Соловьев Ц.В., Тарасов Е.В. Прогнозирование межпланетных полетов (1973) (1246634), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Методы решения дифференциального уравнения управляемого движения (1.2.2) во многом определяются протяженностью активных участков. В книге рассматриваются КЛА с жидкостными ракетными двигателями. Это позволяет выявить и оценить специфические методы определения активных участков в зависимости от требуемой точности расчетов. Для нахождения решения дифференциального уравнения управляемого (1.2.2) или баллистического (1.2.3) движения нужно иметь информацию об изменении радиуса-вектора планеты о! в зависимости от времени полета й Эта информация может быть получена различными способами. Наиболее простой способ ее получения заключается в предположении о кеплеровом движении планет вокруг Солнца (т.
е. о движении планет под действием силы притяжения Солнца) и об изолированности солнечной системы (т. е. о прямолинейном и равномерном движении центра масс Солнечной системы). Для более точных расчетов уравнения (1.2.2) и (1.2.3) следует рассматривать совместно с дифференциальными уравнениями движения планет и Солнца. Однако изучать движение КЛА с учетом влияния сил притяжения многих небесных тел в абсолютной системе координат 20 неудобно и трудно, поскольку астрономические наблюдения дают только относительные положения и скорости небесных тел В пособиях по небесной механике (13, 48] предлагается изучать движение небесных тел (планет) в относительной (например гелиоцентрической) системе координат, когда начало координа~ помещается в центр масс одного из небесных тел (например Солнца).
Поэтому следует перейти и дифференциальным уравнениям относительного движения КЛА, когда за начало координат принимается центр масс центрального тела *. Для получения дифференциального уравнения управляемого относительного движения следует из левой и правой частей уравнения (!.2.2) вычесть соответственно левую и правую части дифференциального уравнения движения центрального тела язойо=~'о что дает — Ро е.— й.= — + — —— то Отсюда дифференциальное уравнение управляемого относительного движения КЛА примет вид — Р Ужо — %~ 1 до/ % 1 гс = — — — гто — Ггп 1 — + — 1, 1 где К=у.— ео, А'1=е1 — й (/=1,, я), Д.г — — й, — йн В связи со справедливостью соотношения д., ~~, 1 1 Я.Р,'1 дз ~ ~ото (,д ~ ртз где Т7 — оператор градиента по компонентам вектора лт„получим (1. 2.
4) о Скалярная функция л / ! * Центральное тело — зто небесное тело, относительно которого рассматриваетси движение. 21 характеризует действия притяжения небесных тел, за исключением центрального тела, и поэтому ее можно назвать возмущающей функцией, так как сила притяжения центрального тела является определяющей из всех сил притяжения. Это название )ср дано по аналогии с возмущающими функциями в небесной механике, возникающими при изучении относительного движения планет (13, стр.
110). Дифференциальное уравнение (1.2.4) определяет управляемое относительное движение. Баллистическое относительное движение описывается дифференциальным уравнением гс,= — ~,' А'.+уй,, (1. 2. 5) а полученным из (1.2.4). Если центральное тело выбрано правильно, то в правых частях уравнений (1.2.4) и (1.2.5) ~ — 'ь Р,~)))Мр~ на и член ( Чар! можно трактовать как,возмущающее ускорение, возникающее от возмущающих сил — сил притяжения небесных тел, за исключением центрального. Исходя из такой трактовки действия сил притяжения небесных тел (кроме центрального) относительное движение, описываемое уравнениями (!.2.4) и (1.2.5), часто рассматривают как относительное возмущенное движение КЛА. Это позволяет применять специфические аналигические и численные методы для решения уравнений (1.2.4) и (1.2.5), рассматриваемые в теории возмущенного движения (см., например (!3, ч.
1П, гл. НП вЂ” 1Х)). Дифференциальные уравнения относительного движения КЛА (1.2.4) и (1.2.5) в конечном виде не интегрируются. Для получения решения и характеристик движения КЛА используются различные приемы численного интегрирования, аналитические и качественные методы небесной механики. Аналитические методы в ряде случаев дают возможность найти общее или частное решение в основном дифференциального уравнения движения (1.2.5) в виде бесконечно сходящихся рядов, позволяющих находить числовые значения нужных характеристик движения с любой степенью точности. Качественные методы позволяют установить некоторые общие свойства характеристик движения КЛА без знания общего решения дифференциального уравнения движения. Отличительной особенностью методов численного интегрирования является нх универсальность.
В то время как применение аналитических методов имеет определенные ограничения, вызываемые малостью возмущений, пределами в значениях параметров орбит КЛА и т. д., при численном интегрировании дифференциальных уравнений движения вообще не возникает вопроса о характере орбит КЛА и о величине возмущений. Однако систематическое накопление ошибки в процессе интегрирования в некоторых случаях может ограничивать возможности численных методов по сравнению с анали- 22 тнческими, свободными от этого недостатка. При решении конкретных задач межпланетного полета КЛА для получения большей информации о характеристиках движения следует сочетать все методы: аналитические, качественные и численные. Получая решения дифференциальных уравнений относительного движения КЛА (1.2.4) н (1.2.5), не следует забывать, что они являются приближенными.
Приближения вызываются двумя различными причинами, связанными с физической и математической природой решения задачи. Физические причины приближения обусловлены уровнем знаний о действуюсцих силах, пренебрежением (или невозможностью учета) некоторыми из них. Математические причины приближений вызываются методами решения уравнений движения.
Если все эти приближения четко представить и правильно осмыслить, то можно избежать излишней точности и ненужных трудностей в процессе поиска инженерных решений и анализа проектно-баллистических характеристик межпланетных КЛА. Путь к улучшению и упрощению численного интегрирования дифференциальных уравнений относительного движения КЛА— в определении области преобладающего воздействия на КЛА силы притяжения небесного тела, которое и следует рассматривать в качестве центрального тела. Этим телом могут быть Солнце и любая планета. В небесной механике уже возникала такая задача при изучении движения комет.
Ее решение свелось к определению сферы действия планеты *. Сфера действия планеты Область пространства, в которой при вычислении возмущений целесообразно принимать планету за центральное тело, а Солнце — за возмущающее, называется сферой действия планеты.
Количественная оценка этой области зависит от оценки отношения возмущающего ускорения к ускорению от силы притяжения центрального тела при сведении общей задачи к задаче трех тел: КЛА (или небесное тело очень малой массы)— планета — Солнце. Пусть 65 — возмущающее ускорение, создаваемое силой притяжения Солнца, и г — ускорение от силы притяжения планеты, когда она рассматривается в качестве центрального тела; бà — возмущающее ускорение, создаваемое силой притяжения планеты, и 5 — ускорение от силы притяжения Солнца, когда оно принимается за центральное тело.
Поверхность границы сферы действия выражается равенством Ьо ЬР ' Понятие «сфера действия планеты» введено в небесную механику Лапласом в связи с изучением движения комет при их сближении с Юпитером. 23 Поверхность, определяемая этим уравнением, весьма близка к сфере с центром в центре планеты и радиусом д,=Е~ —." )"', где 7с' — средний радиус орбиты планеты. Значения Ал для планет даны в табл. !.!. (!.
2. 6) Таблиг1а 1.7 Радиусы гранисфер планет Раавус грааксферы в млк. км Плавега ах 'л ак ао'-'а . " р.в Меркурий Венера Земли Марс Юпитер Сатурн Уран Нептун Плутон 0,221 1,01 1,49 1,08 51,9 64,3 69;б 1!5,4 57,4 0,113 0,616 0,925 0,578 48,2 о4,6 51,9 87,0 37,6 0,367 1,68 2,48 1,80 88,! 108,3 116,4 !93,1 95,4 0,320 1,46 2,16 1,56 76,6 94,1 101,2 167,9 83,0 Следует отметить, что в небесной механике введение понятия сферы действия было направлено на достижение более точных результатов численного интегрирования, поскольку это позволяет избежать чрезмерно больших значений слагаемых в правой части дифференциальных уравнений движения комет.
В космонавтике совершенствование методов численного интегрирования дифференциальных уравнений движения отвечает требованию повышения точности расчетов траекторий полета на завершающем этапе проектирования КЛА. Совершенствование же методов баллистического проектирования КЛА связано с поиском наиболее простых способов достижения нужного решения при требованиях к точности, отвечающих начальному этапу проектирования. Решения дифференциальных уравнений бал.листического движения КЛА можно получить в законченном виде, т. е. найти все шесть первых интегралов, если пренебречь возмущениями и рассматривать движение КЛА под действием только силы притяжения центрального тела.
Возникает вопрос, насколько точно такое решение и при каких условиях тогдаследует переходить при изучении межпланетной траектории от планеты как центрального тела к Солнцу как центральному телу, и наоборот. Ответ на него представляет интерес, поскольку весь- 24 ма заманчиво и удобно в инженерной практике проектирования использование законченного решения задачи двух тел: КЛА— небесное тело. Очевидно, оно будет приемлемо и по точности прн малом влиянии возмущений на точное решение. Таким образом, возникает задача, как, оставаясь в рамках решений задачи двух тел, свести к минимуму отклонения от точного решения.
Речь идет о представлении гравитационного поля Солнечной системы в виде гравитационного поля Солнца, ограниченного гелиогравиповерхносгью, и отдельных гравитационных полей планет, каждая из которых ограничена гравитационной поверхностью планеты (планетогравиповерхностью). Правильно описать поверхности границ грависфер — значит найти минимум отклонений от точного решения при принятой модели гравитационного поля Солнечной системы. Здесь принципиальным моментом является вопрос о критерии, оценивающем такое отклонение. До недавнего времени в практике баллистического проектирования КЛА в качестве границы поверхности грависферы планеты широко использовалась сфера действия планеты, определенная Лапласом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
