Соловьев Ц.В., Тарасов Е.В. Прогнозирование межпланетных полетов (1973) (1246634), страница 12
Текст из файла (страница 12)
2. 3) Зная начальные условия хо, уо, го, У„, У„,, У„, по известным формулам определим элементы перелетной орбиты космического аппарата: а, е, й, й ~о, что позволяет ~в зависимости от времени перелета М найти координаты КЛА в конечный момент х„, у„, л„ и определить расстояние между КЛА и планетой назначения по формуле пгад дУ~= ~ —, ~ам ам~ ~ дг дт) то для нахождения минимума следует двигаться по направлению, противоположному градиенту.
Шаг по параметрам О и у находят по формулам джей/д5 а л '(и ца) (олгаз) дай!дт ы~~ ~(ю и~и) (ан~щ) Этот шаг автоматически регулируется по мере приближения к решению. После 5 — 6 шагов процесс обычно сходится к заданной точности по ЛР (М„„,=)ООО км). Таким образом, для заданной даты старта 10 и У 0 определяются Г, (1 и у, формирующие попадающую траекторию. При аппроксимации оптимизи- 61 йй= У (х„„ — х„)' + (у„„ вЂ” у„)'+ (з„, — з,)' . (2. 2. 4) При увеличении времени полета (от АГО=О) величина промаха А)т при фиксированных значениях й и у будет иметь минимум при некотором значении М=АГ . Изменяя определенным образом значения р н у, можно уменьшить промах ЛЯ до заданной точности попадания ЛР„,„(рис.
2. 2. 2). Таким образом, задача сводится к определению искомых величин Л1, й,„, у . Существует несколько методов для решения такого рода задач. Исследования показали, что сходимость поиска улучшается, если использовать комбинацию градиентного метода наискорейшего спуска по параметрам р и у с перебором Ы.
Суть алгоритма состоит в следующем. Если АР=А)г(р, у) — оптимизируемая функция и руемой функции параболой по трем точкам время вычисления сокращается. Изменяя дату старта сь, можно определять величины Ы, р и у, соответствующие изолинии заданного модуля вектора скорости (рис. 2. 2. 3). При построении замкнутой изолинии с какого-то момента 5 для Го при заданном $с ь попадание не будет обеспечено (процесс поиска сходится к АР)Л)тп„). В этом случае осуществляется поиск точки б (см.
рис. 2. 2. 3), лежащей на вертикальной касательной (возврат с дроблением шага бсо). После этого знак из- Рис. 2.2. 2. Скема вычислительно. го процесса метода попадакпцик траекторий Рис. 2. 2. 3. Скема вычислительнпго процесса построения изолиний карактеристики траектории полета менения шага бсь меняется на обратный н рассчитываются точки 7, 8 и т. д. Процесс поиска в последующих точках существенно сокращается, если в качестве нулевых приближений использовать параметры Ы, р, у предыдущей точки. Такой алгоритм построения изолиний обеспечивает унимодальность области градиентного метода поиска. Таким образом может быть рассчитано поле изолиний траекторий полета по 1-му полувитку (угол перелета Ф(п).
Для расчета поля изолиний 2-го полувитка (Ф)я) значение сзсо в процессе поиска точки изолинии должно выбираться таким, чтобы первая траектория заведомо оказалась в области траектории второго полувитка. Аналогичным образом, не меняя логики метода, могут быть построены и изолинни других параметров (р и у). Использование метода попадающих траекторий позволяет определять начальные кннематические параметры гелиоцентрического участка перелета и в точной постановке с учетом конечных размеров сфер действия планет и влияния различных возмущений. 62 $ 3.
ПРИВЛ ИЖЕННЫИ МЕТОД РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕННИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ УПРАВЛЯЕМОГО ДВИЖЕНИЯ КЛА Если взять интегралы в правых частях уравнений (1. 3.6), (!. 3.!0) и (1.3. 19), т. е. определить А„, с! и е„в функции от кинематических параметров, относительного текущего веса и и начальной тяговооруженности п0 КЛА, то соотношения (1. 3.
7а), (1. 3. 11а) и (1. 3. 17) явятся базой для анализа проектно-баллистических характеристик КЛА. При заданном законе управления вектором тяги получить такие решения точно можно только одним из численных методов, причем результаты будут зависеть от начальной тяговооруженности и, и конечного относительного веса р„. Все это затрудняет проведение анализа проектно-баллистических характеристик КЛА. Для выявления же оптимальных проектно-баллистических характеристик КЛА необходимо обратиться к теории оптимального проектирования летательного аппарата [43, гл. 11Ц, базирующейся на вариационном исчислении и численных методах решения краевой задачи. На начальной стадии проектирования особенно заметна основная слабость чнсленпых методов, заключающаяся в том, что, давая довольно точные ответы, они мало вскрывают сущность задачи.
В стадии предварительного проектирования КЛА и начальных разработок траекторий межпланетного перелета наиболее важно, чтобы конструкторы и расчетчики изучили существенные аспекты приближенных решений, что поможет им выявить определяющие элементы и параметры и найти рациональные пути осуществления общей идеи проекта. Здесь важную роль могут сыграть приближенные методы решения дифференциальных уравнений управляемого движения, степень точности которых должна удовлетворять требованиям предварительного проектирования.
Предварительный анализ межпланетных траекторий полета КЛА основывается иногда на импульсной аппроксимации, не учитывающей конечную длительность активных участков в сфере действия планеты и заменяющей конечную тягу, прикладываемую в течение определенного времени, импульсом тяги нулевой длительности, приводящим к скачкообразному изменению скорости полета. Однако импульсная аппроксимация не всегда отвечает требованиям точности и не позволяет выявить влияние такого важного основного параметра КЛА, как начальная тяго- вооруженность пм на проектно-баллистические характеристики.
Более плодотворными и охватывающими более широкий круг требований являются методы, основывающиеся на приближенных приемах вычисления определенных интегралов. бз Активный участок разгона КЛА В конечной точке активного участка полета значение Ь , согласно ( !. 3. бб) пк И„„= И, — 2%' ] ( р о)г( (п р. 1 После интегрирования по частям найдем (л р)а Ь.„=И,— 2)Р' [(р о)л!пр„— ] (прг((р.о)].
(лче)о В случае непрерывного увеличения (уменьшения) скалярной величины (р о) по времени, используя теорему о среднем *, получим И„„'= Ьо — 2Ю [р "и), 1п р„— а, 1п р„[(р о), — (р о)о] ), (2. 3. 1) где ( пи)е (1п )г), — промежуточное значение 1п )ь на интервале [(р й) о, (Р'р) ). Тогда интеграл энергии управляемого движения (1.3. 7а) для момента окончания активного участка представим в виде чг' — — ~ ~ =Ьо — 2 [(1 — а,)(р.о),+а,(р"о)о] Ю'!пр„.
(2.3. 2) ге Аналогичным способом преобразуем и векторный интеграл момента количества движения (1.3.1!а). В результате интегрирования правой части уравнения (1. 3. 10) найдем С„„=С,— Ж' [(г Р,р), 1и р„— а„1пр„[(гХ, р),— (г Х, р), (2. 3. 3) где (1 р) . 1п,к (1п р) — промежуточное значение 1п)ь на интервале интегрирования [(гХр)о, (гХр)е). Учитывая (2.3. 3), векторный интеграл момента количества движения (1.3.
11а) для момента 1, представим формулой (гр', о),=С,— [(1 — а )(ги','р),+а (г~)~ р)о] Ю'(пр.„. (2.3.4) е См., например, Г. М. Фихтенгольц. Основы математического аналиаа, т. 1, ГИТТЛ, 1956 (5 а гл. Х1), 64 Поскольку промежуточные значения (1п р), н ()п !г)ш определены в области 0(( — 1пр),(( — !пр,)с О~(( — 1пр),„(( — 1при), то функции а, и а могут изменяться в пределах О(а,(1, Ос а (1. (2. 3. 3) При точном представлении а, и ав, от )п рн (или !и р) соотношения (2. 3. 2) н (2. 3. 4) являются точными *. К сожалению, получение такой информации связано только с вычислением интегралов (1.
3. 7а) и (1. 3. 11а), что равносильно численному интегрированию системы. Однако возможен другой путь: построение приближенных зависимостей а, и а от р„и ло при различных законах изменения вектора тяги. В этом случае соотношения (2. 3.2) и (2. 3. 4) будут уже приближенными, причем на их точность влияет определенным образом точность построения зависимостей а, и а . Исследования показали, что при широко используемых законах изменения вектора тяги точность построения зависимостей ар и а от ри и ло в диапазоне их реальных значений для КЛА с ЖРД слабо влияет на точность решения интеграла энергии 'и векторного интеграла момента количества движения, представляемого в виде соотношений (2.
3. 2) н (2. 3. 4). Поэтому данный метод приближенного решения дифференциальных уравнений управляемого движения КЛА является удобным и наглядным и позволяет достаточно просто достигнуть требуемой для проектных разработок точности определения проектно-баллистических характеристик КЛА. Перейдем к рассмотрению приближенных решений соотношений (2. 3. 2) и (2. 3. 4) при известных законах управления вектором тяги.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
