Соловьев Ц.В., Тарасов Е.В. Прогнозирование межпланетных полетов (1973) (1246634), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Материальная точка. Закон всемирного тяготения Ньютона Следует остановиться на понятии о материальной точке, ибо в теории притяжения и в механике всякое материальное тело рассматривается в виде или материальной точки, или совокупности материальных точек. Материальная точка есть часть материи бесконечно малых размеров, которая, однако, может обладать конечной массой. Поэтому в качестве материальной точки можно принимать геометрическую точку конечной массы. С действительных позиций это представление чисто фиктивное, но в механическом смысле существуют точки, имеющие тождественное значение с материальной точкой конечной массы.
В самом деле, если тело движется под действием силы, приложенной к центру масс, то движение совсем не зависит ни от густоты расположения материи, ни от формы тела, а только от количества материи в теле, т. е. центр масс движется так, если бы в нем одном была сосредоточена масса всего тела. В этом видна реализация представления о материальной точке. Материальные точки имеют свойство притягивать другдруга. Согласно закону всемирного тяготения И. Ньютона, всякие две материальные точки притягивают друг друга с силой, прямо пропорциональной произведению масс этих точек и обратно пропорциональной квадрату их взаимного расстояния.
Величина силы притяжения определяется по формуле т,ез аг (1. 1. 1) где т, — масса одной материальной точки; т, — масса другой материальной точки; ц — расстояние между материальными точками; ) — коэффициент пропорциональности, называемый постоянной притяжения, или постоянной тяготения. Численное значение постоянной притяжения 7, размерность которой определяется равенством [7'] ~п — Чзг-э зависит от выбора основных единиц массы, длины и времени. Если взять астрономическую систему единиц измерения, в которой эа единицу массы принимается масса Солнца, за единицу длины — среднее расстояние между Солнцем и центром масс системы Земля+Луна и за единицу времени — средние солнечные сутки, то постоянная г=ят [30, стр. 34], где й = 0,01720209896.
Коэффициент й в этом случае называется гауссовой посто- янной тяготения. В системе единиц СГС (см, г, с) постоянная притяжения 1, определяемая из расчетов, 1=6 669 !О-в Коэффициент 1 обычно определяется опытным путем, что дает 1=6,673 1О-г смз/(г с) [30, стр. 34]. 05=132718 10м м%э 6Е=398603 10' мз/с'. При решении задач космонавтики, в которых в качестве центрального небесного тела принимается Солнце или какая- либо планета, удобно применять так называемые гелиоцентрическую гравитационную постоянную 65=7гпо либо планетоцентрическую гравитационную постоянную СМ„=)тп„„. В новую систему астрономических постоянных включены только гелиоцентрическая и геоцентрическая гравитационные постоянные, численное значение которых принимается равным [30, стр.
34] Для остальных планет значение планетоцентрической гравитационной постоянной можно определить, умножив 1 на массу соответствующей планеты т„,. Формула (1.1.1) симметрична относительно точек М, и Мз и не зависит от выбора системы координат. Однако в задачах механики полета космического аппарата и небесной механики рассматрива- 1 м, й ются составляющие силы притяжения / ц по каким-либо координатам, Ч Выберем декартову систему координат Охуг (рис. 1.1. 1).
Величина векто- х 1 ра силы Р, с которой материальная точка М,(хь уь х~) притягивает материальную точку Мз(х,, ум хз), опредеЛяЕтея ПО фОрМуЛЕ (1. 1. 1). РаССтОяНИЕ рвй Л Л Л Схема действую- Ь между точками условимся всегда щвх сил вритяхсвния считать направленным от притягивающей точки к притягиваемой. Поэтому направление силы 7 противоположно направлению вектора Ь, и имеет место равенство Р в ! 2 (1.
1. 2) причем Р=Р„1+Рду+Р,й. Силовому полю, вызываемому взаимным притяжением материальных точек М, и Мь соответствует силовая функция (1. 1, 3) й которая является функцией всех шести координат этих точек. В этой связи вектор силы притяжения можно определить по формуле Р=д — "ю+ —" 3+ — '" й, (1. 1. 4) дх ду, дх т. е.
(1. 1. 5) дх ду дх Производная силовой функции по произвольному направлению имеет внд — = ~!Р~ соз (Р, 1). д! Силовая функция (/ всегда положительна, конечна, непрерывна и однозначна при любых не совпадающих положениях точек М, и Мь Если эти точки стремятся к одной и той же 13 точке пространства М, так что М,— М и М,— +М, то функция 0 неограниченно растет и ее предел стремится к бесконечности. Если же точки М, и М, неограниченно удаляются друг от друга, то и ее производные по координатам стремятся к нулю.
Силовая функция (/ аналитична, т. е. имеет непрерывные производные всех порядков и регулярна на бесконечности. Силовая функция У имеет определенный физический смысл. Если судить по ее размерности, то, как видно из (1.1.3), размерность силовой функции совпадает с размерностью энергии и работы. Значение силовой функции (l совпадает со значением работы, которую следует затратить, чтобы преодолеть притяжение притягивающей массы т) и удалить притягиваемую массу тз на бесконечно большое расстояние от массы т(. Величину У(х, у, г) называют нотенциальной энергией поля в точке (х, у, г). Притяжение материальной точки телом При изучении движения космического летательного аппарата его обыкновенно принимают как материальную точку.
Планеты же следует в большинстве случаев рассматривать в качестве материальных тел, имеющих достаточно протяженные геометрические размеры и определенные формы со специфическим распределением масс. В этом случае для расчета притяжения космического летательного аппарата небесным телом нельзя не. посредственно применять закон всемирного тяготения, так как оио (тело) является уже притягивающей системой, состоящей из бесчисленного множества материальных точек.
Для определения величины силы притяжения, с которой небесное тело (материальное тело) Р действует на космический летательный аппарат (материальную точку) А, и для определения силового поля, вызываемого наличием тела Р, разобьем его на большое число весьма малых элементов массы (ать сосредоточенных в точках Рь Эти материальные точки притягивают материальную точку А с силой, определяемой из закона всемирного тяготения. Переходя к пределу суммы сил притяжения при неограниченном возрастании числа элементарных масс и неограниченном уменьшении их объемов получим определенный интеграл, взятый по всей притягивающей массе и, в виде (1. 1. 6) 2 (т) н тем самым найдем силовую функцию тела т= ]г7т.
рв) (1. 1. 8) Кроме того, частные производные от силовой функции по коор- динатам совпадают с проекциями силы притяжения на соответ- ствующие осн. Так, для декартовой системы координат х, у, г имеем дх ду * дх (1. 1. 9) Вид и аналитическая структура силовой функции К выраженной определенным интегралом (!.1.7), в котором координаты космического летательного аппарата и небесного тела играют роль параметров, могут быть весьма сложными и разнообразными, так как он может быть вычислен в элементарных функциях только в некоторых исключительных случаях, а вообще оказывается совершенно невычисляемым (12].
Предметом теории притяжения является изучение свойств и характера силовых функций, определяемых интегралами вида (1.1.7), и разработка методов их приближенного представления и вычисления (~12, 18]. Воспользовавшись результатами теории притяжения, перейдем непосредственно к изложению свойств силовой функции (I, определяемой интегральной формой (1.!.7), во внешнем пространстве. Силовая функция однозначна, ограничена и непрерывна во всем пространстве и вне притягивающих масс аналитична. Составляющие силы притяжения, действующей на космический аппарат (точка А (х, у, г)], рассматриваемые как функция координат точки А, конечны, непрерывны и однозначны. Пусть Л вЂ” расстояние между материальной точкой А и точкой, неизменно связанной с телом Р.
Тогда при неограниченном росте расстояния Л произведение ЛУ стремится к определенному, конечному пределу, равному )Мгп. Из этого свойства вытекает, что когда расстояние Л достаточно велико по сравнению с !5 где интегрирование распространено на всю притягивающую массу, а Л! есть расстояние притягиваемой материальной точки (космического летательного аппарата) А от притягивающего элемента массы Нгп, который равен произведению плотности на элемент объема, выраженного в соответствующих координатах. Выражение силовой функции небесного тела Р в точке А (х, у, г), определяющей положение космического летательного аппарата, зависит от формы тела, его внутреннего строения и положения небесного тела относительно принятой системы координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
