' з(п(ю — ю,)1т„ р (1. 3. 51) 44 — ( (Е,.17,) ! / ~ , [1 — СО5 (Ю вЂ” Юа)] — — — 81П (Ю вЂ” Оа) /\а + [ Е. ' Еа ]Г + [1 — — ' [1 — сов (и — та)]~ Р,. (1.
3. 52) Р Выражая сов о=сов[(о — о,) +о,] и учитывая зависимость (У е(о) е( 1/ о еяпц е' Р запишем для удобства вычислений радиуса Я полярное уравнение орбиты в следующей форме: Фг— Эллиптическое движение Имея в виду определение эксцентрической аномалии Е (см. рнс. 1. 3. 3), получим /с=а (1. 3. 55) (1 — е сов Е), У1 — ев вп е яп о= 11 — е сов Е сов Š— е сов и= 1 — е соз Е (1. 3.
56) (1. 3. 57) е+ саво . 1'! — ев в1п о сов Е= з1п Е= 1+ е сов и 1+ е сов о поэтому можно написать: созЕ= — ~! — — ~, япЕ= . (1.3.58) 1 е ЯЪ . ЯЬ' е ~ а~' еУ~тоа Последние соотношения позволяют уравнение (!.3.35а) после ряда преобразований представить в следующей форме [7, 9 2, 6]; и (1 — Ца) = (Š— Еа)+ " " [1 — сов(Š— Е,)]— У/тоа — (1 — — '1 яп (Š— Е ). а ! (1. 3. 59) 4з I р / р 1 + ~ — 1/ соз (о оа) — ] / (Еа 1' а) $1п (и па) Ьа яа ]е уто (1.3. 54) Для определения зависимости текуших значений Я, 1с и е от времени полета ! при заданных Л„К, и 1, необходимо обратиться в зависимости от типа движения к уравнениям (!. 3.
35а), (1. 3. 37а) — (1. 3, 39) и (1. 3. 4!). Однако можно получить н другие более удобные для вычислений зависимости )7 и $' от 1 при заданных Л„ (7, и („ которые, правда, будут непосредственно связаны с конкретным типом движений. Подставляя в уравнения (1. 3. 31) и (1. 3. 48), (1. 3. 49) значения созе и 5!по согласно (1.3. 56), после некоторых преобразований уравнения (1.3.31) выразим в виде Д = (1 — а [1 — соз (Š— Е„)]] Р„+ Р, "1 + ~(! — ! ) — — [(Š— Е,) — 5!и (Š— Е,)]~ р'„(1.3. 60) и Ь'= — 5!п (Š— Еп) На+ [1 — — [1 — со5 (Š— Еа)1] Ь а. — $' ~щ,а (1.
3. 61) Гиперболическое движение Аналогичным образом, учитывая уравнения сс=а(есЛ Н вЂ” 1), (1. 3. 62) СОзи= (1.3. 3 5)по= ', ( ..6 ) есЬН вЂ” ! еск Н вЂ” ! 1,Н е+соео,),Н 1 е' — ! е!но (1 3 64) !+есоео !+есоео преобразуем уравнения (1.3.31) и (!. 3. 37а) к виду л(1 С~))[Л(НН)1]+ г' Ут~а +(1+ — 1 5Л(Н вЂ” Н ) — (Н вЂ” Н,), (1. 3. 65) а/ Я = [1 — — [сЛ (Н вЂ” Н,) — 1] ~ Д, + а -[- ((! — !,) — ! [5Л (Н вЂ” Н,) — (Н вЂ” На)]) У„(1. 3. 66) л Г= — "~~' Л(Н вЂ” Н,) А.+(1 — — '[ Л(Н вЂ” Н,) — 1[)Р.. (1.
3. 67) Таким образом, по значениям кинематических параметров в конце активного участка можно определить положение КЛА, скорость и ее составляющие в каждый момент времени. Существует взаимно однозначное соответствие между совокупностями кинематических параметров в конце активного участка и постоянными интегрирования и кеплеровскими элементами. 46 Движение КЛА по околоплаиетным орбитам в нормальном гравитационном поле В ряде задач межпланетного полета КЛА должен выйти (или сойти) на эллиптическую или круговую околопланетную орбиту.
Выбор ее характеристик неразрывно связан с расчетом межпланетной траектории полета. Кроме того, в случае требования определенного времени пребывания КЛА на орбите возникает задача о прогнозировании его движения, поскольку элементы орбиты со временем изменяются под влиянием действительного гравитационного поля планеты. Поэтому прогнозирование движения КЛА по околопланетной орбите является неотъемлемой частью задачи расчета межпланетных траекторий полета. Для уровня точности прогнозирования движения, требующегося для задач проектирования орбит, вполне можно воспользоваться представлением нормального потенциала планеты в виде соотношения (1.!.
11). Тогда в векторной форме дифференциальное уравнение относительного баллистического движения КЛА в нормальном гравитационном поле планеты согласно (!. 2. 3) представим следующим образом: (1. 3. 68) где причем гбп о=гхм ч~~ зт;, у (гхм з',)= — ~Ез — (1те зз) Ам~; у)т =Йе;(1.3. 69) й г; — единичный вектор вдоль оси симметрии. В работах М. Д. Кислика [24, 25] было получено точное решение данного уравнения движения *, которое является следующим приближением по сравнению с теорией кеплеровского движения в описании действительного околопланетного движения КЛА в пространстве без атмосферы. Используя первые интегралы, полученные М.
Д. Кисликом, можно довольно точно, исключая влияние аномалий силы тяжести и возмущения от Солнца, прогнозировать движение КЛА. Для задач проектирования околопланетных орбит главное в прогнозировании — изменение характеристик движения за период обращения. Поэтому, представляя каждый раз через период (пе- ' Система дифференциальных уравнений возмущенного движения искусственного спутника планеты и общем случае не может быть проинтегрирована в замкнутом виде. Однако имеются различные пути получения приближенных решений, описывающих движение спутника в нецентральном гравитационном поле.
В настоящее время известно довольно много таких приближенных способов. См., например [!О, !?!. 47 риоды) обращения орбиту эллиптической, пойдем по пути сравнения ее элементов с исходной эллиптической орбитой, построенной по начальным данным условий перехода КЛА на орбиту около планеты. Изменения элементов орбиты за период обращения называются вековыми изменениями (возмущениями). Анализ указанных интегралов уравнений движения строго пока.
зал отсутствие вековых возмущений элементов начальной орбиты КЛА р, е и ! и существование .вековых изменений элементов (4, !о и т, подчиняющихся следующим условиям *: л ~Н? палл — = — 2./ — соэ 1, кд! рл (!. 3. 7О) (1. 3. 71) !!2 — (5 соз' ! — 1), о'Ф рз * См. [28], формулы (11!), (!20) и (!ЗО).
48 — = †.У вЂ” '"1 ~ (1+5созл(1, (1,3.72) лх! рл У У аа и лт где — , — н — — изменение элементов й, о! и т за один лм ох! кю оборот КЛА. Погрешность формулы (1. 3. 71) растет с уменьшением е и достигает максимального значения (величины порядка е'= =И„, /рз) при е(ез). К таким орбитам применять формулу (!.3.71) нельзя, так как ошибка достигает того же порядка, лм что и сама определяемая величина †.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
