Дьяконов В.П. Matlab 6.5 SP1 7 0 Simulink 5 6 Обработка сигналов и проектирование фильтров 2005 (1245705), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Вначале рассмотрим частотный подход чисто умозрительно и без строгих доказательств. В соответствии с этим подходом, частотная область вейвлетов может быть разбита на две составляющие — низкочастотную и высокочастотную. Их частота раздела равна половине частоты дискретизации сигнала. Для их разделения достаточно использовать два фильтра — низкочастотный Бо и высокочастотный Нй ко входам которых подключается сигнал л Фильтр Ео дает частотный образ для аппроксимации (грубого приближения) сигнала, а фильтр Н! — для его детализации. Пожалуй, главным выводом из теории вейвлет-преобразований является вывод о соответствии вейвлет-коэффициентов коэффициентам передаточной характеристики этих фильтров. Другими словами, коэффициенты фильтров !11 и Бо и есть детализирующие коэффициенты вейвлет-декомпозиции сигналов и их коэффициенты аппроксимации.
Нетрудно подметить, что вместо коэффициентов А„. здесь использованы коэффициенты ы„и несколько иная, более удобная для большинства вейвлетов, нормировка. Это, разумеется, не принципиально, поскольку учитывается в коне чных алгоритмах вейвлет-анализа и реализующих их вычислениях. 47в Глава 7. Вейвлеты в аакете И'аге!еГ Тоо!Ьох Поскольку фильтры передают только половину всех частотных компонентов сигнала, то не попавшие в полосу прозрачности компоненты могут быть удалены. Это называешься операцией децимации вдвое и обозначается как 22. Если просто сложить полученные на выходах фильтров сигналы, то получится исходный сигнал, т.
е, будет иметь место полная реконструкция сигнала на начальном уровне реконструкции. Однако Ы фильтр можно, в свою очередь, разложить на два фильтра и подвергнуть спектры этих новых фильтров операции прореживания по частоте — децимации. Это означает изменение уровня реконструкции. Таким образом, может быть сформирована система вейвлет-фильтров, реализующих операцию декомпозиции сигнала того или иного уровня. Подобные операции сокращают спектр соответствующих компонентов сигнала, что лежит в основе приближенного представления сигнала на разных уровнях декомпозиции сигнала.
Такое представление необходимо, например„для реализации операций ежа~на сигналов и их очистки от шума. Операция последовательной разбивки Ео фильтров и постепенного огрубления сигнала была предложена Маллом. Возникает законный вопрос, почему именно НЧ-фильтр удостоен операции деления? Можно сказать, что это следствие устоявшейся практики применения радиотехнических сигналов — основные частотные компоненты их расположены обычно в низкочастотной области спектра. Считается, что именно она несет основную информацию, а не высокочастотная (уточняющая) область. Разумеется, принимать это за абсолютную истину не стоит — в наше время есть виды сигналов, где это допущение попросту не верно. И, как станет ясно из дальнейшего, возможно деление полос и ВЧ-фильтров, порождающее особые пакетные вейвлеты. 7.4.2.
Основы вейвлет-фильтрации Теперь рассмотрим сказанное более подробно. Так, вполне очевидно, что каждый ортогональный вейвлет имеет свой Фурье-образ. В ряде работ, включая описание пакета ччаче)е! Тоо1Ьох, было показано, что Фурье-образ у(и) можно представить реализацией двух фильтров — низкочастотного Н(и) и согласованного с ним высокочастотного фильтра: (7. 8) 0(со) = -е ""Н(го+ л). При этом Фурье-образ вейвлета имеет вид: (7.9) ч(2га) = С(н)у(м). В пространственной области это эквивалентно выражению (7.7). В пакете ччаче)е1 Тоо!Ьох задан ряд свойств базовых фильтров Н(т) со следую- шими их характеристиками: ° фильтры имеют тип ФНЧ с импульсной характеристикой класса Р!К (КИХ); ° длина вектора коэффициентов фильтра равна 2Н; ° сумма коэффициентов фильтра равна 1; ° норма вектора коэффициентов фильтра равна!/ч2.
7.4. Частотный подход и быстрое вейвлет-преобразование 419 Количественные данные по вейвлет-фильтрам нетрудно проверить с помощью соответствующих простых команд команлного режима работы. Например, для вейвлета Добеши ()Ь4, после его загрузки командой 1оаб, имеем: »1оао бЬ4 »бьл бь4 = 0.1629 0.5055 0.4461 -0.0198 — 0.1323 0.0218 0.0233 -0.0075 »1епчЬЬ(бЬ4) апа 8 »аов(бЬ4) апо = 1.0000 »посв(бЬ4) апо 0.7071 7.4.3. Кввдрвтурные фильтры Для обоснования частотного подхода рассмотрим весьма важное для него понятие о квадратурных фильтрах (КФ).
Кратномасштабный анализ основан на двух хорошо известных методах обработки сигналов, заимствованных из теории фильтрации сигналов: ° разложение сигнала по полдиапазонам (ьцЬЬапб бесоптрогййоп) при помощи квадратурных зеркальных фильтров (()ца()га(цге ппггог бйегз); ° пирамидальное представление (ругапйд гергезеп(абоп). Первый метод возник из потребностей обработки звуковых сигналов, а второй — из обработки сигналов изображения. Пусть имеется некий обобщенный сигнал в виде последовательности чисел х= (х„)„" '„. Для сглаживания сигнала, подавления шума и других целей часто используют фильтры, базирующиеся на операции свертки: у» = , 'й„х»6н (7.! О) Сигнал у = (у„)„"= „получается «локальным усреднением» сигнала х с помощью набора «весов» й = (й„). Используя понятия частотного анализа можно записать (7.) )) ?'((о) = О(оз)Х(о1), или, что принято в анализе цифровых сигналов, в терминах 2-преобразования (7.)2? У(2) = О(2)Х(2).
Транспонированный фильтр й состоит из тех же коэффициентов, что и фильтр й, но переставленных в обратном порядке. В частотной области транспонированный фильтр записывается как Й((о). Коэффициенты всех сигналов и фильтров предполагаются вещественными. Величина [Х((о)[ характеризует распределение энергии сигнала по частотам о( е [ — я, л). А теперь попробуем найти два фильтра, которые позволяли бы разложить сигнал на два частотных компонента — высокочастотный Хл(2) и низкочастотный Х (2), их проредить, а затем, с помощью транспонированных фильтров, точно восстановить по этим данным исходный сигнал.
Этот, давно известный прием можно применять неоднократно, что и лежит в основе быстрых алгоритмов пре- Глава 7. Вейвлеты в пакете 11'аге(ег Тоо!Ьох 4го Хсс(е) — + (Н(г)Х(г)+ П(-е)Х( — е))72, Хсс(г) — -+ (6(г)Х(г)+ 6(-е)Х(-е))с2. --преобразования транспонированных фильтров ссмекэт вид П(г ') и 6(е '). Сигнал восстановится с их помощью точно, если: Х(е) = (Н(г ')Н(г) -с 6(г ')6(г))Х(г)с2 ь +(Н(е ')Н(-е)+ 6(е ')6( — г))Х(-е)сс2. Тогда условия точного восстановления (рег(есс гесопасгпсс(оп, РК) будут иметь вид: (Н(е ')Н(е) -с 6(г ')6(е) = 2, (Н(г ')Н( — е) ч- 6(г ')6( — г) = О.
В матричной форме они записываются так: Г2 О') М(е)(М(г '))' = ~ ~ = 2Е, 10 2~ где Н (е) 6(е) М(е) = Н( — г) 6(-г) ' Подставив е = е"", получим условия на ДПФ искомых фильтров: ~ (-Я'.)6(-яга2, Н(св)Н(со + тс) -с 6(са)6(со+ в) = О.. (7.13) (7.14) Если ~ Н(и)~2.с.! Н(со+ я)!2 = 2 то, положив 6(оз) = — е ""Н(со + в), мы видим, что (5.!3) выполняется. Фильтры Н и сл (или 1.), удовлетворяющие (7.13), называются квадратурными зеркальиылси фильтрами — КЗФ (с(пас(гагате ппггог Лйега, (гМР) . Понятие о них широко используется и в технике вейвлет-преобразований и составляет основу быстрого вейвлет-преобразования (БВП).
образования Фурье и алгоритмов вейвлет-преобразований для приближенного представления сигналов. Если спектр сигнала ограничен, то разумно сделать полосы пропускания фильтров равными половине общей полосы частот спектра сигнала — другими словами граничная частота фильтров должна быть равна половине частоты квантования сипилов. Пусть теперь вектор У(г) перед кодированием прореживается вдвое, а перед восстановлением исходного сигнала доводится до исходной длины вставкой нулей между соседними значениями его элементов. При этом,"-преобразование из У(е) превращается в (У(е) ь У(-г))с'2.
Подставим сюда (7.12) для каждого из фильтров, и получим е-преобразовассия компонент перед восстановлением 7.4. Частотный подход и быстрое вейвлет-нреобризоаииие 421 Итак, для ряда типов вейвлетов частотное представление открывает возможности использования быстрого вейвлет-преобразования, в основе которого лежит известный принцип <разделяй и властвуй», т. е, дели спектр на две составляющие и прореживай их по частоте. Его последовательное применение, по существу, и есть пирамидальный алгоритм Молла, дающий приближения сигнала с уменьшающейся по мере удаления от вершины дерева деталыюстью представления сигнала.
7.4.4. Быстрое вейвлет-преобразование и алгоритм Малла Для ортогональных вейвлетов существует быстрое вейвлет-преобразование 1рал Ипате(е( Тгапз(огт), называемое также алгоритлюн Молла (Ма(!а( а(((ог((пт(. Оно реализует основанный на фильтрации итерационный алгоритм, причем число итераций Л( может быть произвольным. Классическая схема Малла предполагает рекурсивное применение процедуры реконструкции сигнала в частотной области. Коэффипиенты фильтров при этом соответствуют приведенным ниже обозначениям: Первый шаг алгоритма Маяла поясняется следующей диагралзмой вейвлет-декомпозиции сигнала: — » Ео Р— + 12 -+ сА, (коэффипиенты аппроксимации уровня 1) а — ~ -» Н! Р -+ !2 -+ сР~ (детализирующие коэффициенты уровня!) Сигнал а подается на фильтры декомпозипии низких и высоких частот, после чего с помощью операции децимации 22 !уменьшения числа частотных составляюших вдвое) можно получить коэффициенты аппроксимации на выходе фильтра низких частот и детализирующие коэффициенты на выходе фильтра высоких частот.
Далее этот алгоритм может быть продолжен по схеме: -+ 3л Р -» ! 2 -» сА;»~ !коэффипиенты аппроксимации уровня 1+ 1) сА; — ~ — » н1 0 -+ 12 -+ сР(„(детализируюшие коэффициенты уровня (» 1) В результате мы получим полный набор аппроксимируюших и детализируюших коэффициентов, вплоть до уровня декомпозицииу+ 1. Это и есть вейвлет-декомпозиция сигнала. По этому набору коэффициентов мы может построить вейвлет-спектрограмму сигнала, например для оценки его особенностей.
Теперь перейдем к диаграмме быстрой вейвлет-реконструкции. Используя операцию, обратную децимации, 22 !увеличение числа вдвое составляюших путем добавления нулевых компонентов вперемежку с имеющимися компонентами), можно получитьдиаграмму понижения уровня коэффиииентов аппроксимации: сА, 22 1 К ~ -+ функция и)сеер -+ сА;, с0! -+ 22 -+ Н! К -+ Глава 7.
Вейвлеты в пакете И'ага Гоо(Ьох Это означает постепенное приближение к исходному сигналу. В целом, несколько упрощенно (обозначение !1~ указывает на итерационный характер вычислений), процесс декомпозиции-реконструкции можно представить общей диаграммой вейвлет-яреобразоваиий: -+).о Р-+42-+сА — э -+сА-эТ2 — +Ео К-+ я — ! !!! (ч-) -+ ве (2 - с)) -+ -+сР-+22 -+Н1 К вЂ” + Итак, в результате этого процесса исходный сигнал в раскладывается на вейвлет-компоненты вплоть до заданного уровня декомпозиции, после чего, в ходе реконструкции, восстанавливается до приближенного сигнала ае.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
