Нариманов Г.С. Основы теории полета космических аппаратов (1972) (1246632), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Примем за систему параметров, определяемых на основании обработки траекторных измерений, следующие элементы в начале йГ.го витка; время гл, географическую долготу Ел, модуль радиуса-вектора гл и составляющие вектора скорости о„ ч п к эп» пг»ч ' При аппроксимации этих элементов орбиты степенными полиномами за независимое переменное примем функцию номера витка «»» — «»«вип Х= ОКХК1 ~~ »ввх»»«епе где 1«' », и йГ „— минимальный и максимальный номера витков интервала аппроксимации, Тогда аппроксимирующие полиномы можно записать в виде 3, = ~чР„а,вХ; з э-о э» сп =~азэХ» э о (10.20у 3» з о«ж = ~л'.в 'геаХ» з-о где йь йп..., Ав — целые числа; а»в, агг,..., а»в — коэффициенты полиномов, Задачу определения элементов орбиты спутника по данным измерений на болылих интервалах времени сформулируем следующим образом: по данной системе измерений 1», г»в определить такие значения коэффициентов лолиномоз (1О.
20), которые наилучшим образом, в смысле способа. наименьших квадратов, удовлетворяют заданной си. стеме измерений. Исходными данными для решения задачи полииомным методом являются результаты измерений бь г» и приближенные значения коэффициентов полиномов (10.20) а»,ь (1=1, 2,..., 6; у=О, 1,..., й»), Последние определяются перед решением аппроксимацией расчетных значений элементов орбиты в начале витков 1л, г'.л,..., о и полиномами (1О. 20) заданной степени или принимаются равными коэффициентам, получен- 314 иым в результате решения краевой задачи полиномным методом по измерениям на предыдущем мерном интервале.
Исходя из алгоритма задачи данные измерений должны быть определенным образом упорядочены ко времени, например, при записи их иа магнитные запоминаю. шие устройства ЭВМ: — для каждого мерного витка измерения всех пунктов должны располагаться в порядке возрастания времени; — расположение измерений с различных мерных витков в порядке возрастания времени является не обязательным, но обычно такой принцип выдерживается, так как это обеспечивает определенные удобства при несложном алгоритме дополнительной обработки информации перед решением краевой задачи.
Для каждого измерения номер мерного витка 74» определяется из выражения 4Ч»п Т л» т»п где символ Е обозначает целую часть от выражения в скобкая; 1л м» вЂ” время прохождения спутника через восходящий узел орбиты для витка с номером»у»э»»»', Тл»»»ь= = 7»чм»я+» — Гл,ы„— период обращения для витна с номером й( Очевидно, что для всех измерений с временами 1», удовлетворяющими неравенству Гл(1»(тле», НОМЕР МЕРНОГО ВИтКа НЕ ИЗМЕНЯЕТСЯ. ПОЭТОМУ ОПРЕДЕЛЕНИЕ НОМЕРОВ МЕР- ных витков по формуле (10.
2!) производится лишь для времени первого измерения каждого нз этих витков. После определения»У по формулам (10. 20) вычисляются элементы орбиты в начале »»'-го витка.(л, Ел, гл, о„»»„ о„4Ч, о ж и пРоизвоДится преобразование координат и составляющих вектора скорости в систему координат Охуя. Расчетные значения текущих элементов орбиты а»(!) (1=1, 2,..., 6) и измеряемых параметров г» определяются на каждом мерном витке численным интегрированием системы дифференциальных уравнений (см.
гл. ХП) при начальных условиях (п, о и. оэл, о»л, хл, ул н зл= — О. Для всех измерений„отклонения которых удовлетворяют условиям (1О. 4), составляются условные уравнения вида '%"( дг» Ьг = '~ — За»а (1=1, 2,..., 6; А=О,!,..., й», »=1, 2,..., К!), й„~ даю »я (10.21) (10.22) где баы — искомые поправки к коэффициентам полиномов (10.20); д㻠— — частные производные от измеряемых параметров по этим коэффициентам, да»ь К» — число измерений.
дг» Величины производных — определяются из выражения дауд 6 71 дау дг» где =частные производные от измеряемых параметров по текущим элементам д»77 орбиты Частные производные от текущих элементов орбиты по коэффициентам полииомов (10.20) вычисляются по следующим формулам: д»77 = — »72» да»„! дру да) 2 даве доел» 3!5 дазь д»77 дазь д»77 да»а д»77 дазь )» да! ау~ 7' ад, д»77 =1 — соз Е + — з»п Е /.у» ( до»ч до»ч/ хл» э»у да! д»77 — — з!п Е + — соз Е )(» ч до, г»4 дс) Производные от текущих элементов орбиты по начальным условиям — (/, %их ш = 1, 2,..., 6) определяются либо методом вариаций, либо по конечным фор- мулам задачи двух тел. По условным уравнениям ~ а лаак = р,„ и 1 (10.
22) составляется система нормальных уравнений ! з т, п=1, 2,, х; х=~м~~й!+ 6 (10 23) ! 1 где а, ! и „=. ~~с — — р,; ! 1 (10.24) а, ~й~ дг! — зггр"., „б~~а( да,„ (10.25) Т =Т,„. (10.26) Поэтому система условных уравнений (10.22) должна быть дополнена условными уравнениями вида 1ь1 дТсч (10.27) ш'ас дага 1,а !Тм = Т," — Т'; где дТм — — производные от периода обращения по коэффициентам аппроксимируюсцих га полиномов. Производные от периода обращения по элементам орбиты з начале й(-го витка вычисляются по формулам дТм 3чмТк оск пхм дп, 2 — т „)Г~~ дт„ — =0; д! дтм — =0; дй, дс с с „,! ~ ь 1" ъ ч ))] ~1 + ~1 + ддгм 2 гм 1 2 дТгг 3чмТгг и палс + ~зг!ч Зт,Тм„о м дТм до'„, 2 — т )г~~ дп, 2 — тм Рям 316 В формулах (10.23) н (10.24) а! = ам, аз = пи...аа, —.аю, аа, з = азг,..., а„= аз!а. Система условных уравнений (!О.
22), а следовательно, и система нормальных уравнений (10.18) являются недостаточными для точного решения задачи полнномным методом. Это объясняется тем, что некоторые из коэффициентов аппроксимирующих полииомов (10.20) связаны между собой определенными кинемагическими зависимостями, без учета которых результаты решения задачи могут быть искажены за счет влияния как неучтенных систематических ошибок измерений, так и методических ошибок, обусловленных неполным учетом сил, действующих на спутник.
Рассмотрим прежде всего такой параметр орбиты, как драконический период обращения спутника Тл, С одной стороны, Тм — — 1,+ — (ль причем времена в начале Ф.го и (йг+1)-го витков определяются по первому из полиномов (10.20) С другой стороны, период обращения можно вычислить численным интегрированием системы дифференциальных уравнений (12. 4) по элементам орбиты з начале дс-го витка: п„,л„п„лг, пслг, хкг — — гл( Ум —— 0; зм — — О, т. е. Тг! — —,У(п,м, о„м, и м, гм), Очевидно, что решение задачи должно производиться при условии тле )/2 зщ гм гм м лг лск )г" с»( л)» л' 2 — т ' л» )7а 2 '2 '2 '2 2 )'м = о' «7+ олм + п»м + згм — 2 згмиум.
Производные от периода обращения по коэффициентам полиномов (10. 20) вычисляются после этого по формулам дТ«г дТм 0=1 2 . 6' й=-0 1 2 ° «!). да!«дд !«г Количество условных уравнений (10.27) К» зависит от числа витков в интервале (А»м»„, АГм»к). В пРедельном слУчае К»мл»=А(лл» вЂ” А!лил+ 1, однако пРи этом сУщественно увеличивается время решения задачи на ЭВМ. Анализ показывает, что резуль. таты решения задачи практически совпадают с полученными при Ккмкк, если условные уравнения (10.27) составлять лишь для Кл= (0,15 — 0,20)К»м»к витков, равномерно распределенных в интервале (Ум»л, Ага»к).
Веса условнып» уравнений (10. 27) рг выбираются на основании опыта'обработки траекторных измерений. Как показывают сравнительные расчеты при изменении рг в широких пределах, результаты решения задачи изменяются незначительно. Кроме условия (10.26), для принятой системы определяемых параметров можно ввести также условия учу+1 —— 1~+1 и глг+1 — — г~,41.Однако, как показывают расчеты, особой необходимости в этом нет, так как точность определения орбиты полиномным методом достаточно высока даже в том случае, если ограничиться только введением условия (1О.
26). Система нормальных уравнений, соответствующая условным уравнениям (!О. 27), запишется в следующем виде: ~~а лза«=3 л 1 (!О. 28) где ~1 дТ! дТ; 4~~2 дам дал 1-1 Ъ~ дт; — Ьтгр . Р~да„ 1-1 б ~~~~~ ам«зал —— Зм (т, и =- 1, 2,..., к= ~ЧР„« + 6 л 1 !1 (10.29) где В результате решения системы нормальных уравнений (!0.29) в каждом приближении определяются поправки к коэффициентам полиномов (10.20) и уточненные значения этих коэффициентов по формулам а „ =.а + У Ьа!«, !»1 1 где ч — номер приближения. Критериями схпдимости процесса последовательных приближений являются неравенства )Ьа„) а»,«! л <к.
Средняя квадратическая ошибка единицы веса а вычисляется в каждом приблвжении йо формуле 1 «, «» ~чР~ (ьг!р;)2+ ~~(ьтгрг'Т вЂ” ~я~~ ~ьа,„р ! 1 ! 1 1 л= «1 + 22 где Ьам — поправка к коэффициентам полиномов (10.20); 8,„— правые части нормальных уравнений (10.29). 317 При решении задачи на ЭВМ расчеты в каждом приближении целесообразно производить в два этапа: составляются нормальные уравнения (10.23); затем в результате численного интегрирования дифференциальных уравнений (!2.4) на й, витках— нормальные уравнения (1О. 28) и окончательно формируется система нормальных уравнений Степень каждого из полиномов (1О. 20) зависит от характера изменения соответствующего элемента орбиты на интервале аппроксимации (лймы, АГмах).
При выборе степеней полиномов необходимо также учитывать точность измерений, в результате обработки которых определяется орбита спутника. При больших ошибках измерений и невысокой ьследствие этого точности определения элементов орбиты нецелесообразно добиваться максимально возможного исключения методических ошибок за счет повышения степеней аппроксимирующих полиномов.
Анализ влияния основных возмущающих факторов на характер изменения элементов орбиты как функций номера витка й1 показывает следующее: — ошибки аппРоксимации элементов оРбиты Гз, Тот гж,... о ж полиномами (10.20) при заданной длине интервала ()тмы, АГмаа) определяются главным образом аномалиями поля сил тяжести а для низких орбит (Ь,р(250 км) — аномалиями н торможением спутника в земной атмосфере; — ошибки аппроксимации, обусловленные сжатием Земли и долгопериодическими колебаниями плотности атмосферы, сравнительно невелики даже при большой длине интервала аппроксимации; — из всех элементов орбиты наибольшие методические ошибки наблюдаются пРи аппРоксимаЦии вРемени (л1 Уменьшение Длины меоного интеРвала в Два-тРи Раза приводит, как правило, к уменьшению методический ошибки аппроксимации времени Г» более чем на порядок.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
