Нариманов Г.С. Основы теории полета космических аппаратов (1972) (1246632), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Значения искомых функций при использовании этого метода вычисляются по формулам уу + — уу Я + — Иг(И1 1+ 2!12) + 2Из 1+ И« 1) (7= 1, 2...,, 6), где И1,1 =- г 7 (бя У!,я У2,я Уая) 1 1 1 1 И2,7= г ' (Я + Иг У!,Я+ И1,1 У2,Я+ И1,2 ° ° » Уб,ь+ И1,б) 2 ' ' 2 '' ' 2 '' ' 2 1 1 1 1 Иъ)=У/(гя+ 2 Иг Уья+ 2 И2,1 Узя+ 2 И2Л ° Убь+ 2 Иэб) ' Ибг) 11((Я + И11 у1 Я + Из 1 у24 + Из 2,..., Уба + Из б). 339 а,з = 0,358995535 ! 01; а, = — 0,952520668.1011 аэ = 0,180545387 102; аз = — 0,220277530.102 а4 = 0,0173796544 102; аб = — 0,861212797.101.
аб = 0.244516369.101 аг = — 0,304224537. 10б; аэ = — О, 100691964. 101; аз = +0,101796461 101; аб = — 0,732035384 10о; аб = 0,343080357 10б; аб — — 0,938409392 10-1; ат — — О, 113673942 10-1. Здесь второй индекс у величин йь й«, йз, й«показывает, к какой функции ут(() относятся эти коэффициенты, Точность численного интегрирования систем дифференциальных уравнений (12.4) и (!2. 7) методом Адамса зависит от величины шага интегрирования Ьь числа г удерживаемыл1 в формулах (12. 11) и (12.!2) разностей, а также от разрядности и особенностей выполнения арифметических операций в ЭВМ, используемых для расчета элементов орбит. Для анализа ошибок численного интегрирования можно рекомендовать следующие способы. 1.
Анализ главной части ошибок численного интегрирования можно производить путем сравнения результатов расчета элементов орбит для кеплеровского движения (аг«=0, 8=0, влияние Солнца и Луны не учитывается) численным интегрированием и по формулам эллиптической теории. При этом, как показывают расчеты, необходимо анализировать лишь ошибки определения положения спутника вдоль витка, так как по сравнению с ними ошибки по высоте и в направлении, перпендикулярном плоскости орбиты, пренебрежимо малы.
При использовании этого способа численным интегрированием вычисляется время Уд, в начале АГ-го витка. За начало витка, как правило, принимают точку пересечения ~! орбиты с плоскостью экватора при движении спутника с юга на север. Это же время определяется по формуле (12.13) й<о1 = г, + (л — П т„., лг где Г~ — время в начале первого витка; Т„, — оскулирующий период обращения, вы- числяемый по известной формуле (3. 25) (см. гл. П!). Так как ошибка вычисления 1!(Ш по формуле (!2. 13) практически равна нулю, величина разности з(л = гл — г~мщ представляет собой истинную ошибку численного интегрирования для случая кеплеров- ского движения. Оценки ошибок численного интегрирования, полученные для кеплеровского движения, в основном являются справедливыми и для возмущенного движения спутника.
2. Оценку дополнительных ошибок численного интегрирования, обусловленных влиянием возмущающих факторов, можно производить двумя способами: а) путем сравнения результатов интегрирования систем (12. 4), (12. 6) и (12. 7) 1 при значениях шага интегрирования й, и — йь Практическое совпадение этих результатов является необходимым условием того, что интегрирование с шагом Ь~ обладает удовлетворительной точностью; б) путем контроля в процессе численного интегрирования постоянства функции Е = Т + ЯТ+ Е = сопи!. Если систему (!2.4), (12.6) или (!2.7) дополнить дифференциальным уравнением Ео = — айвз то величина Еп вычисляется в результате численного интегрирования вновь образованной системы из семи дифференциальных уравнений.
Поскольку величины Т и йг могут быть вычислены по известным формулам, вид которых зависит от системы координат, то для каждого момента времени 1«=1«+Ай|(й=!, 2,...) может быть произведена проверка условия ! Е «Е ю ! где Ег и Е« — значения функции Е соответственно в моменты времени Г«и Г». Непосредственные расчеты показывают, что если ошибки численного интегрирования систем дифференциальных уравнений (12. 4) и (12. 7) с постоянным шагом М практически равны нулю для кеплеровского движения, то для возмущенного движения спутника выполняются необходимые условия равенства нулю ошибок интегрирования для способов их оценки «а» и «бж Точность и быстродействие методов расчета орбит спутников численным интегрированием в значительной степени зависит от характеристик орбит и в первую очередь от эксцентриситета е, При е(0,2 целесообразно, как правило, применять метод интегрирования Адамса с постоянным шагом.
Для времени полета спутника в 15 — 20 суток достаточно высокая точность численного интегрирования с постоянным шагом на ЭВМ с разрядностью мантисс представляемых чисел в 36 и более двоичных разрядов достигается при г= 7 †: 9 и й~ 90чь!20 с. Для получения г «разгонных» точек системы (12.4) и (12. 7) можно интегрировать методом Рунге — Кутта с шагом А~=15-ь30 с.
Для орбит с эксцентриситетами г>0,2, как правило, целесообразно применять метод численного интегрирования Адамса с автоматическим выбором шага. Применение такого метода позволяет при эквивалентной точности обеспечить значительное повышение быстродействия методов расчета элементов орбит по сравнению с интегрированием с постоянным шагом. Суть метода состоит в следующем. На каждом шаге численного интегрирования вычисляются разности (12.14) )Ьу)ьь ! ( з для всех 7 интегрирование с шагом Ь, производится до накопления необходимого числа точек, в которых через интервалы времени 25~ известны значения функций !ь Дальнейшее интегрирование продолжается с удвоенным шагом. Во втором случае, прн ~ ЗУ) а+ ~) З ХОТЯ бЫ ДЛЯ ОДНОГО ЗНаЧЕНИЯ 7', ,а+1 зД по известным значениям функций 7! в (г+1).й точках путем интерполяции по фор- м)ле Лагранжа определяются значейия этих функций для моментов времени 1 3 г+1 гз — йг гз — "г .
тз —, йы 2 ' 2 ' ' 2 1 После этого интегрирование продолжается с шагом, равным — йь Значения вели- 2 чин еь! и езл выбирают экспериментально на основании анализа результатов сравнительных оценочных расчетов для каждого класса орбит исходя из требуемой точности прогнозирования. При решении различных задач в процессе численного интегрирования системы дифференциальных уравнений движения спутника необходимо вычислять его координаты и составляющие вектора скорости в моменты времени йя не кратньы шагу интегрирования Ьь Для этой цели обычно используются точные интерполяционные формулы, основанные на применении интерлоляциолной формулы Лагранжа для производных 1! от искомых функций. Введем переменную хз — х„ Тогда для г=7 интерполяционная формула Лагранжа запишется в виде 1 У(1) = Уз — т((т — 21(з+ 175(з — 73514+ 1624Р— 1764(з ! 7201) 5040 — Уз — з((т — 22$з + 190$з — 82014 + 18491з — 2038сз -!- 8401),.
1 720 + Уз — з((т — 23."'з+ 207Р— 92514+ 2!44(з — 24128з.! 10081) 1 240 — уз з((т 24$з + 226Р !05614 ! 2545)з 2952(з ! 12608) .! 1 144 + уз — з(17 — 25(з + 247сз !219(ч -! 3112(з 3796(г + 16801)— 1 144 1 — Уз з((т 261з+ 270сз 1420с4 -1- 3929(з 5274(з.(- 25201).+ 240 + — Уз г(бт 27(з+ 2951э 166514-1- 5!041з — 8028(з+ 50401)— 1 720 — Уа ((т 281з + 322(з 195014 -)- 6769(з 13! 32Р + 1 5040 + 13 0681 — 5040). (12.15) 341 "дз+з = "3,а+! рдз+з где ру „и у) а+! — значения искомых функций, вычисленные соответственно по фор- мулам (12, 11) и (12.
12). Если выполняются условия 'х,) Я~'РЛ+х! к'зД, то шаг интегрирования Ь~ не меняется. При невыполнении хотя бы одного из условий (12. 14) производится или увеличе- ние, или уменьшение шага интегрирования в два раза, В первом случае где Интегрируя уравнение (12. 15), получим уу(г„) = уу (вд)+ йг ~~~', у) ф! (7 =-1,2,...,6), г д — т ф» т — (ЗЕз 72Ет + 700Ев 3528Ев + 9744Е4 + 14 112Ез+ 8640ЕЯ) 1 120 960 фд-в =— 1 120 960 (21Ев — 528Ет + 5320Ев — 27 552Ев + 77 658Е 4+ 11 4 128Ез+ 70 560Ет); 1 фд в = (63Ев — 1656Ет + 17 388Ев — 93 240Ев+ 270 144Е» — 405 216Ез+ 120 960 + 254 016Ез); фд — 4 = 1 120 960 (105Ев 2880Ет+ 31 640Ев 177 408Ев+ 534 450Е4 — 826 560сз.! 529200Ез); (105Ез — ЗОООЕ! .~- 34 580Ев — 204 792Е з + 653 520Ż— 1 120 960 — 1 062 880Ез.~ 705600Ез).
1 120 960 (6ЗЕз — 1872Ет + 22 680»в — 143 136Ев + 495 054Ż— — 886 032Ез+ 635 040Ет); При решении таких задач, как определение времени существования искусственного спутника Земли, определение эволюции орбиты спутника за время его существования и т. п„вознинает необходимость расчета элементов орбиты спутника для больших интервалов времени полета (порядка сотен и тысяч оборотов спутника вокруг Земли). Во всех таких случаях нри использовании описанныв выше методов численного интегрирования требуется весьма большое время для расчета элементов орбиты на электронных вычислительных машинах. Это объясняется тем, что из-за колебательного характера изменения, например, оскулирующих элементов орбиты на протяжении одного периода, нельзя назначать достаточно большой шаг интегрирования, В то же время, если рассматривать некоторые элементы орбит»» в начале витка как функции номера витка, то их изменения носят монотонный характер Это позволяет построить экономный метод численного решения уравнений в конечных разностяп для расчета орбит ИСЗ на большие интервалы времени его полета [22).
Запишем систему уравнений в конечных разностях в виде уды+! удл уды !(и уз,л уз,м ' ув !у) где у) — искомые фуннции; уу — приращение искомых функций; х, — х =Ь. Задачу численного решения уравнений (!2. 16) сформулируем следующим образом: найти значение исномых функций уз, удовлетворяющих уравнениям (!2.
16) при х=хн+Н (где Н=пй, а а — положительное целое числа), если значения искомых функций у! при х=хн известны. Рассмотрим прежде всего метод решения уравнений (12. 16), аналогичный обычному методу численного интегрирования Адамса 4-го порядка. Пусть в точке й (в начале витка с номером й) известны значения искомых функций уь» (1=1, 2,..., 6) и, кроме того, известны приращения этих функций за один оборот в й-, (й — а)-, (Д вЂ” 2а)- и (Д вЂ” Зл)-точках, а имению 7А» У),»+з УА» УА» „= УА» — „+з ида — н (12.!6) 342 ф» — ! = 1 120 960 (2!Ев 648Ет ! 8260Ев 55944Ев -1- 214 368Е4— 449568Ез ! 423 360Ез) ф» = 1 (З»в 96Ет+.1288Ев 94086в ! 4061 4Е4 — 105 056Ез.1-1о68!6 Ез — 120 960Е), 120 960 У Н» — зл = У/,з-зл+1 УУ,а — зл! у Нз — зл У),з — зд ьх У1,6 — з где л — шаг численного решения уравнений (12. !6).
Тогда приближенные значения искомыл функций в (й+л)-й точке вычисляются по экстраполяционной формуле з "Нзч-л= У/.з+" .'Е Нз р Гз — р р 0 (12.17) где 55л2 — Збл + 5 (л — 1) (59л — 13) 24л2 ; " 24 2 (л — 1) (37л — 11) (л — 1) (зл — 1) ~л — 2л = 24 2 Лл-зл = л 8л2 после этого по значениям функций уьл««вычисляются их приращения !ь»4 и по интерполяционной формуле уточня1отся значения искомых функций в (А-Ьл)-й точке з « УН6.1.« = 'Уг з+ л ~~,' тсз — рлуз — !р — 1>л, и-о (12.18) где й1,1 У! (хд1 У1,У У гт ' ' ' У6,26)\ л — ! л — 1 п — 1 л — 1 йз!=У/(х,+ Н; у„,+ — йл, у „+ — йл,...,у + — й,); л 2л ' ' здг 2л ' МУ 2л '/' аН =7) ~ м+ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
