Соловьев Ц.В., Тарасов Е.В. Прогнозирование межпланетных полетов (1973) (1246634), страница 7
Текст из файла (страница 7)
1Ч, Ч]). 29 Здесь отличие заключается в том, что одно из тел (КЛА) принимается за тело бесконечно малой массы. Баллистическое не- возмущенное движение КЛА иногда называют еще кеплеровым даижениелз. При решении задач межпланетных полетов методически более удобно баллистическое движение рассматривать как частный случай управляемого движения, которым начинается межпланетный полет. Поэтому было бы желательно найти такой подход к решению дифференциального уравнения управляемого невозмущенного движения, при котором управляемое и баллистическое движения выступают в единстве, а первые интегралы баллистического движения определяются как частный случай общего решения.
Перейдем к рассмотрению уравнения (1.3.1). Приняв В= 1', представим его в виде Р /езз— р= — — — К М Яз где à — вектор скорости КЛА. (1. 3. 3) Интеграл энергии Умножив скалярно левую и правую части уравнения (1.3.3) на 2Г, найдем ~о~(~ ~)+ яз М После интегрирования найдем где Ьз — постоянная интегрирования.
М Переходя к относительной массе р= — и учитывая равен- МО ство Р= — рЮМ, где р — единичный вектор тяги, получим (1. 3. 4) так как М!'(о) =Ма, и поэтому 1з(1о) =!. Приняв й„=-йз — 2%' ~ (р У) д 1и 1з, 1 (1.3. ба) будем иметь 1, з 2улзо з' (1.3. 7а) Р'з ~ о йо 2Ж 1 ' д1з=до 2% ~(р Р)д!п1з, (1.3.5) 1 1 й„„=й — 2)т' 1 (Р17)с(1пр (1.
3. бб) ()г„— относительная конечная масса КЛА), а на участке баллистического полета она остается постоянной и равной 6„„. Изменение при управляемом движении полной энергии единицы массы КЛА происходит благодаря работе, совершаемой силой тяги ракетного двигателя. Если сила тяги всегда нормальна вектору скорости, то, так как (Р У) =О, работа силы тяги двигателя будет равна нулю, и полная энергия на единицу массы КЛА не изменится на протяжении всего полета.
Для получения иа конце активного участка полета КЛА максимального значения полной энергии надо так управлять вектором тяги, чтобы в каждый момент времени управляемого полета (Р У) =шах. * М В случае баллистического движения интеграл энергии представим в виде 2/шо )1 их. (1. 3. 76) Векторный интеграл момента количества движения После умножения левой и правой частей уравнения (1.3.3) векторно на В будем иметь Л Х Ул=~" — ~"' (аХЯ), )оа и в результате интегрирования получим ! Ат ХЪ'=Со+~ гИ=Се — ~ ММ (1 3 8) где Со — постоянная интегрирования. ч Ошибочно предполагать, что шах(Р У)=РУ(г) при соа(РУ)=Ъ. В атом случае скорость полета У(Г) будет меньше скорости полета У,вг(() при оп. тимальном управлении вектором тяги и У,р~(т)соа(РУ),рг) У(().
3) Уравнение (1.3.7а) будем называть интегралом энергии управляемого движения„показывающим, что полная энергия— сумма кинетической и потенциальной энергии, приходящаяся на единицу массы КЛА, меняется на активном участке от йо до По аналогии с ранее выполненными преобразованиями это уравнение приведем к виду ТгХЬ'=С,-В ) ЖХ р)й1пр. 1 (1.
3. 9) Обозначив (1. 3. 10) представим (!.3.9) так: гт Х 1т=С„ (1. 3. 11а) Полученное уравнение будем называть векторным интегралом момента количества движения управляемого полета *, приходящегося на единицу массы КЛА. Он показывает, что вектор момента количества движения единицы массы КЛА при управляемом движении меняется от Го до значенияС„„=С,— мт ~ (ТГХр)Х о Хй1пр, а после выключения двигателя — на участке баллистического движения — является постоянным и равным С„„. На участке управляемого движения вектор момента количества движения изменяется вследствие изменения вектора момента количества движения истекающих частиц рабочего тела ракетного двигателя. Если закон управления тягой таков, что вектор силы тяги всегда параллелен радиусу-вектору КЛА, то вектор момента количества движения на единицу массы КЛА не изменится и на протяжении всего полета будет равен Со. Для баллистического движения векторный интеграл момента количества движения выражается в форме Й Х ьт=С„,.
(1. 3. 116) Уравнение плоскости Если умножить правую и левую части уравнения (!.3.1а) скалярно на тт и на Г, то получим Ат С,=О, (1. 3. 12) е По аналогии с интегралами задачи двух тел небесной мехвникн уревнение (1. 3. о) можно назвать векторным интегралом площадей.
32 Ь' С„.=О. (1. 3. 13) Следовательно, вектор момента количества движения единицы массы КЛА С всегда нормален мгновенной плоскости, проходящей через центр масс центрального тела так, что в ней, кроме радиуса-вектора КЛА л, находится и вектор скорости (рис. 1. 3. 1). Баллистическое невоэмущенное движение происходит в одной плоскости, являюшейся мгновенной плоскостью конца активного участка и определяемой уравнением ттьт, Са„=О, (1.
3. 14) где Л вЂ” радиус-вектор конца активного участка. Косинус угла наклонения мгновенной плоскости к плоскости начальной орбиты (см. рис. 1. 3. 1) ч соэ т1= Со С Со + (Со lс) Со'Си Сот+ Сота (1. 3. 15) где /с= — ~' ~ И Х р) у 1п р. т),= агссоз С Са, Со'Са к (1. 3. 16) Если вектором тяги управлять гак, что вектор 1„ будет параллелен начальному вектору момента количества движения Со, то согласно (1. 3. 15) т) =О и управляемое и баллистическое движение будет происходить в одной плоскости— в плоскости начальной орбиты. В этом случае будем иметь Последнее уравнение соответствует условию ЦоХХ,=О и поэто- му Со р=О.
Векторный интеграл Лапласа После умножения векторно на С„ правой и левой частей уравнения (1. 3. 3) и ввиду равенства получим ) т К С У Я К Я К с ь ) 1 + Р Х С Поэтому согласно (1. 3. 15) угол на- клонения плоскости орбиты балли- стического движения к плоскости на- чальной орбиты будет рис. д 8. д Онределение игновенной плоскости и векторной неременной С : С вЂ” агнааеяяая аласяасть; 2 †наяальная алассасть Так как ,— „Й Х (7~ Х Ф)] = — „Ж(й4) — Ф(7~ й)] = = — (К~ — И) I тг'= —— гг и то после интегрирования, учитывая равенство ~(РХс„) и= — ~с„ХдР=) Хс„— ~Р Хдс„, будем иметь с гхг„— — т,ф~.1(гхг.+ '"„')г+т н где ег — векторная постоянная интегрирования.
Обозначив Ф т;.-т „+~(гхг„+'"')а. м последнее уравнение приведем к виду (1. 3. 17) 'г'Х Сг=7'оз — +ут,г„ Я и по аналогии с решением задачи двух тел небесной механики назовем его векторным интегралом Лапласа, а переменный вектор у„=~тле„ вЂ” переменным вектором Лапласа управляемого нгвозмущгнного движения. Учитывая согласно (1. 3. 8) и (1.3.!1) выражения для переменных векторов С„и С„, вектор г, представим е.=г.+й 1 17) Х (/7Х Р)+РХ (йХ Р)]%. Раскрывая выражение двойного векторного произведения, получим г„=г,+ — ( '12 (Р ~IЯ вЂ” (Р Р) Ч вЂ” (7.Й) Р] — (1.3.18) Уме З Л4 или, учитывая значение вектора р, будем иметь г„=г,— — 1 [2 (р М~й,— (р тг)à — (Р !т) р] с(!пи. (1.3.19а) ттг г 34 Для баллистического невозмущенного полета вектор е становится постоянным и равным нк е„„=е,— — ! '!2(р Я) Р,— (р Й) Р— Я *ге)р! а'!пр, (1.3.196) Угио 4 ! а интеграл Лапласа имеет вид У Х Сия=Угла — + Угнав„,.
(1.3. 20) Рис. я 3.2. Схема пекториых соогио- шеииас д — сп Ип- --: с !т ! и гмп 1перииеппгп еп Положение вектора е в пространстве можно определить, умножив левую н правую части уравнения (!.3. 17) скалярно на С„, что приводит к условию (1. 3. 21) С„е„= О Таким образом, вектор Лапласа е * ортогонален векторной переменной интеграла момента количества движения С . Поэтому вектор Лапласа е„ всегда лежит в мгновенной плоскости (рис. 1. 3.2), определяемой уравнением (1. 3.
12). Уравнение орбиты Умножив правую и левую части уравнения (!.3.!7) скалярно на Я и имея в виду равенство (Г Х с„).7~=(7~ ~ Г) с.=с„.с„=с„, найдем гтг+ Я е„)= —" (1. 3. 22) Это уравнение мгновенной поверхности, в одной из точек которой находится в текущий момент времени КЛА. Совместно с уравнением мгновенной плоскости (1. 3. 12) уравнение мгновенной поверхности (1. 3.22) определяет мгновенную орбиту управ- и В дальнейшем лля упрощения терминологии вектор еп также будем называть вектором Лапласа. 35 ляемого движения. Поэтому два уравнения — (1.
3. 12) н (1. 3. 22) — представляют общее уравнение мгновенной орбиты, в одной из точек которой в данный момент находится КЛА. Уравнение (1.3.22) изображает в каждый момент времени поверхность второго порядка. Выясним вид поверхности. Семейство плоскостей, перпендикулярных текущему направлению переменного вектора Лапласа е„, определяется уравнением С~оl уыо 1+ е„соо о (1. 3.
25) Полученное уравнение является полярным уравнением конического сечения, если принять р„=С„з/)то — фокальным параметром мгновенной орбиты; е„— эксцентриситетом мгновенной орбиты; е — истинной аномалией мгновенной орбиты. Таким образом, семейство пространственных траекторий полета управляемого движения находится на поверхности, являющейся огибающей мгновенных эллипсоидов, параболоида и гиперболоидов, определяемых уравнением (1. 3.
22); в случае плоского управляемого движения траекторией полета является Зб тг е„=а', где й — параметр семейства. Тогда согласно уравнению (1. 3. 22) получим )с= — —" — й, (1. 3. 24) У о т. е. сечения мгновенной поверхности второго порядка (1.3.22) семейством плоскостей, перпендикулярных прямой, направленной вдоль текущего вектора Лапласа е„, есть окружности. Следовательно, мгновенная поверхность (!.3.
22) является поверхностью вращения второго порядка вокруг оси, направленной вдоль е„, и есть либо эллипсоид, либо параболоид, либо гиперболоид вращения. Один нз фокусов этой поверхности совпадает с центром масс центрального тела. Поскольку мгновенная плоскость (1. 3. 12) проходит через ось вращения поверхности, то мгновенная орбита управляемого движения КЛА является плоской кривой второго порядка, один из фокусов которой совпадает с центром масс центрального тела и линия апсид (главная или фокальная ось) которой совпадает с направлением текущего вектора Лапласа. Текущий вектор Лапласа е„всегда направлен в пернцентр мгновенной орбиты — в точку, наиболее близко расположенную на мгновенной орбите к центру масс центрального тела, принимаемого за правый фокус орбиты.
Приняв угол между текущим радиусом-вектором КЛА и текущим вектором Лапласа равным и, уравнение мгновенной орбиты в мгновенной плоскости согласно (1. 3. 22) представим в виде огибающая мгновенных эллипсов, параболы и гипербол, выражаемых уравнением (1. 3. 25). Поэтому мгновенное коническое сечение конца активного участка является орбитой баллистического невозмущенного движения, выражаемой уравнением С~ ирм Си, коко (1. 3. 26) 1+ еик сок о 1+ еиксоо о Орбита находится в плоскости, задаваемой уравнением (1. 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
