Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012) (1246138), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Если элементу U сопоставлено значение 1, то этот элемент принадлежит A, и наоборот. Поскольку мы оперируем двузначной логикой, функ-2.6. Введение в математический аппарат, применяемыйв цифровой обработке изображений121ция принадлежности просто задает порог для возраста, при котором (и меньших значениях) человек считается молодым, а выше которого — немолодым.Предположим, что мы определили как молодых всех людей, имеющих возраст20 лет и меньше. Сразу появляется трудность: человек, чей возраст составляет 20лет и 1 секунду, не должен входить в множество молодых людей. Такое ограничение возникает вне зависимости от значения порога, принятого для классификации людей как молодых. Хотелось бы иметь более гибкое определение того,что подразумевается под «молодостью», т.
е. иметь постепенный переход из молодых в немолодые. Теория нечетких множеств реализует эту идею с помощьюфункций принадлежности, которые постепенно меняются в интервале междуграничными значениями 1 (определенно молодой) и 0 (определенно немолодой). С помощью нечетких множеств можно делать утверждение, что некоторыйчеловек на 50 % молодой (находится в середине перехода от молодого к немолодому).
Иначе говоря, возраст представляет собой неточное понятие, и нечеткаялогика дает возможность работы с такими понятиями. Нечеткие множества будут подробнее рассматриваться в разделе 3.8.2.6.5. Пространственные операцииПространственные операции выполняются непосредственно над значениямипикселей данного изображения. Эти операции можно разделить на три широких класса: (1) поэлементные операции (поточечная обработка), (2) операциинад окрестностью (локальная обработка) и (3) геометрические преобразования(глобальная обработка).Поэлементные операцииПростейшая операция над цифровым изображением состоит в изменении значений отдельных пикселей исходя из их яркости.
Такой способ обработки может быть выражен функцией градационного преобразования (также называемойфункцией преобразования интенсивностей или функцией отображения) видаs = T(z)255s00z0255zРис. 2.34. Функция градационного преобразования, используемая для получения негатива 8-битового изображения.
Пунктирные стрелки показывают, как произвольное значение исходной яркости z0 преобразуетсяв значение яркости s 0 соответственного пикселя на результирующемизображении122Глава 2. Основы цифрового представления изображенийs = T (z ),(2.6-20)где z — яркость пикселя исходного изображения, а s — полученная после преобразования яркость соответственного пикселя на обработанном изображении.Например, на рис. 2.34 изображена функция преобразования, используемая дляполучения негатива 8-битового изображения, такого как на рис. 2.32(б), который был получен с помощью операций над множествами. В главе 3 рассматривается ряд методов задания функций градационного преобразования.Операции над окрестностьюОбозначим Sxy множество координат окрестности произвольной точки (x, y)изображения f. При обработке окрестности генерируется соответственный(имеющий те же координаты) пиксель в выходном изображении g таким образом, что его значение определяется с помощью заданной операции над пикселями исходного изображения с координатами из Sxy.
Например, пусть эта операция состоит в вычислении среднего значения яркости пикселей прямоугольнойокрестности с размерами m × n и центром в точке (x, y). Координаты пикселейв этой области составляют множество Sxy. Рис. 2.35(а) и (б) иллюстрируют такойпроцесс. Эту операцию можно выразить уравнениемg ( x, y ) =1∑ f (r ,c) ,mn (r ,c )∈S xy(2.6-21)где r и c суть координаты строки и столбца для тех пикселей, координаты которых входят в множество Sxy. Изображение g формируется путем варьированиякоординат (x, y) так, что центр окрестности передвигается по изображению fот пикселя к пикселю и в каждом новом месте повторяется та же самая операция над окрестностью. Например, изображение на рис. 2.35(г) получено такимспособом с помощью окрестности размерами 41×41.
Достигаемый эффект выражается в локальной расфокусировке исходного изображения. Такой способобработки применяется, например, для устранения мелких деталей и тем самым выявления «пятен», соответствующих самым крупным областям изображения. Локальная обработка рассматривается в главах 3 и 5, а также в другихместах книги.Геометрические преобразования и совмещение изображенийГеометрические преобразования изменяют пространственные взаимосвязимежду пикселями на изображении. Геометрические преобразования часто называют преобразованиями резинового листа, поскольку их можно представитьсебе как процесс распечатки изображения на листе из резины и дальнейшеерастягивание этого листа в соответствии с определенными правилами.
С точкизрения цифровой обработки изображений геометрические преобразования состоят из следующих двух основных операций: (1) пространственное преобразование координат и (2) интерполяция значений яркости, при которой происходитприсвоение значений яркости точкам изображения, подвергнутого пространственному преобразованию.Преобразование координат может быть выражено в форме уравнения( x, y ) = T {(v,w )} ,(2.6-22)2.6.
Введение в математический аппарат, применяемыйв цифровой обработке изображенийа бв г123nm(x, y)(x, y)SxyИзображение fЯркость этого пикселя равнасреднему значению яркостипикселей в окрестности SxyИзображение gРис. 2.35. Локальное усреднение с помощью обработки окрестности. Процедура для прямоугольной окрестности показана на рисунках (а) и (б).(в) Ангиограмма аорты из раздела 1.3.2. (г) Результат использованияуравнения (2.6-21) с m = n = 41. Размеры изображений 790×686 пикселейгде (v, w) — координаты пикселя на исходном изображении, а (x, y) — координатысоответственного пикселя на преобразованном изображении.
Например, преобразование (x, y) = T{(v, w)} = (v/2, w/2) сжимает исходное изображение до половины первоначального размера в каждом направлении. Одним из наиболеечасто применяемых преобразований координат является аффинное преобразование [Wolberg, 1990], которое имеет общую форму⎡t11 t12 0⎤[ x y 1] = [v w 1] T = [v w 1] ⎢⎢t21 t22 0⎥⎥ .⎢⎣t31 t32 1⎥⎦(2.6-23)124Глава 2. Основы цифрового представления изображенийТаблица 2.2. Аффинные преобразования на основе уравнения (2.6-23)НазваниепреобразованияАффиннаяматрица TПреобразованиекоординатТождественноепреобразование⎡1 0 0⎤⎢0 1 0⎥⎥⎢⎢⎣0 0 1⎥⎦x =vy =w⎡cx 0 0⎤⎢ 0 c 0⎥y⎥⎢⎣⎢ 0 0 1⎥⎦x = cx vy = cy w⎡ cos θ sin θ 0⎤⎢− sin θ cos θ 0⎥⎥⎢⎢⎣ 001⎥⎦x = v cos θ − w sin θy = v sin θ + w cos θПараллельныйперенос (сдвиг)⎡ 1 0 0⎤⎥⎢⎢ 0 1 0⎥⎢⎣t x t y 1⎥⎦x = v + txy = w + tyВертикальныйскос⎡ 1 0 0⎤⎢ s 1 0⎥⎥⎢v⎢⎣ 0 0 1⎥⎦x = v + sv wy =wГоризонтальныйскос⎡1 sh 0⎤⎢0 1 0⎥⎥⎢⎢⎣0 0 1⎥⎦x =vy = sh v + wИзменениемасштабаПоворотПримерyxВ зависимости от выбранных значений элементов матрицы T, это преобразование позволяет осуществлять изменение масштаба, поворот, сдвиг или скос множества координатных точек.
В табл. 2.2 указаны значения элементов матрицы,используемые для реализации этих преобразований. Реальная сила матричного представления (2.6-23) состоит в том, что оно предлагает единый каркас длявыполнения последовательности различных операций. Например, чтобы изменить размеры изображения, повернуть его и передвинуть результат в другоеместо, достаточно просто сформировать матрицу 3×3, равную произведениюматриц масштабирования, поворота и параллельного переноса из табл. 2.2.Вышеописанные преобразования перемещают пиксели изображения в новые места. Для завершения процесса необходимо присвоить им значения яркости. Эта задача решается с помощью интерполяции яркостей, которая ужерассматривалась в разделе 2.4.4.
Там мы начали с примера, связанного с увеличением изображения, и рассмотрели вопрос о присвоении значений яркости пикселей на новых местах. Увеличение — это просто масштабное преобразование,указанное во второй строке табл. 2.2, и для других преобразований в табл. 2.2применимы аналогичные способы присвоения значений яркости перемещен-2.6. Введение в математический аппарат, применяемыйв цифровой обработке изображений125ным пикселям, как и те, что рассматривались для увеличения. Как и в разделе 2.4.4, при выполнении этих преобразований можно использовать интерполяцию по ближайшему соседу, билинейную и бикубическую интерполяции.На практике уравнение (2.6-23) можно использовать двумя способами.
Первый, который называется прямое отображение, состоит в сканировании пикселей исходного изображения с вычислением в каждой координатной точке(v, w) пространственных координат (x, y) соответственного пикселя на выходном изображении, прямо применяя уравнение (2.6-23). С подходом, основанным на прямом отображении, связана та проблема, что два и более пикселейисходного изображения могут преобразоваться в одно и то же место на выходном изображении, так что встает вопрос о том, как совместить несколько полученных значений в одном выходном пикселе.
Кроме того, может оказаться, чтонекоторым пикселям выходного изображения не будет присвоено вообще никакого значения. При втором подходе, называемом обратным отображением, сканируются координаты пикселей выходного изображения и для каждой точки(x, y) вычисляется соответственная позиция в исходном изображении с помощью соотношения (u, v) = T –1(x, y). Затем в найденной точке выполняется интерполяция одним из способов, описанных в разделе 2.4.4, с использованием значений соседних пикселей исходного изображения, в результате чего находитсяяркость очередного пикселя на выходном изображении.
Обратное отображениереализуется более эффективно, чем прямое, и используется в многочисленныхкоммерческих реализациях пространственных преобразований (например,этот подход используется в программном пакете MATLAB).Пример 2.9. Поворот изображения с интерполяцией яркости.■ Целью этого примера является проиллюстрировать поворот изображенияс помощью аффинного преобразования. На рис. 2.36(а) показано исходное изображение с разрешением 300 dpi, а рис.
2.36(б)—(г) демонстрируют результатыповорота этого изображения на 21° с интерполяцией яркости по ближайшемусоседу, билинейной и бикубической интерполяцией соответственно. Поворота б в гРис. 2.36. (а) Изображение буквы Т с разрешением 300 dpi. (б) Результат поворота на 21° с использованием интерполяции по ближайшему соседу дляприсвоения значений яркости преобразованным пикселям. (в) То жепри использовании билинейной интерполяции. (г) То же при использовании бикубической интерполяции. Увеличенные фрагменты показывают детали перепада для трех интерполяционных методов126Глава 2. Основы цифрового представления изображенийявляется одним из наиболее требовательных геометрических преобразованийв плане сохранения прямолинейности объектов, присутствующих в исходномизображении. Как видно из рисунка, интерполяция по ближайшему соседуприводит к появлению наиболее ступенчатых краев, а билинейная интерполяция существенно улучшает результат, как отмечалось в разделе 2.4.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
