Дьяконов В.П. Matlab 6.5 SP1 7 0 Simulink 5 6 Обработка сигналов и проектирование фильтров 2005 (1245705), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Степень приближения зависит от уровня декомпозиции и реконструкции. Нулевой уровень соответствует точному восстановлению сигнала (ае = а). Ряд других примеров, в том числе для двумерных вейвлетов, можно найти в справочной системе по пакету утаче!е( Тоо1Ьох 2.1 и в документации по нему 180). 7.4.5.
Декомпозиция и реконструкция сигналов в УУвче!еС Тоо)Ьох В пакете %аче!ег Тоо!Ьох не только реализованы описанные выше обзорно те- оретические подходы (временной, частотный и кратномасштабный), но и приня- ты меры по их предельно наглядному и удобному истолкованию и применению. С помощью соответствующих функций пакета вычисляются коэффициенты ап- проксимации сигнала Аг и детализирующие коэффициенты Р уровня у.
Представ- ление сигнала путем разложения на эти коэффициенты называется декомпозицией сигнала уровня у. Исходный сигнал считается сигналом с нулевым уровнем деком- позиции. В пакете определены следующие алгоритмы (даны в виде общих формул) для обеспечения реконструкции сигнала и вычисления коэффициентов вейвлет-пре- образования: ° вычисление детализирующих коэффициентов — Р,(г) = ,'У',„СО йМ «(г)' ° вычисление сигнала, как суммы его деталей — в = ~ Р; ег l' ° аппроксимация уровня l — ~~„ч, Р,; ° связьмеждуА,, и А — А, =А,+Р,; л несколько декомпозиций — л = А, + ~~ ло Р . Итак, в общем случае, каждый уровень восстановления (реконструкции) сиг- нала определяется по правилу, наглядно представленному ниже: Я=А,+Р, = А, + Р, + Р, = А, + Р, + Р, + Р, Если рассматривать эту формулу как дерево реконструкции, то она будет точной на вершине.
По мере опускания вниз, точность реконструированного сигнала будет ухудшаться, но он будет занимать меньший спектр, что, по существу, означает фильтрацию сигнала и уменьшение объема информации, требуемого для воспроизведения сигналов. Это и положено в основу вейвлет-фильтрации сигналов, их очистки от шума и компрессии с определенной точностью воспроизведения сигналов. 7.5. Специольпьге вопросы вейвлгпп-преобразований 423 7.5. Специальные вопросы вейвлет-преобразований 7.5.1. Пакетные вейвлеты При обычном алгоритме Малла на каждом шаге «отрезаетсяь половина НЧ-части диапазона сигнала х — рис. 7.9 слева. Напоминаем, что реализация алгоритма исходит из представления о большей информационности низкочастотной части спектра сигнала. Н ~'х1 Нх()С Н ''., С ~) -'хС Н =(, Н,' () НЯ;С и ~',с (') ,л С) Рис.
73. Дерево алгоритма Мелле исходного (слева) и усовершенствованного (снраед) 7.5.2. Дискретный вейвлет-анализ и временные ряды Уже давно внимание математиков и ученых привлекают арелгенные ряды. Напомним, что временным рядом называют совокупность некоторых значений (сигналов или данных) в отдельные моменты времени.
Это может быть температура Р. Койфманом и М. Викерхаузером был предложен усовершенствованный алгоритм Малла, дерево которого также представлено на рис. 7.9 (справа). При усовершенствованном алгоритме операция «расщепления» (зрйгг)пй) применяется к любой из получающихся ВЧ-компонент. Этой схеме можно дать истолкование применительно к вейвлетам. Дерево рис. 7.9 справа соответствует замене вейвлета ж(г) на два новых вейвлета: о,(г) = х~„ь„Р(г — и) и о,(г) = ~ ~я о(г — и). И так далее.
Новые вейвлеты тоже локализованы в пространстве, но на вдвое более широком отрезке, чем исходный вейвлет. Можно нарисовать бинарное дерево разложения, и ему будет соответствовать набор подпространств с базисами, построенными по аналогичному рецепту. Функции, порождающие эти базисы, называются вейплепыпопегпами (х«аге!ег-расйегз). Преобразование с помощью вейвлет-пакетов является адаптивным вейвлет-преобразованием, поскольку оно легко приспосабливается к особенностям си~нала и может успешно использоваться для компрессии сигналов и их очистки от шумов — см.
ниже. Достоинством (а в какой-то мере и недостатком) вейвлет-пакетов и адаптивных алгоритмов их реализации является отсутствие необходимости в обучении системы (характерном, например, для систем на основе нейронных сетей) и даже в оценке статистических характеристик сигналов. Все, что нужно — это ввести оценку стоимости вейвлет-коэффициентов, мерой которой может служить энтропия — концентрация числа вейвлет-коэффициентов М, требующихся для описания сигнала с некоторой заданной точностью (или погрешностью).
424 Глава 7. Вейвлеты в пакете Игаее1ег 7оо!Ьох воздуха, отмечаемая ежедневно, курс доллара или стоимость акций компаний !п(е! или М)сгозо(1. Основной задачей теории временных рядов является изучение их повеления во времени и, чго, особенно желательно в сфере решения экономических задач, прогнозирования тех или иных событий, наподобие пресловутого «черного вторника», вмиг превратившего наш «серебряный» рубль в «деревянный».
До сих пор основным методом исследования таких рядов был статистический метод, который лишь частично мог решать задачи предсказания. В популярной литературе по временным рядам под компонентами детерминированного ряла часто предполагают выражения вида: с),=гб-ьз,»с„где 1=1,2,...,Х. Первая составляющая является трсндом, вторая сезонной составляюшей и третья — циклической компонентой. Внимание. В последние годы к указаннььи сосзпавляннаим врел~енпых рядов стали додав цтщ новут составлянзщузо — интероеннинх которая описывает резкие изменения временнога ряда в определенные (нанче всего довольно редкие) моменты времени, Имеется много типов временнгях рядов. Ряды Фурье, к примеру, получили признание как один из типов временных рядов, в частности, удобных для оценки периодических изменений компонентов временного ряда.
Особенно велика роль временных рядов в математической экономике, где на их основе возможно предсказание некоторых событий. На наш взгляд, болыцие возможности в анализе временных рядов заложены в дискретных вейвлетах. Г)о существу, дискретный сигнал, для обработки которого используются вейвлет-преобразования, представляет собой типичный временной ряд.
Он может содержать шумовые компоненты и удовлетворять известным статистическим требованиям для временных рялов. Следует отметить, что дискретное вейвлет-преобразование непрерывных сигналов и вейвлет-преобразование дискретных во времени сигналов, например, временных рядов, далеко не одно и то же.
Строго говоря, для дискретных сигналов не существует базисных функций, масштабированные и смсшенные версии которых дают базис пространства сигнала. Тем не менее, алгоритм Маяла на основе концепции вейвлет-фильтров применим для вейвлет-преобразований дискретных во времени сигналов.
Для лучшего знакомства с тонкостями применения такого вида преобразований можно рекомендовать обращение к литературе (7! — 76!. Мошные средства выявления тонких локальных особенностей временных рядов (и представляющих их сигналов) и превосходная степень их визуализации— все это позволяет надеяться на то, что уже в ближайшее время вейвлеты станут одним из серьезных инструьзеьгтов анализа временных рядов самого различного назначения. По существу, для временных рядов в виде дискретных сигналов они уже стали таковыми. И в следующей главе их возможности будут рассмотрены сам ы м детал ьн ы м образом.
Уже известен ряд успешных попыток применения вейвлетов для анализа временных рядов с целью предсказания таких событий, как возникновение землетрясении, цунами, обвалов в финансовой сфере, возможностей проведения террористических актов (увы, даже подобных тем комшмарным событиям, которые произошли в США в «черный вторник» ! ! сентября 2001 года), последствий бомбардировок в локальных конфликтах, при анализе томограмм в реальном мас- 425 7.5.
Специальные вопросы вейвлепг-преобразований штабе времени в медицине и др. Однако проблема предсказания таких событий весьма далека от решения и все еще нуждается в дальнейших исследованиях. 7.5.3. Двумерные вейвлеты Для работы с изображениями необходимо обрабатывать двумерные массивы данных. Для общности, пусть они по-прежнему задаются в пространстве У, но теперь как функции двух переменных х и у. В этом случае вместо выражения для одномерной вейвлет-функции вида ( -ь! а записанной с независимой переменной х, мы можем воспользовзться ее двумерным аналогом, учитывая, что теперь по каждому измерению (х и у) пространства сигнала Уимеются свои значения а и Ь. Обозначив их как а! и а2, а также Ь! и Ь2, мы можем записать выражение для двумерного оепрерывного вейвлета в виде; ! (х — Ь! у — Ь21 — где У = х, у е )('.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
