Нариманов Г.С. Основы теории полета космических аппаратов (1972) (1246632), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Н! Ух 61+ азы+ й2,1 ° ° ° У + й1,6+ йз. 1 л — 3 1 2 (л — 2) (л — 1) (л — 2) ) Уегт+ л 16+и(л+1) 26+ л(л ! 363' За искомые функции прн использовании системы (12. 4) можно принять: время !и, географическую долготу йл, модуль радиуса-вектора гл и составляющие вектора скорости о м, о,у, о,м, При заданных в системе координат Олух значениях хл, у»ь ал = — О, о .«, отл и о*л элементы орбиты, принятые за искомые функции, вычисляются по следующим формулам: Ул ьд = асс!И вЂ”; х Г =ХтСОЗЕУ+У З!П1.
м ль о ж — — о 1т сов Е4у+ ор1т з!и Е„„. (12,20) о = — о з!и Ед + о соз 51т,' (л — 1) (9п — 1), (л + 1)(19л — г) 24п2 ' " " 24л2 5(л2 !) л2 — ! 24л2 24л2 Здесь и далее рассматривается частный случай, когда вычисляются приращения искомых функций за один оборот, Дяя этого наиболее часто применяемого на практике случая хл =Н вЂ” номер витка, Ь= 1 и Н=л.
Для получения четырех «разгониых» точек применяется метод, аналогичный методу Рунге — Кутта 4-го порядка. Формулы этого метода имеют вид л(л+ 1) л(л — 2) п(л — 2) л(л+ 1) ~Наел- Уйз+6( 1) ~11+ 3; ~2Н+ ~зН+ '4Н л — 1) ' 3(л — 1) ' 3(л — 1) ' 6(п — 1) (12.19) где Формулы обратного перехода: х =г соэйж; у =г з1п Еу' (12.21У О = О СОЗ СЛà — О ж З!П ЕЛС! хзг гу олг=ю ж (п йы+юусозбу'. Расчет орбиты для принятой системы нскомыл функций ведется в следующеьг порядке: а) по известным в начале й-го витка функциям 1ь, Сл,..., о ь вычисляются начальные условия для интегрирования системы (!2.4) по формулам (!2.2!), а именно: 1ь, хл,..., о„„ (л„ ш О); б) в результате интегрирования системы (12.4) определяются гь+ь хэьь.
о, ьш, а по формулам (12. 20) определяются 1ь+ь Сь+и ..о, э+т, в) определяются приращения искомых функций уу з — — у1 „— у. з 0 =" 1, 2,..., 6); г) но формулам (!2. 17) и (12. 18) вычисляются значения искомых функций в начале (й+л)-го витка. При использовании цилиндрических координат за искомые функции целесообразно выбирать величины 1лл 0 „ г , о,л, о„ (12.22) При использовании как системы (12.
4), так н системы (!2, 6) за искомые функции можно выбирать также 1м, а, е,, 1, !)у, а . (12.23) Преобразование величин (!2. 22) и (!2. 23) в соответствующие системы координат и обратно производится но известным формулам. В остальном алгоритм залачи не меняется, т. е. решение осуществляется по приведенной выше схеме для искомых функций 1л, Т.к...., о„~ .
Величина шага л численного решения уравнений в конечных разностях (12.!6) зависит от характеристик орбиты спутника и требований к точности расчета. Для типичных орбит спутников в начале полета величина шага выбирается достаточно большой: л=50 —:100.
В процессе полета спутника высота непрерывно уменьшается, что приводит к большей эволюции элементов орбиты и, следовательно, к необходимости уменьшать величину шага л. Контроль точности расчета можно производить по величине разности У1 ьэл . У1,а+л У1 л+л Переход на меньший шаг производится либо при помощи формул (12. 19), либо методом, аналогичным методу численного интегрирования с автоматическим выбором шага. 122.
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ИСЗ 12.2.1. Способы построения аналитических методов прогнозирования В общем случае система дифференциальных уравнений движения ИСЗ в конеч. ном виде не интегрируется. Поэтому цри разработке аналитических методов прогнозирования применяют различные способы получения приближенных решений.
Для этих целей обычно используют методы приближенного интегрирования уравнений Лагранжа или стремятся найти такой вид потенциальной функции, аппроксимирующей гравита. ционное поле Земли которая допускает решение дифференциальных уравнений в квадратурах. Получить решение в квадратурах удалось пока в немногих частных случаях: для потенциалов, в основном довольно полно учитывающих полярное сжатие Земли и частично аномалии поля сил притяжения [1, !4[ 344 Эти потенциалы могут интерпретироваться как потенциал двул1 неподвижных ,центров, имеющих координаты (сь сз) и массы (ть тз), являющиеся комплексно сопряженными числами /гзт ! + а( ! — аг) )г (12.24) = —,( + (12.25) (12.2б) .где 7, = О; 72 = — сг(! + аз) !з = — аз (1 + а2) 2а; с 7» = — [(1+ га)(а+ а) + (! — га)(а — 1) 1.
2 Параметры с и о выбираются так, чтобы первые три члена в разложении (!2. 26) совладали с соответствующими членами разложения потенциала общего земного эллипсоида При решении многих практических задач точность аналитических методов, построенных для потенциала (12.24), оказывается недостаточной. В таких случаях указанные решения можно рассматривать как модели новых (некеплеровых) промежуточных орбит и на их основе строить теории возмущений, которые учитывали бы высшие гармоники потенциала Земли и другие возмущающие силы (сопротивление атмосферы, гравитационные влияния Луны, Солнца и др.).
Наибольшее распространение при аналитическом расчете орбит нашли методы, основанные на приближенном интегрировании уравнений Лагранжа. Известно несколько способов получения таких методов, например: — разложение решения в ряды, расположенные по степеням приращений независимой переменной; — разложение решения в ряды по степеням малого параметра; — новитковое суммирование приращений элементов в узлах орбиты; — решение уравнений возмущенного движения с использованием метода усреднения. Каждый из приведенных приемов имеет свои достоинства и недостатки и может быть наилучшим образом использован при решении конкретных задач. Так, аналитические выражения, найденные разложением решений но степеням независимой перемен. ной, используются лишь для малых сроков прогноза [!7], например, когда требуется рассчитать движение на ограниченном участке орбиты в пределелах одного витка. Эти выражения могут быть представлены в виде ряда [17] , (и — ио) .
(и — ио)2 1„1(и — ио)" э(и) = эо+ эо 1 + эо -1- ... -1- эоа + ' '' (12'27) и! где э(и) — какой-либо элемент орбиты; и — независимая переменная, в качестве которой может быть выбрано время, средняя аномалия и т. дч эа — начальное значение элемента э(и) пРи и=из! эо — производная ч-го порядка от э(и) по и в точке и=па. Выражение для э!"1(и) определяется обычным дифференцированием уравнения Лагранжа. Выбор степени и зависит от продолжительности и требуемой точности прогноза и может быть определен, например, путем сравнения результатов расчета по данному методу с результатами численного интегрирования. где т= тг+ тз — масса Земли; гг и гз — радиусы-векторы, величины которых определяются по формулам: гз = хз+ рт+ [л — с (а + 1)]2; 2.2 — х2 .1- р2 ! [л — с (а — 1)]2, Здесь Охуг — прямоугольная система координат, у которой ось Ог проходит через точки с массами ть тз. Разложение функции (!2.
24) в ряд по полиномам Лежандра имеет вид Приближенные решения уравнений Лагранжа с помощью разложения в ряды по степеням малого параметра могут быть использованы для прогнозирования движения ИСЗ на значительно ббльшие сроки. Эти решения строятся в виде ряда [7] а в з э(ц) = за+.~", агЛ (и)+ ~ ~', е!з)угу(п)+..., (12.28) г 1 ! г) 1 е! — малый параметр, соответствующий определенному возмущающему фактору; я — число учитываемым возмущающих факторов; !г(и), (гч(и) — некоторые функции начальных элементов орбиты н независимой переменной (например, аргумента широты и), Величину бэ!(и) =е!( (и) называют возмущениями первого порядка, величину бэз(и) =е!е!1!т(и) — возмущениями второго порядка и т. д Каждое из возмущений бэ!(и) и бэт(и) принято разделять на три составляющие; Ьэ(и) =. Гэ(и) + Ьэ(и) + Ьэ(и), (12.29) где бэ(и) — короткопериодическая составляющая (с периодом, не превышающим периода обращения ИСЗ), обладающая свойством Ьэ (2п) =0; бэ(и) — долгопериодическая составляющая (с периодом, значительно превышающим период обращения ИСЗ); бэ(и) — вековое возмущение, пропорциональное независимой переменной и Для каждой конкретной комбинации учитываемых прн прогнозировании возмущающих факторов в выражении (12.
28) следует удерживать члены одного порядка малости. Погрешность решения (12. 28) имеет порядок малости (еи) "!-!, где и — порядок малости членов, удерживаемых в решении, а е — один из параметров е,. Такое решение применяется для прогнозирования на сроки, при которых аи«! (обычно зто несколько десятков витков орбиты ИСЗ). Для прогнозирования движения на большие интервалы времени широко применяется метод повиткового суммирования возмущений (18) Аналитические выражения для возмущений за виток бэ(2п) получаются с помощью разложения решения в рячы по степеням малого параметра.
Элементы орбиты в узле А!-го витка определяются по схеме где М э =во+ ~',(э) — эу,), 1-! (12.30у и Аг = — — новая независимая переменная (число витков). 2!х Оскулирующие элементы э связаны со средними элементами э зависимостью а и 1 э(и)=э+ '~ ~Ьэы(э, л) — Ьэ!;(2п) — ~+0(сх). (12.32) 2п ~ г-! Система дифференциальных уравнений (!2. 31) в общем случае не интегрируется в конечном виде.
Для нахождения аналитических выражений э=э(Ф) прибегают к раз- где эу — вектор значений элементов в узле учго витка; эу — эу = Ьэ(эу , 2п) — возмущение элементов на (у — 1)-м витке, рассчитываемое по элементам э) Наряду с повитковым суммированием для этих же целей применяется решение усредненных уравнений движения, которые строятся на основе уравнений Лагранжа с помощью метода усреднения.
Правая часть усредненной системы может быть выражена (в случае, когда «быстрая» переменная и-скаляр) через возмущения оскулирующих элементов за виток следующим образом: а а с!э 1 ~~( 1~~ дзэ!! (2п) лйг — = Ьэ, (2п)+ Ьэ, (2п) — — ' Ьэ 1(2п)+0(зз), (12.31) г-! 1 ! где э — вектор (столбец) средних элементов, которые можно выбрать так, чтобы онн совпадали в узлах орбиты с оскулирующими элементами; а а а ьэт(2п) = ~', 1эы(2л) и ьэз (2п) = ~~~', ~яр„ьэ, )(2п) — возмущения оскулирующнх ! 1 ! т)! элементов первого и второго порядка за виток; 12.2.2.
Гравитационные возмущения, обусловленные второй зональной гармоникой (порядка сгз) Для прогнозирования движения ИСЗ, орбиты которых отличаются от круговых, можно применить систему кеплеровых оскулируюших элементов э=(а, е, й Й, ы, Ма). Возмущения этих элементов имеют вид [4) Ьа(и) = — его [ ) (1 — 3 з!пз! з!па и)+ Сл+ О (асзо) ' (12.33) а (г) Ье (и) = — — сзо ( — у! ( 1 + — ез) (1 — — Ып2 () соз В + 1, / 11 77 17 + — з(п2 г' (! + — ея) соз (2и + 9) + Мп2 ! ( — + — ез) соз (2и + 39) + 4 ( 4 ) ( 12 48 3 5 3 + — е (1 — — з!п2 17! соз 29+ — е з!п21 сов 2и + — е з!пз ! сов (2а + 49) + 2 ( 2 4 8 1 1 г 3 + — е2 щпз ! соз (2и — 9) + — ез (1 — — з!пз !) соз 39+ 16 12 ( 2 1 + — ет з!пз(сов(2а+59)) + С, + О(сззо); (12.34) ! Ьг (и) = — — сзо ( — '7! з!п 2 г ~ соэ 2и + е соз (2м+ 9) + — е соз (2м + 39) ~ + 8 (р) 3 + С;+ О("„); (12.35) Ы (и) = — сзо ( †' ) соз ! (и — — з!п и + е ( з!п  — — з!п (2и + 9)— 2 — — Мп (2и + 39)1~ + Св + О (сзо); 1 1) 6 !г 2 1 2 ЬМо(и)= сзо( — ') (( — — — з!пз Е) '(( — ) (1 — е2)+ (12.36) + ( — [ + 11 з!п 9+ — Мп2 г ( — [ — ) (1 — е2) — ~ — ~ + 1~ з!п (2м + 9) + ( ° ) 347 личным способам получения приближенных решений.
Для решения системы (12. 31) могут быть использованы также методы численного интегрирования. Отличие известных методов (алгоритмов) связано главным образом с выбором разных систем элементов (координат). Это, как правило, позволяет установить тождественность соответствующих возмущений, полученных разными авторами Ниже приведены аналитические методы прогнозирования, построенные на основе использования наиболее распространенных систем элементов, позволяющие учесть; — возмущения, порождаемые второй зональной гармоникой разложения потенциала (порядка сзэ) — бэ2(и) (яриведенные соотношения могут использоваться для прогнозирования на малых интервалах — несколько витков, доли витка); — основные вековые и долгопериодические возмущения первого порядка, порождаемые основными членами разложения потенциала, а также возмущения второго порядка от второй зональной гармоники (порядка сзо) — Ьэз(2п); 2 — вековые возмущения первого порядка, порождаемые сопротивлением атмосферы; — вековые и долгопериодические возмущения, порождаемые гравитационным влиянием Луны и Солнца.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
