Нариманов Г.С. Основы теории полета космических аппаратов (1972) (1246632), страница 78
Текст из файла (страница 78)
2.9) система цилиндрических координат Огиз в смысле возможности увеличения шага численного интегрирования обладает тем же преимуществом, по сравнению с прямо>тольными координатами, что и оскулирующие элементы орбиты. В то же время сложность праных частей дифференциальных уравнений в цилиндрических координатах по сравнению с прямоугольными координатами возрастает незначительно. Вследствие этого быстродействие расчета параметров орбит интегрированием в цилиндрических координатах заметно повышается по сравнению с интегрированием в прямоугольнып координатах и в оскулируюших элементах.
В системе цилиндрических координат движение спутника в каждый момент времени ! полностью характеризуется радиусом-вектором гс(г, и, с) и вектором скорости 17 ((г )г )г ) где г и и — полярные координаты спутника в основной плоскости; э' с Ъ вЂ” расстОяние От Спутиика до этой плоСКОсти; Ъ'„ У и Ус — составляющие вектора скорости соответственно по направлению вектора г, перпендикулярно этому вектору в основной плоскости и перпендикулярно основной плоскости.
Система дифференциальных уравнений движения спутника в цилиндрических коор. динатах может быть записана в следующем виде: При задании начальных условий в гринвичской системе прямоугольных координат Огуг преобразование их в систему цилиндрических координат производится в следующем порядке: — определяются координаты и составляющие вектора скорости на момент т=т, в системе прямоугольных координат ОХУХ по формулам гл. П, равд. 2. 2, п. 9! — рассчитываются величины то=~/ Х,+ У, + Хо= ~Ггв+у,+,; Г 2 2 2 / 2 2 2, 01 = «'01'.о — ХОУи! 2 = ХОУ 0 — ХоУ,0! сз = ХОУто — «'У„о! с = У~ с + 02 + сз; »/ 2 2 2, с,+с 2 2 сз а= з!п(0= Ь = соз «1 =.
—, с с «осз — Хосз е = соз ио= торс +с т 2 гос й= юпио= 01 + 02 У 2 2 01 02 з!п («0 = г = соз00 =— У 02 + 02 «/ сз + сз 1 2 1 2 гос ио =- атс а!п ! 0 к ио «4 2а; то Утс + 02 2 2' — определяются направляющие косинусы аы = ег — бй Р; аю =- еР+ бйг, а!3 — ий, ащ =- — йг — ье1; а22 = — й/ + бей, азз = ие и составляющие вектора скорости 1 то = 1 Хоа!1 + Угва12 + 1 гоа11 Уао =- Ухоам + Укоазз+ Угза2з. Ух = Хю + Х4о + Хю — Хзз — Хаб Уз = «'ю+ «'«о+ «'зо — У1з — «'4з! (!2.7) Уг =- г10+ г40+ Хзо — Х10 — Хчз! Х=-«х, У= Уг, Х=- Уг. Здесь и ниже обозначены: индексом «0» — центр масс КА, «!» — Солнца, «3»вЂ” Земли, «4» — Луны, «5» — системы Земля — Луна.
Таким образом, слагаемые с индексами 10, 40 и 30 представляют собой ускорения под действием сил притяжения Солнца, Луны и Земли (с учетом сопротивления атмосферы) соответственно, а слагаемы: с индексами 13 и 43 учитывают влияние Солнца и Луны на движение Земли. Слагаемые правых частей уравнений (12. 7) вычисляются по следующим формулам (индекс «0» при координатах н составляющих вектора скорости КА для сокращения записи в дальнейшем опускается): 336 Преобразование цилиндрических координат г и ь и составляющих вектора скорости У„У, Ус, полученным в результате интегрирования системы дифференциальных уравнений (12.
6) в систему координат ОХИ и Охуг, производится по формулам, приведенным в гл, 11, равд. 2. 2, п. 13. Лля высоких орбит (А.»3000 км) основной особенностью методов расчета является необходимость учета влияния Луны и Солнца на движение спутника. Как известно, координаты Луны и Солнца приводятся в Астрономическом ежегоднике ИТА АН СССР и в дополнениях к нему. Они даются в инерциольной геоцентринеской систеле коордичит ОХИ, фиксированной, например, на начало тропического 1960 г. В связи с этим методы расчета элементов таких орбит наиболее удобны для реализации на ЭВМ при описании двчжения спутника в системе координат ОХУХ.
В этой системе координат дифференциальные уравнения движения спутника имеют внд Х4 — Х хоо =- 2400 Г4О 3 х,— х Х40 = 22Д~(1 — х) з гзо У4 — У У40 = Ь4ЬО з Г4О У! — У «'ю = Ьздо(1 — х) з гзо ах Хоп = Ь450 з Г40 г! — г Х?0 = Ь2А~~(1 — х) г?о Х»' 3 522 — газо о! у Хзо= — — 3 1 Ьо — — Ьг 2 — 3902 — ° - газо~' 2 У 7 3 532 — гзо( Уг 1 30 ~Ь0 Ь2 2 — Я002 — ° гзо ( 2 гзо — 3 ( У (12.8) Х «3 5Х2 — Згзо ? ух Хзо= — 3 1Ь0 — — Ьз 2 ) — 5опз— Гзо Х?з = Ь2А0 з ' Зх! г?з Х4 Х4з = Ьоуо — 3 ,' Г43 «'!о= Ь2Аа з ' з» ! гзз ?'4 14з=Ь4Ьо 3 ' Г43 Хзз= Ьздо з ' зл?, '13 4 о 43 =- 2400 где гю = )/(Х! — Х)2+(У! — У»+ (Х! — Х)2; г40 = (Х4 — Х)2+ (? 4 — У)2 -1- (ло — л)2; г?з У Х! + У! + Х~, г43 Ь/ Х + У + г о/ 2 2 2, т/ 2 2 2, гзо =- Ухз + Уз + Хз У = у/ «/2 + (/зг + У~~! =1//( х+ У)2+( „ЗХ)2+Уз Высота полета й, необходимая для расчета плотности воздуха, вычисляется по формуле Хз» Ь=гзо — 77~ 1 — а 2 ).
гзо где гоо — геоцентрический гм — геоцентрический Аргументом таблиц Переход от московского по формуле радиус-вектор Луны; радиус-вектор центра масс системы Земля+Луна. Астрономического ежегодника является эфемеридное время. дЕКрЕтНОГО ВРЕМЕНИ Гх К ЭфЕМЕрндНОМу гоа ПрОИЗВОдИтСя (оф = Ä— т+ Ьт 337 Начальными условиями для интегрирования системы (12. 7) являются координаты Хо, Уо Яо и составляющие вектора скорости Ухо, Уто, Ухо в начальный момент времени »и При задании начальных условий в гриивичской системе координат Олух ПРеобразование их в систему координат ОХУХ производится по формулам гл. 11, равд. 2.
2, п. 9). Лля определения координат Солнца, входящих в правые части системы (!2. 7). используются таблицы геоцентрических координат центра масс системы Земля+Луна и геоцентрических координат Луны, приведенные в дополнениях к Астрономическому ежегоднику. Геоцентрические координаты Солнца вычисляются через координаты Луны и центра масс системы Земля+Луна по формулам: г?з= гоз — гз!, 'г?з (Х?, Уг, Х!), + 4 где ЬТ,е — поправка на переход от гринвичского и эфемеридному времени; т — поправка на переход от московского к гринвичскому времени, Значения координат Луны, системы Земля+Луна и редукционных величин у и 0 (см гл.
11, равд. 2. 2, п. 9) на любой не кратный табличному шагу момент времени мо- гут быть получены интерполяцией таблиц ЙТА АН СССР. Для решения систем дифференциальных уравнений (12. 4), (12. 6) и (12. 7) можно применять различные методы численного интегрирования. Наиболее экономичными по затратам времени расчета на ЭВМ являются разност- ные методы. Ниже рассматривается один из таких удобных для реализации на ЭВМ методов — метод Адамса.
Запишем систему дифференциальных уравнений движения спутника в общем виде Уу= гу(с, уг, Уз,..., Уз) (7=1, 2,..., 6), где уг(Ф), уз(1),..., уз(1) — искомые функции; у! (го) = удо* уз ((о) = уз.о, °, уз (т) = уз,а — начальные условия. Обозначим для краткости УА = Уу (1») 7А»= Ху(( ° У ° У,». " У, „). Пусть »~=сова(, т. е. интегрирование ведется с постоянным шагом.
Тогда по из- вестным значениям искомыв функций уаь в»-й точке (для»-го шага численного интег- рирования) и их производных 7, в (г+1)-й точке (в»-й и в г предыдущих точках) приближенные значения этих функций в (й+1)-й точке вычисляются по первой, или экстраполяциоиной, формуле Адамса у,„,=у,,+й, ~Ь,у у„, р о где Ьзуу — левая разность р-го порядка функции 77, вычисленнан в точке ,» .» ((», уь», уэ,»,..., узы), причем О~У,,»=у» 'У~» — Ул 'УА~ ~ У'УА~= Удю Коэффициенты Вр экстраполяционной формулы определяются соотношениями 1 1 Ро = 1; 3„= — ~ и (и+ 1)(и+2)...(и+ р — 1) Уи.
»в о (12.9) Отсюда 19087 60 480 ' 5217 рт= !7280 ' ! 070017 3628800 ' 2 082 753 7257 600 ' 26 842 253 95 800 320 1 2 5 5»=— 12 3 аз= 8 251 Зл == 720 95 288 Вторая, илн интерполяционная, формула Адамса позволяет уточнить значения искомых функций, полученные по экстраполяционной формуле, Интерполяционная формула Адамса записывается в виде 1 * „1 = 0; 8 — (и — 1) и (и + 1)...(и + р — 2) г(и.
о 338 УА»41 = УА»+ йг ~лр~ рру 75»4ы (12.10) р-о где уд»+э=-. 77(г»чю уь»-! уз»ьы.. уз» !) уу»-г (/=1, 2,..., 6) — значения искомых функций, полученные по экстраполяционной формуле (12.9). Коэффициенты 8 определяются соотношениями: Отсюда 863 1 8— 2 60 480 ' 1375 1 12 ' 120 960 33 953 1 82= 24 ' 3 628 800 57 281 19 84= 720 ' 7257600 ' 3 250 433 3 160 ' 479 001 600 Формулы Адамса (12.9) и (!2.10) применяют обычно тогда, когда в ходе вычислений, приходится менять число г входящих в них разностей. В случае, когда г фиксировано, для уменьшения объема вычислений пользуются модифицированными, или ординатными формулами Адамса. С помощью соотношения р рру, Я = ~ ( — !)1сг у. „, 1 б формулы (12.
9) и (!2. 10) приводятся к виду Г У) =Уг +Иг ~ алг р-б у) Я„= уу Я + иг~~~~~а 1 +1 (12.12) р о В отличие от формул (12. 9) и (!2. 10) в формулаи (!2. 11) и (12. 12) для различных г коэффициенты ар и ар» имеют разные значения В частности, для г=7 ао = 0 304224537 1Оо а = 0,115615906.101. Как следует из формул (12.!1) н (!2.!2), при численном интегрировании системы дифференциальных уравнений методом Адамса для каждой функции уг((), кроме начального значения, необходимо иметь еще г «разгонных» точек уг,ь уг,ь ° ° °, у1, ° дл" вычисления значений искомых функций в первых г точках обычно применяют метод Рунге — Кугта 4-го порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
