Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012) (1246138), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Например,можно представить изображение с размерами M×N в виде вектора размерностиMN×1, используя первую строку изображения в качестве первых N элементовэтого вектора, вторую строку — как следующие N элементов и т. д. Если изображение представлено таким способом, то широкий круг линейных преобразований, применяемых к изображению, можно описать в единой формеg = Hf + n ,(2.6-29)где вектор f размерности MN×1 представляет исходное изображение, вектор nразмерности MN×1 представляет шумовую составляющую размерами M×N,вектор g размерности MN×1 представляет обработанное изображение, а H — матрица порядка MN×MN, которая задает линейное преобразование, применяемое к исходному изображению (см.
раздел 2.6.2 о линейных преобразованиях).Например, начав с (2.6-29), можно разработать всю совокупность обобщенныхметодов восстановления изображений, как мы увидим в разделе 5.9. Мы коснемся темы использования матричного представления в следующем разделеи продемонстрируем другие применения матриц при цифровой обработке изображений в главах 5, 8, 11 и 12.2.6.7. Преобразования изображенийВсе до сих пор обсуждавшиеся методы обработки цифровых изображений оперировали непосредственно пикселями исходного изображения, т.
е. работалипрямо в пространственной области. В некоторых случаях задачи обработкиизображений легче формулируются после преобразования исходного изображения, которое переводит задачу в область преобразования, а для возвращенияобратно в пространственную область используется обратное преобразование.По мере освоения книги мы встретимся с разнообразными преобразованиями.Особенно важный класс двумерных линейных преобразований, которые будемобозначать T(u, v), в общем виде описывается выражением2.6. Введение в математический аппарат, применяемыйв цифровой обработке изображенийf(x, y)ПространственнаяобластьРис.
2.39.Прямое T(u, v)преобразованиеОперация R[T(u, v)]RОбратноепреобразованиеОбласть преобразования131g(x, y)ПространственнаяобластьОбщий подход к обработке в области линейных преобразованийM −1 N −1T (u,v ) = ∑ ∑ f ( x, y ) r ( x, y,u,v ) ,(2.6-30)x =0 y =0где f(x, y) — исходное изображение, r(x, y, u, v) называется ядром прямого преобразования и выражение (2.6-30) вычисляется для u = 0, 1, 2,..., M – 1 и v = 0, 1, 2,..., N – 1.Как и прежде, x и y — пространственные переменные, а M и N — количествастрок и столбцов в f.
T(u, v) называется прямым преобразованием изображенияf(x, y), а переменные u и v — переменными преобразования. Имея T(u, v), можновосстановить f(x, y) применением к T(u, v) обратного преобразованияM −1 N −1f ( x, y ) = ∑ ∑ T (u,v ) s ( x, y,u,v ) ,(2.6-31)u =0 v =0для x = 0, 1, 2,..., M – 1 и y = 0, 1, 2,..., N – 1, где s(x, y, u, v) называется ядром обратного преобразования. Вместе (2.6-30) и (2.6-31) называются парой преобразований.На рис. 2.39 показаны основные шаги обработки изображения в области линейных преобразований.
Сначала исходное изображение преобразуется, затемрезультат преобразования модифицируется с помощью заранее заданной операции, и в конце с помощью обратного преобразования вычисляется результирующее изображение. Таким образом, процесс из пространственной областипереходит в область преобразования и затем возвращается обратно в пространственную область.Пример 2.11. Обработка изображения в пространстве преобразования.■ Рис.
2.40 демонстрирует пример выполнения шагов, показанных на рис. 2.39.В данном случае в качестве преобразования используется преобразование Фурье, коротко упоминаемое ниже в этом разделе и подробно рассмотренное в главе 4. На рис. 2.40(а) приведено изображение, искаженное синусоидальными помехами, а на рис. 2.40(б) представлена амплитуда его Фурье-преобразования,что составляет результат первого шага на рис. 2.39. Как мы узнаем в главе 4, синусоидальные помехи в пространственной области проявляются в форме яркихточек в преобразованном пространстве (частотной области).
В данном случаеэти точки расположены по кругу, как видно из рис. 2.40(б). На рис. 2.40(в) показано изображение-маска (называемое фильтром), в котором белое соответствуетзначению 1, а черное 0. В этом примере операция во втором блоке на рис. 2.39 состоит в умножении преобразованного изображения на маску, в результате чегояркие точки, ответственные за помехи, удаляются. Окончательный результат,полученный с помощью вычисления обратного преобразования ранее преобразованного и затем измененного изображения, представлен на рис. 2.40(г).
Теперьпомехи отсутствуют, и хорошо видны детали изображения. Можно даже различить координатные метки (тусклые крестики), используемые для совмещения■изображений.132Глава 2. Основы цифрового представления изображенийа бв гРис. 2.40. (а) Изображение, искаженное синусоидальными помехами. (б) Амплитуда Фурье-преобразования (спектр) с заметными яркими точками, которые ответственны за помехи.
(в) Маска для подавления энергии ярких точек. (г) Результат вычисления обратного преобразованияФурье от измененного Фурье-образа. (Исходное изображение предоставлено NASA)Говорят, что ядро прямого преобразования разделимо (сепарабельно), еслиr ( x, y,u,v ) = r1 ( x,u ) r2 ( y,v ) .(2.6-32)Если, кроме того, r1(x, y) и r 2(x, y) суть одна и та же функция, так чтоr ( x, y,u,v ) = r1 ( x,u ) r1 ( y,v ) ,(2.6-33)то ядро называется симметричным. То же самое относится к ядру обратного преобразования, если в двух последних уравнениях заменить r на s.Рассмотренное в примере 2.11 двумерное преобразование Фурье имеет прямое и обратное ядра соответственноr ( x, y,u,v ) = e −i 2π(ux /M +vy /N )иs ( x, y,u,v ) =1 i 2π(ux /M +vy /N ),eMN(2.6-34)(2.6-35)где i = −1 , так что эти ядра комплексные.
Подставляя эти ядра в общий видпреобразований (2.6-30) и (2.6-31), получаем пару дискретных преобразованийФурье:M −1 N −1T (u,v ) = ∑ ∑ f ( x, y )e −i 2 π(ux /M +vy /N )x =0 y =0(2.6-36)2.6. Введение в математический аппарат, применяемыйв цифровой обработке изображенийиf ( x, y ) =1MNM −1 N −1∑ ∑T (u,v )ei 2 π( ux /M +vy /N ).133(2.6-37)u =0 v =0Эти соотношения являются исключительно важными для цифровой обработкиизображений, и бо ́льшую часть главы 4 мы посвятим сначала их выводу из некоторых базовых принципов, а затем использованию для широкого круга прикладных задач.Нетрудно показать, что ядра преобразований Фурье разделимы и симметричны (задача 2.25) и что двумерное преобразование с разделимым и симметричным ядром можно вычислить с помощью одномерного преобразования(задача 2.26).
Если прямое и обратное ядра пары преобразований удовлетворяютуказанным двум условиям и f(x, y) — квадратное изображение размерами M×M,тогда (2.6-30) и (2.6-31) можно записать в матричной форме:T = AFA ,(2.6-38)где F — квадратная матрица порядка M, составленная из элементов f(x, y) (см.
соотношение (2.4-2)), матрица A такого же размера с элементами aij = r1(i, j) и результат преобразования T — также квадратная матрица порядка M, элементыкоторой суть значения T(u, v) для u, v = 0, 1, 2,..., M – 1.Для вычисления обратного преобразования нужно умножить обе части(2.6-38) справа и слева на матрицу обратного преобразования B:BTB = BAFAB .(2.6-39)Если B = A –1, получаем соотношениеF = BTB ,(2.6-40)показывающее, что матрица F (т. е.
изображение f(x, y)) полностью восстанавливается из результата прямого преобразования). В противном случае восстанавливается приближениеˆ(2.6-41)F = BAFAB .Помимо Фурье-преобразования, в форме соотношений (2.6-30)—(2.6-31)или, что то же самое, (2.6-38)—(2.6-40) можно выразить множество других важных преобразований, в том числе преобразования Уолша — Адамара, Хаара,дискретное косинусное и S-преобразование. Мы рассмотрим некоторые из них,а также другие преобразования в последующих главах.2.6.8. Вероятностные методыПри цифровой обработке изображений многие объекты могут быть описаныс точки зрения вероятностного подхода. Самый простой из них — когда значения яркости трактуются как реализации случайной величины. Например,обозначим через zi, i = 0, 1, 2,..., L – 1, всевозможные значения яркостей пикселей на цифровом изображении размерами M×N.
Вероятность p(zk) встретитьуровень яркости zk в данном изображении оценивается величиной134Глава 2. Основы цифрового представления изображенийВ разделе «Обучающие материалы» на сайте книги в Интернете дается краткийобзор теории вероятности.nk,(2.6-42)MNгде nk — число пикселей с яркостью zk в этом изображении, а MN — общее числопикселей. Ясно, чтоp(zk ) =L −1∑ p(zk =0k) = 1.(2.6-43)Зная p(zk), можно определить ряд важных характеристик изображения. Например, математическое ожидание (среднее значение) яркости задается выражениемL −1m = ∑ zk p(zk ) .(2.6-44)k =0Аналогично дисперсия яркости равнаL −1σ 2 = ∑ (zk − m)2 p(zk ) .(2.6-45)k =0Дисперсия характеризует рассеяние значений z вблизи математическогоожидания и поэтому является удобной мерой контраста изображения. В общемслучае центральный момент n-го порядка случайной величины z определяетсявыражениемL −1μn (z ) = ∑ (zk − m)n p(zk ) .(2.6-46)k =0Как видим, μ0(z) = 1, μ1(z) = 0 и μ2(z) = σ2.
В то время как математическое ожидание и дисперсия имеют непосредственную и очевидную связь с визуальнымисвойствами изображения, влияние моментов более высокого порядка намногоменее заметно. Например, положительная величина третьего момента показывает, что яркости смещены в бóльшую сторону от среднего значения, при отрицательном третьем моменте картина противоположная, а нулевая величинатретьего момента говорит о том, что значения яркости распределены приблизительно поровну от среднего. Эти характеристики могут быть полезны при вычислениях, но они мало говорят о картине изображения в целом.Размерность дисперсии равна квадрату значений яркости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
