Соловьев Ц.В., Тарасов Е.В. Прогнозирование межпланетных полетов (1973) (1246634), страница 11
Текст из файла (страница 11)
1. 12) вы числить дд„р. Если заданное д!ьь удовлетворяет неравенству д!1, (дг„.р* (2. 1. 13) то переход из точки В~ в точку Лг возможно осуществить только по гиперболической орбите; если же дг, ) дг„,, (2. 1. 14) то перелет может быть реализован только по эллиптической орбите. Граничная эллиптическая орбита (см. рис. 2.1. 2д) характерна нахождением свободного фокуса Р* на хорде, соединяющей точки В1 и Яь Фокальное свойство эллипса позволяет написать К,+Р'"А,+ К,+Р*А,=4а и тем самым ввиду Р*А~+Р*Аь — — с найти значение большой полуоси граничной эллиптической орбиты: а = — Я,+7~',+с). (2. 1. 15) Следует отметить, что а — наименьшее значение большой полуоси, при которой еще возможна при заданных Л1 и Ль эллиптическая траектория. Для граничной траектории время перелета согласно (2. 1.
7) и (2. 1.3) выражается формулой аЬГ2 дГ,„= [(2Ф+1)я — з!дп(з!п Ф)(Ь вЂ” ейпЬ)], (2.1.16) Ь Р1+ЛЬ вЂ” С Ь Л причем ебп — = 1Ьг — (— %1+ !1ь+ С 2 2 Значение М при выполнении неравенства (2.1.14) позволяет выяснить вид эллиптической траектории. Исследования при й!=0 показывают [50, $8. 6, 8. 7], что при удовлетворении заданного д!ь ь неравенству Д(ьь ( М. (2. 1. 17) перелет КЛА возможно осуществить только по эллиптическом траектории первого рода; если же д'ья ) д~ (2. 1. 18) то реализация перелета возможна только по эллиптической траектории второго рода.
Таким образом, уравнение Ламберта (2.1.6) можно представить в виде ьа ДГьь= [и+з!дп(Д1 — ДГ, )(ь — ебп ь — и)— Ь~ У~ио — з!яп(з(п Ф)(Ь вЂ” з(п Ь)]. (2. 1. 19) 56 д~г ~ д'1.2 1~~11.1) д"1,2 где д|г — минимально возможное д! при |у=й. Тогда число возможных решений уравнения (2. 1. 7! равно 2Й (50, $8. 7!. Определение векторов скорости У1 и Гг. В результате решения уравнения Ламберта вычисляется большая полуось орбиты а. Остальные элементы орбиты и ее положение в пространстве оп.
ределяются уже значительно проще. Для решения этой задачи вполне достаточно найти вектор скорости в начальной точке Гь т. е. свести задачу к определению орбиты по начальным данным В1 и Гь которая уже решена в $3 гл. 1. Полезно иметь также зависимость вектоРа скоРости в конечной точке Гг от Л1 и Вг. Обратимся к формулам (1. 3. 60) и (1. 3. 6!). Имея в виду равенство (2. 1.9) и новые обозначения, представим их в следующей форме: а УЦ2= 1 — — (1 — соз д) 1Г1 + дгг 2 — (д — з|П д) Ь о 1 Га~ 1' Угага .
— Г а Г~ = — з!и д юг+ [1 — — (1 — соз д)~ Г~г, Р1рг В2 причем согласно ранее изложенному при ДГ= О имеем- д= и+з!дп(д! — д! ) (г — и) — з!дп(з|п Ф) Ь. (2. 1. 20) После преобразования получим Г =Агг — ВЯ1, Гг=ВР,— СТг„ (2. 1. 21) (2. 1. 22) где агтг 1 — 1 А= д11 — (д — з!п д)~ 21 Ужо В,=А[1 — — '(1 — созд)1(, В,=А)1 — — '(1 — созд)~, |!! 3 ! лг С= з|п д+В, [! — — (1 — соя д)~ . г'/в~а . Г а ГГ1|72 |!, (2. 1. 23а) При д()! решение обобщенного уравнения Ламберта (2. 1. 7) неоднозначно. Однако при д|1,2(д! и заданном 12' эллиптические траектории второго рода реализоваться не могут. Кроме того, можно показать, что если для заданных значений Вь Лг и Д(1,2 решение возможно при каком-то 12'=|Ух, то оно возможно и при любом М(ДГ1. Пусть й — наибольшее значение ДГ, при котором еще возможно решение задачи.
Оно определяется из условия Если учесть равенство (2. 1. 8) и зависимость — Ф . з 'АДА' соз — =2аяп — я!п —, 2 2 2 то значения коэффициентов А, В и С можно представить еще в виде А= )~!глзтгтгс'сз, В =А/! 2а з!пз 2 и!п — соз— 2 2 2а . Ь! В =А ! ! — — и!пз — ), Вг 2) С= яп д+В, 1 — — яп — ~ . УУ~лса . ! 2а . з З! а!из Рт 2 ) П р и м е ч а н и е. Для гиперболической орбиты значения А, В и С выражаются слелуюцгими зависимостями: згз 1 — 1 А= дг, — (з)т д — д)~ УУгла В,=А [1 — — (сй д — 1)1, В,= А!1 — — (сй д — 1)] +В,! ! — — (си д — 1)1, Й1аз . ! Вт (2.
1. 23б) коэффициентов (2. 1.24) где Д=а — эз!йп(з!п Ф). Основываясь на факте, что касательные к орбите в точках Аз и Аз и биссектриса центрального угла Ф имеют общую точку пересечения, можно получить зависимость Ф / Й1 з Ф !я 9, = с!я — — 1 — соз — созес —; 2 рг Вг 2 2 Вз !д бз = 1 — сов — созес — — с!я —, !!~ 2 2 2 (2.
1. 25) 1 ) — Ф вЂ” ! )I зги, я п — = ~/ар яп — (Е, — Е ). 2 2 (2. 1. 26) 57 выражающую значение траекторного угла в точках Аг и Аз. Определение фокального параметра р. В ряде случаев может быть более удобен другой алгоритм определения орбиты, когда после решения уравнения Ламберта (вычисления п) непосредственно обращаются к зависимостям, определяющим фокальный параметр р. Согласно соотношениям между истинной и эксцентрической аномалиями имеем Далее, используя равенство С~=(гта — Тт,) =2аз)п 2 ' 1 1 — еесоза 2 2 и определение а и б в пределах от нуля до и с учетом неравенств (2. 1. 17) и (2.
1. 18), найдем Ф )т,Р2 а1пе— Р (2. 1. 27а) $ — т а а1п2 илн Ф 4ам2)та Мп2— Р= 2 . а+у з)па —, (2. 1. 27б) с2 2 где у=в [21дп(дт — дгт а) 21нп(зш Ф)]. Воспользовавшись уравнением (1. 3. 51), с учетом новых обозначений получим формулу, определяющую вектор скорости в начальной точке: Р,= ~ыоР (Т~> — ) 1 — †' (1 — соз Ф)1 й,~ . (2.
1. 28) Таким образом, задача сведена к задаче определения орбиты по начальным условиям 222 и )Ггь решенной в $ 3 гл. 1. П р и м е ч а и и е. Для гиперболической орбиты фокальяый параметр р определяется по формуле Ф 4аР2)та а1П2— 2 и+у аь с2 2 т = ил!яп(яп Ф). (2.!.29) где При определении положения плоскости орбиты в пространстве можно встретиться с рядом особенностей решения, когда Ф=п и заданные точки положения КЛА лежат по разные стороны прямой, проходящей через притягивающий центр.
Геометрически это означает, что положение орбиты не определено — она может располагаться в любой плоскости, проходящей через прямую А,А2. Для определения орбиты необходимо предварительно задаться положением ее плоскости и направлением движения. Кроме того, в этом случае можно встретиться с трудностями вычисления некоторых других элементов орбиты, поскольку в ряде соотношений, приведенных выше, знаменатель обращается в нуль.
58 Метод с-итераций Для избежания указанных особенностей в вычислении элементов, характеризующих форму и размеры орбиты, следует использовать метод итераций по истинной аномалии (метод шитераций). Исследования показали, что этот метод является очень удобным и позволяет достаточно быстро определить орбиту по двум положениям и интервалу времени перелета (52, $6. 5 гл. Н1].
Метод и-итераций заключается в предварительном задании начального значения истинной аномалии в начальной точке ш Далее вычисляется эксцентриситет орбиты по формуле ««г — %~ (Я~ — Лз сОВ Ф) с05 ч~ + Рз 3!и Ф 61п ю~ получаемой нз полярного уравнения орбиты с учетом заданных двух положений КЛА. Если А!ьз(А(,р, то исходное значение пы должно удовлетворять условию е)1„что может быть достигнуто при ее определении из (2. 1. 30) при е= 1, т. е. из уравнения о ~„+ '"" я~~„— ' ' =О.
(2.1.31) !1,— язсозч' Р,— цсозч« В случае А!ьз)А(,«р значение сы нужно выбирать в диапазоне от нуля до и, определяемого из (2. 1. 31). Фокальный параметр р и большая полуось орбиты вычисляются по следующим соотношениям: р=Я,(1+е созе,), а= ' . 12.1.32) 1 — ез Теперь можно проверить правильность выбора см (1=0, 1,..., п — номер итерации), обращаясь в зависимости от значения е н соотношений (2.!. 17) и (2. 1. 18) к уравнению (2.!. 7) или (2.!.!О). После удовлетворения заданной точности решения задачи, проверяемой по значению разности (А!ьз — (А!), ), следует «~, по формуле (2.
1. 8) вычислить угол А. Обращение к соотношениям (2. 1. 21) — (2. 1. 23) позволяет найти Г«и Ка и тем самым определить положение орбиты по начальным условиям. Кроме изложенных существуют и другие методы определения орбиты по двум положениям КЛА Вь Вз и времени перелета А!ьь имеющие свои преимушества и недостатки. Для анализа проектно-баллистических характеристик КЛА, совершающих межпланетные перелеты, рассмотренные методы наиболее удобны и характеризуются хорошей сходимостью итерационного процесса. 59 й 3.
МЕТОД «ПОПАДАЮЩИХ ТРАЕКТОРИИ» Ь х,=Ь ОСО5РЗ1П У; 1' о,=Ь осозрсозу; 1т„„=(т ояп р. (2. 2. 1) Проекции вектора Г о на оси эклиптической гелиоцентрической системы координат (хо, уо го) равны: 1т„„=~' „сов итэ — Ь'„о, яп ио1, (т о,=Ь" „, яп ие+)т„„, созиз1, (2 2 2) Складывая составляющие векторов скорости Земли и скорости КЛА на сфере действия т о 1уравнения (2.2. 2)1, получим составляющие вектора скорости аппарата Го в гелиоцентрической бо Использование метода Ламберта для построения поля изо.линий характеристик траекторий межпланетного полета требует интерполяционной программы, которая увеличивает время работы на ЭЦВМ.
Поэтому для расчета поля изолиний был разработан прямой метод, названный методом «попадающих траекторий». Идея этого метода сводится к краевой задаче, в которой при заданной дате старта 1о подбиХ1,0 раются такие параметры вектора скорости выхода из сферы действия Земли Г о, которые обеспечивают 1 попадание КЛА в планету назна! т о чения. у, Рассмотрим случай расчета изо- линии при заданной величине моду- уо ля вектора ~т' о(. Введем траиспори, тирующую систему координат, начах, ло которой расположено в центре Земли или планеты (рис.
2.2.1). Ось Рос Е Е А Ком«мото««охах х, направим по радиусу-вектору к схема ооо™охмхтщмх «о«то- Солнцу, ось у, — перпендикулярна роо ™роотм КЛА м Земли оси х1 и направлена в сторону дви- жения Земли. Оси х1 и у1 лежат в плоскости эклиптики. Ось х1 дополняет систему до правой. Направление вектора Г о будем задавать двумя углами: углом б, образованным проекцией вектора Р, на плоскость х„у, с вектором Г о, углом Т между проекцией вектора Г о на плоскость хь у1 и осью у1. Проекции вектора Г о на оси этой системы координат (хь уь х1) будут: системе координат в начальный момент времени (момент старта): У~= У~„ь+ У„„.,; " .=Уз~.+"'- .' У*,="'з.+" - .. (2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
