Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012) (1246138), страница 27
Текст из файла (страница 27)
когда a не является элементом A, используется запись116Глава 2. Основы цифрового представления изображенийa ∉A .(2.6-13)Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается символом ∅.Множество задается путем перечисления его содержимого в фигурныхскобках: {⋅}. Например, записывая выражение в форме C = {w | w = –d, d ∈ D}, мыимеем в виду, что множество C состоит из элементов w, которые строятся умножением на –1 каждого элемента множества D. Один из способов использованиямножеств в обработке изображений состоит в том, чтобы элементами множествбыли координаты пикселей (упорядоченные пары целых чисел), представляющих объекты или другие интересующие признаки на изображении.Если все элементы множества A являются также элементами другого множества B, то говорят, что A есть подмножество множества B, что символическиобозначаетсяA⊆B.(2.6-14)Объединение двух множеств A и B, которое обозначаетсяC = A∪B ,(2.6-15)есть по определению множество всех элементов, принадлежащих либо множеству A, либо множеству B, либо обоим множествам одновременно.
Аналогичнопересечение двух множеств A и B, которое обозначаетсяD = A∩B ,(2.6-16)есть по определению множество всех элементов, принадлежащих одновременнообоим множествам A и B. Два множества A и B называются непересекающимисяили взаимоисключающими, если у них нет общих элементов. В этом случаеA ∩B =∅ .(2.6-17)Универсальное множество (или генеральная совокупность) U есть множествовсех элементов в данном приложении. По определению, все элементы множествв данном приложении являются элементами универсального множества, определенного для этого приложения. Например, при работе с множеством вещественных чисел универсальным множеством является числовая прямая, содержащая все вещественные числа. В цифровой обработке изображений в качествеуниверсального множества обычно определяется прямоугольник, содержащийвсе пиксели изображения.Дополнение множества A есть множество элементов, не содержащихся в A:A c = {w | w ∉ A} .(2.6-18)Разность двух множеств A и B обозначается A \ B и определяется следующимобразом:A \ B = {w | w ∈ A , w ∉B } = A ∩ B c .(2.6-19)Видно, что это множество состоит из элементов A, которые не входят в множество B.
Можно в качестве примера определить дополнение в терминах универсального множества и разности множеств: Ac = U \ A.2.6. Введение в математический аппарат, применяемыйв цифровой обработке изображений117а бв г дAA BBUA\BA BAcРис. 2.31.(а) Два множества координат на плоскости, A и B. (б) Объединениемножеств A и B. (в) Пересечение множеств A и B. (г) Дополнение множества A. (д) Разность множеств A и B.
Затемненные области на рисунках (б)—(д) представляют элементы множеств, являющихся результатом указанной операцииРис. 2.31 иллюстрирует введенные выше понятия, где универсальное множество есть множество координат внутри изображенного прямоугольника,а множества A и B — множества координат, заключенные внутри показанныхграниц. Результат выполнения той или иной операции над множествами показан на каждом из рисунков темным цветом.7В обсуждении выше принадлежность множеству основывалась только на координатах элемента.
При работе с изображениями делается неявное предположение, что все пиксели множества имеют одно и то же значение, поскольку в определениях теоретико-множественных операций не участвуют значения яркости(например, мы не определили, какую яркость имеют элементы пересечения двухмножеств). Единственный вариант, при котором показанные на рис. 2.31 операции имеют смысл, — если изображения, содержащие эти множества, двоичные. В этом случае можно говорить о принадлежности множеству на основаниитолько координат, предполагая, что все элементы множеств имеют одинаковуюяркость.
Этот вопрос подробнее рассматривается в следующем подразделе.При работе с полутоновыми изображениями вышеизложенные понятиянеприменимы, потому что необходимо указать значения всех пикселей длярезультата операции над множествами. На самом деле, как мы увидим в разделах 3.8 и 9.6, в случае полутонов операции объединения и пересечения обыч7Операции, заданные соотношениями (2.6-12)—(2.6-19), являются базовыми дляалгебры множеств, которая исходит из ряда свойств, таких как законы коммутативности: A ∪ B = B ∪ A и A ∩ B = B ∩ A, и выводит из них обширную теорию, основаннуюна операциях над множествами. Изучение алгебры множеств выходит за пределы нашего рассмотрения, но о существовании ее следует знать.118Глава 2. Основы цифрового представления изображенийно определяются как соответственно максимум и минимум для пары соответственных пикселей, а дополнение определяется как попарные разности междуконстантой и яркостью каждого пикселя.
Тот факт, что мы имеем дело с парами соответственных пикселей, указывает на поэлементный характер операцийнад полутоновыми множествами, как определялось в разделе 2.6.1. Следующийпример кратко иллюстрирует теоретико-множественные операции над полутоновыми изображениями. Дальнейшее рассмотрение этих понятий проводитсяв двух упомянутых выше разделах.Пример 2.8. Операции над множествами с учетом яркости изображений.■ Пусть пиксели полутонового изображения представляются множеством A,элементами которого являются тройки вида (x, y, z), где x и y — пространственные координаты, а z обозначает яркость в точке с указанными координатами,как уже говорилось в разделе 2.4.2. Можно определить дополнение A как множество Ac = {(x, y, K – z) | (x, y, z) ∈ A}, которое есть просто множество пикселейA с яркостями, полученными вычитанием их исходных значений из константы K.
Эта константа равна 2k – 1, где k — число бит, используемых для представления яркости z. Пусть в качестве A выступает 8-битовое полутоновоеизображение на рис. 2.32(а) и предположим, что мы хотим сформировать негатив A с помощью операций над множествами. Просто построим множествоAn = Ac ={(x, y, 255 – z) | (x, y, z) ∈ A}. Заметим, что координаты здесь пробегаютвсю область, так что размеры изображения An те же, что и у A. Результат представлен на рис. 2.32(б).а б вРис. 2.32. Операции над множествами с учетом яркости изображений.
(а) Исходное изображение. (б) Негативное изображение, полученное как дополнение множества. (в) Объединение (а) и изображения с постоянной яркостью. (Исходное изображение предоставила компания G. E.Medical Systems)2.6. Введение в математический аппарат, применяемыйв цифровой обработке изображений119Объединение двух полутоновых множеств A и B можно определить как множество{}A ∪ B = max( a ,b ) a ∈ A , b ∈B ,zт. е. объединение двух полутоновых изображений есть массив, сформированныйиз максимальных значений яркости каждой пары соответственных пикселей.Снова заметим, что координаты здесь пробегают всю область, так что объединение A и B является изображением с теми же размерами, что и сами изображения A и B.
Для иллюстрации предположим, что в качестве A опять используетсяизображение на рис. 2.32(а), а B — прямоугольный массив с такими же размерами, как и A, у которого значения z всех элементов равны утроенной величинесредней яркости m пикселей A. Рис. 2.32(в) демонстрирует результат объединения этих множеств, в котором из A берутся все элементы со значениями больше3m, а остальные пиксели имеют значения 3m, что соответствует серому цвету.
■Логические операцииПри работе с двоичными изображениями можно говорить о множествах пикселей фона (со значениями 0) и переднего плана (со значениями 1). Тогда, еслиопределить объекты как области, состоящие из пикселей переднего плана, топоказанные на рис. 2.31 операции над множествами превращаются в операциинад координатами объектов в двоичном изображении. Имея дело с двоичнымиизображениями, обычно говорят об объединении, пересечении и дополнениикак о логических операциях OR (ИЛИ, логическое сложение), AND (И, логическое умножение) и NOT (НЕ, отрицание). Слово «логические» указывает на происхождение из формальной логики, в которой 1 и 0 означают соответственноистинное и ложное значения.Рассмотрим две области, т.
е. множества А и B, состоящие из пикселей переднего плана. Операция OR над этими двумя множествами дает множествоэлементов (пар координат), принадлежащих либо А, либо B, либо обоим множествам одновременно. Операция AND дает множество элементов, являющихсяобщими для А и B. Операция NOT в применении к множеству А дает множество элементов, не принадлежащих А. Поскольку речь идет об изображении, гдеА есть данное множество пикселей переднего плана, множество NOT(А) состоит из всех пикселей изображения, не входящих в А, т.
е. всех пикселей фона и,возможно, других пикселей переднего плана. Эту операцию можно рассматривать как установку значений всех элементов А в 0 (черное), а элементов вне А в 1(белое). Рис. 2.33 иллюстрирует эти операции. Обратите внимание в четвертомряду, что результат показанной операции есть множество пикселей переднегоплана, которые принадлежат A, но не принадлежат B, что совпадает с определением разности множеств (2.6-19).
В последнем ряду на рисунке представленаоперация XOR (исключающее ИЛИ), результатом которой является множествопикселей переднего плана, принадлежащих А или B, но не обоим множествамодновременно. Заметим, что вышеописанные операции применяются к областям, которые могут иметь произвольную форму и размеры. В этом состоитотличие от обсуждавшихся ранее полутоновых операций, которые являютсяпоэлементными и потому требуют, чтобы множества имели одни и те же про-120Глава 2. Основы цифрового представления изображенийNOT(A)NOTA(A) AND (B)BANDA(A) OR (B)OR(A) AND [NOT (B)]ANDNOT(A) XOR (B)XORРис.
2.33. Логические операции над пикселями переднего плана (белыми). Черным цветом показаны пиксели с двоичным значением 0, белым —со значением 1. Пунктирные линии нанесены только для удобстваи не являются частью результатастранственные размеры. Иными словами, в операциях над полутоновыми множествами участвуют полные изображения, а не их области.Теоретически необходимо реализовать только три логические операцииAND, OR и NOT, поскольку они образуют функционально полный класс в томсмысле, что любая другая логическая операция может быть получена путемкомбинирования только этих основных операций, как показано в четвертомряду на рис. 2.33, где операция разности множеств реализована с помощью ANDи NOT.
Логические операции широко используются при морфологической обработке изображений, которая рассматривается в главе 9.Нечеткие множестваИзложенные выше теоретико-множественные и логические результаты оперируют четкими понятиями в том смысле, что элемент либо принадлежит, либоне принадлежит множеству. В некоторых приложениях это сильно ограничивает возможности. Рассмотрим простой пример. Предположим, что мы хотим поделить всех людей на две категории — молодых и немолодых. Применяя четкиемножества, обозначим U множество всех людей и пусть A — подмножество U,которое назовем множеством молодых людей. Чтобы задать множество A, необходима функция принадлежности, которая сопоставляет каждому человеку из Uзначение 0 или 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
